多项式矩阵讲稿

1、关于多项式矩阵第一张，PPT共六十七页，创作于2022年6月北京理工大学高数教研室*设 为一个 阶矩阵， 为其Jordan标准形，则于是有第二张，PPT共六十七页，创作于2022年6月我们称上面的表达式为矩阵多项式 的Jordan表示。其中第三张，PPT共六十七页，创作于2022年6月例 已知多项式与矩阵第四张，PPT共六十七页，创作于2022年6月求 。解：首先求出矩阵的 的Jordan标准形 及其相似变换矩阵那么有第五张，PPT共六十七页，创作于2022年6月第六张，PPT共六十七页，创作于2022年6月定义：已知 和关于变量 的多项式如果 满足 ，那么称为矩阵 的一个零化多项式。第七张，

2、PPT共六十七页，创作于2022年6月定理：已知 ， 为其特征多项式,则有我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。定义：已知 ，在 的零化多项式中，次数最低且首项系数为1的零化多项式称为 的最小多项式，通常记为 。最小多项式的性质：已知 ，那么（1）矩阵 的最小多项式是唯一的。（2）矩阵的任何一个零化多项式均能被第八张，PPT共六十七页，创作于2022年6月整除。（3）相似矩阵有相同的最小多项式。如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。例1 ：已知一个Jordan块第九张，PPT共六十七页，创作于2022年6月求其最小多项式。解：注意到其特征多项式

3、为 ,则由上面的定理可知其最小多项式一定具有如下形状 其中 。但是当 时 第十张，PPT共六十七页，创作于2022年6月因此有 .例2 ：已知对角块矩阵 ,而 分别为子块的最小多项式，则 的最小多项式为即为 的最小公倍数。例3 ：求下列矩阵的最小多项式第十一张，PPT共六十七页，创作于2022年6月解： （1）首先求出其Jordan标准形为所以其最小多项式为 。（2）此矩阵的Jordan标准形为第十二张，PPT共六十七页，创作于2022年6月从而其最小多项式为 。（3）该矩阵的Jordan标准形为第十三张，PPT共六十七页，创作于2022年6月故其最小多项式为 。（4）此矩阵本身就是一个Jor

4、dan标准形，所以其最小多项式 。 矩阵函数及其计算函数在矩阵谱上的值与矩阵函数定义：设 ， 为 的 个互不相同的特征值， 为其最小多项式且有第十四张，PPT共六十七页，创作于2022年6月其中 如果函数 具有足够高阶的导数并且下列 个值存在，则称函数 在矩阵 的谱上有定义。例：设第十五张，PPT共六十七页，创作于2022年6月又已知容易求得矩阵 的最小多项式为并且第十六张，PPT共六十七页，创作于2022年6月所以 在 的谱上有定义。但是如果取容易求得矩阵 的最小多项式为显然 不存在，所以在 的谱上无定义。考虑下面两个问题：第十七张，PPT共六十七页，创作于2022年6月（1）设 ，如果 有

5、定义，那么 是否也有定义？（2）设 且 可逆，如果 有定义，那么 是否也有定义？如果上述说法正确，请予以证明；如果上述说法不正确，请举反例加以说明。定义：设矩阵 的最小多项式为第十八张，PPT共六十七页，创作于2022年6月函数 在矩阵 的谱上有定义，如果存在多项式 且满足则定义矩阵函数为如何求矩阵函数？矩阵函数的Jordan表示，多项式表示与幂级数表示定理：设 ， 为矩阵 的Jordan标准形， 为其相似变换矩阵且使得第十九张，PPT共六十七页，创作于2022年6月 ，如果函数 在矩阵 的谱上有定义，那么其中第二十张，PPT共六十七页，创作于2022年6月例1 ：设求 的Jordan表示并计

6、算 .解：首先求出其Jordan标准形矩阵 与相似变换矩阵 .我们称此表达式为矩阵函数 的Jordan表示。第二十一张，PPT共六十七页，创作于2022年6月从而 的Jordan表示为第二十二张，PPT共六十七页，创作于2022年6月当 时，可得 , 于是有当 时，可得 , 从而有第二十三张，PPT共六十七页，创作于2022年6月当 时，可得同样可得第二十四张，PPT共六十七页，创作于2022年6月例2 ：设求 的Jordan表示并计算解：首先求出其Jordan标准形矩阵 与相似变换矩阵第二十五张，PPT共六十七页，创作于2022年6月从而 的Jordan表示为第二十六张，PPT共六十七页，创

