几何变换3-旋转变换练习

1、2015航班 几何变换3-旋转变换练习1请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结若，探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决DCDCGPABEF图2DABEFCPG图1请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接

2、写出的值（用含的式子表示）2请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=， PC=1求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是：将BPC绕点B顺时针旋转60，画出旋转后的图形（如图2）连接PP，可得PPC是等边三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）所以APC=150，而BPC=APC=150进而求出等边ABC的边长为问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长图3图图3图2图13如图1，四边形ABCD，将顶点为A的

3、角绕着顶点A顺时针旋转，若角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一条边与CB的延长线交于点E，连接EF（1）若四边形ABCD为正方形，当EAF=45时，有EF=DFBE请你思考如何证明这个结论（只思考，不必写出证明过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD中，AB=AD，ABC=ADC=90，当EAF=BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；（3）如图3，如果四边形ABCD中，AB=AD，ABC与ADC互补，当EAF=BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2

4、，求CEF的周长（直接写出结果即可） 图1 图2 图34. 在中，过点C作CECD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.5在平行四边形中

5、，的平分线交直线于点，交直线于点 在图1中证明； 若，是的中点（如图2），直接写出的度数； 若，分别连结、（如图3），求的度数6已知：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=ADE=90，点M是CE的中点，连接BM. （1）如图，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为 ； （2）如图，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.图 图 图图10设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，、F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ/PC.证明：PC=2AQ；当点F为BC的中点时，试比较和梯形

6、APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明。 2015航班 几何变换3-旋转变换练习图11（1）如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=， PC=1求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长图1（2）如图2，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长图图22已知正方形ABCD内一点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长3如图1，四边形ABCD，将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转，若角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一条边与CB的延长线交于点E，连接EF（1）若四边形ABCD为正方形，当EAF=45时

7、，有EF=DFBE请你思考如何证明这个结论（只思考，不必写出证明过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD中，AB=AD，ABC=ADC=90，当EAF=BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式；（3）如图3，如果四边形ABCD中，AB=AD，ABC与ADC互补，当EAF=BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求CEF的周长 图1 图2 图34已知：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=ADE=90，点M是CE的中点，连接BM. （1）如图，点D在AB上，连接DM，并延

8、长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为 ； （2）如图，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.图 图 图图5在平行四边形中，的平分线交直线于点，交直线于点 在图1中证明； 若，是的中点（如图2），直接写出的度数； 若，分别连结、（如图3），求的度数6.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，为的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边的顶点、在线段上，求及的长；（3）点为内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长. （备用图） 7已知：中，中，,. 连接、

9、，点、分别为、的中点. 图1 图2(1) 如图1，若、三点在同一直线上，且，则的形状是_，此时_；(2) 如图2，若、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；(3) 在图2中，固定，将绕点旋转，求的最大值.1请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结若，探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决DCDCGPABEF图2DABEFCPG图1请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在

10、同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示） 线段与的位置关系是；2分 猜想：（1）中的结论没有发生变化证明：如图，延长交于点，连结是线段的中点， DCGPDCGPABEFH， ，四边形是菱形，由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，可得 四边形是菱形， ，即，6分 8分23（本小题满分7分）请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=， PC=1求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边

11、长李明同学的思路是：将BPC绕点B顺时针旋转60，画出旋转后的图形（如图2）连接PP，可得PPC是等边三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）所以APC=150，而BPC=APC=150进而求出等边ABC的边长为问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长图3图图3图2图1解：（1）如图，将BPC绕点B逆时针旋转90，得BPA，则BPCBPAAP=PC=1，BP=BP=连结P P，在RtBPP中， BP=BP=，PBP=90， P P=2，BPP=45 2分在APP

12、中， AP=1，P P=2，AP=， ，即AP 2 + PP 2 = AP2 APP是直角三角形，即A P P=90 APB=135 BPC=APB=135 4分（2）过点B作BEAP 交AP 的延长线于点E EP B=45. EP=BE=1. AE=2. 在RtABE中，由勾股定理，得AB= 7分 BPC=135，正方形边长为24（本小题7分）如图1，四边形ABCD，将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转，若角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一条边与CB的延长线交于点E，连接EF（1）若四边形ABCD为正方形，当EAF=45时，有EF=DFBE请你思考如何证明这个结论（只思考，不必写出证明

13、过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD中，AB=AD，ABC=ADC=90，当EAF=BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；（3）如图3，如果四边形ABCD中，AB=AD，ABC与ADC互补，当EAF=BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求CEF的周长（直接写出结果即可） 图1 图2 图324. （本小题7分）解：（2）EF=DF-BE 1分（3）EF=DF-BE 2分证明：在DF上截取DM=BE，连接AM如图，D+ABC=ABE+ABC=180,

14、D=ABEAD=AB，ADMABEAM=AE3分DAM=BAEEAF=BAE+BAF=BAD，DAM+BAF=BADMAF=BADEAF=MAF 4分AF是EAF与MAF的公共边，EAFMAFEF=MFMF=DF-DM=DF-BE,EF=DF-BE 5分(4) CEF的周长为15 7分24. 在中，过点C作CECD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP

15、2绕点E 逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.24在平行四边形中，的平分线交直线于点，交直线于点 在图1中证明； 若，是的中点（如图2），直接写出的度数； 若，分别连结、（如图3），求的度数 证明：如图1. 平分 . 四边形是平行四边形， . . . . . 解：分别连结、（如图2）. 且 四边形是平行四边形. 由得 是菱形. . 是等边三角形. . 由及平分可得.在中，. 由得.25已知：ABC和ADE都是等腰直角三角形，

16、ABC=ADE=90，点M是CE的中点，连接BM. （1）如图，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为 ； （2）如图，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.图 图 图图25. (1)BD=BM. 2分(2)结论成立.证明:连接DM，过点C作CFED，与DM的延长线交于点F，连接BF，可证得MDEMFC. 3分DM=FM, DE=FC.AD=ED=FC.作ANEC于点N.由已知ADE=90，ABC=90，可证得1=2, 3=4.4分CFED，1=FCM.BCF=4+FCM =3+1=3+2=BAD.BCFBAD

17、. 5分BF=BD，5=6.DBF=5+ABF=6+ABF=ABC=90.DBF是等腰直角三角形. 6分点M是DF的中点，则BMD是等腰直角三角形.BD=BM. 7分已知正方形ABCD内一点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长25.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，为的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边的顶点、在线段上，求及的长；（3）点为内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长. （备用图） 25.解：(1）过作于-1分 =， 点，可得 ， 为中点， ， 点的坐标为.-2分

18、抛物线经过、两点， .可得. 抛物线的解析式为.-3分(2） 抛物线与轴相交于、，在的左侧， 点的坐标为. , 在中，, . -4分过点作于，可得 . 是等边三角形, ,或-6分(写出一个给1分) （3）可以取到的最小值为-7分当取得最小值时，线段的长为.-8分（如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分）25.已知：中，中，,. 连接、，点、分别为、的中点. 图1 图2(1) 如图1，若、三点在同一直线上，且，则的形状是_，此时_；(2) 如图2，若、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；(3) 在图2中，固定，将绕点旋转，直接写出的最大值.25. 解：(1)等边三角形，1

19、；(每空1分) -2分（2）证明：连接、.由题意，得，,. 、三点在同一直线上， 、三点在同一直线上. . 为中点， 在Rt中，.在Rt中，. .-3分 、四点都在以为圆心，为半径的圆上. .又 ， . . -4分 .由题意，又. .-