7、作于2022年6月当 时，可得第二十七张，PPT共六十七页，创作于2022年6月于是有当 时，可得故第二十八张，PPT共六十七页，创作于2022年6月类似可求得第二十九张，PPT共六十七页，创作于2022年6月矩阵函数的多项式表示定理：设函数 与函数 在矩阵 的谱上都有定义，那么 的充分必要条件是 与 在 的谱上的值完全相同。设矩阵 的最小多项式为其中 为矩阵 的 个互异特征值且第三十张，PPT共六十七页，创作于2022年6月 如何寻找多项式 使得 与所求的矩阵函数 完全相同？根据计算方法中的Hermite插值多项式定理可知，在众多的多项式中有一个次数为 次的多项式且满足条件第三十一张，PPT

8、共六十七页，创作于2022年6月这样，多项式中的系数 完全可以通过关系式确定出来。则我们称为矩阵函数 的多项式表示。第三十二张，PPT共六十七页，创作于2022年6月例1 ：设求 的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为第三十三张，PPT共六十七页，创作于2022年6月这是一个3次多项式，从而存在一个次数为2 的多项式且满足于是可得第三十四张，PPT共六十七页，创作于2022年6月解得所以其多项式表示为第三十五张，PPT共六十七页，创作于2022年6月当 时，可得于是有当 时，可得第三十六张，PPT共六十七页，创作于2022年6月故有类似地有第三十七张，PPT共六十七页，创作于2

9、022年6月例2 ：设求 的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个3次多项式，从而存在一个次数为2第三十八张，PPT共六十七页，创作于2022年6月的多项式且满足于是有第三十九张，PPT共六十七页，创作于2022年6月解得所以其多项式表示为第四十张，PPT共六十七页，创作于2022年6月当 时，可得于是有当 时，可得第四十一张，PPT共六十七页，创作于2022年6月故有类似地有第四十二张，PPT共六十七页，创作于2022年6月例3 ：设求 的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个2次多项式，从而存在一个次数为1 的多项式第四十三张，PPT共六十七页，

10、创作于2022年6月且满足于是有解得第四十四张，PPT共六十七页，创作于2022年6月所以其多项式表示为当 时，可得从而可得 第四十五张，PPT共六十七页，创作于2022年6月当 时，可得故有第四十六张，PPT共六十七页，创作于2022年6月同样可以得到练习 ：设求 的多项式表示并且计算第四十七张，PPT共六十七页，创作于2022年6月矩阵函数的幂级数表示定义：设 ，一元函数 能够展开成关于 的幂级数并且该幂级数地收敛半径为 。当矩阵 的谱半径 时，我们将收敛矩阵幂级数第四十八张，PPT共六十七页，创作于2022年6月的和定义为矩阵函数，一般记为 ，即因为当 时，有第四十九张，PPT共六十七页

11、，创作于2022年6月第五十张，PPT共六十七页，创作于2022年6月当 时，有当 时，有所以对于任意的矩阵 ，当第五十一张，PPT共六十七页，创作于2022年6月时，我们有第五十二张，PPT共六十七页，创作于2022年6月第五十三张，PPT共六十七页，创作于2022年6月由此可以得到一些简单的推论：第五十四张，PPT共六十七页，创作于2022年6月第五十五张，PPT共六十七页，创作于2022年6月 矩阵指数函数与矩阵三角函数这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的性质，即第五十六张，PPT共六十七页，创作于2022年6月定理：设 ，那么当 时，我们有证明：首先证明第一个等式第五十七张，PPT共六十

12、七页，创作于2022年6月第五十八张，PPT共六十七页，创作于2022年6月现在证明第二个等式第五十九张，PPT共六十七页，创作于2022年6月同样可以证明其余的结论。注意：这里矩阵 与 的交换性条件是必不可少的。例：设那么容易计算第六十张，PPT共六十七页，创作于2022年6月并且于是有第六十一张，PPT共六十七页，创作于2022年6月故有显然 三者互不相等。第六十二张，PPT共六十七页，创作于2022年6月另外，关于矩阵的指数函数与三角函数还有下面几个特殊性质。第六十三张，PPT共六十七页，创作于2022年6月例 ：设 是一个Hermite 矩阵，那么 是一个酉矩阵。证明：由矩阵指数函数公式可得第六十四张，PPT共六十七页，创作于2022年6月这表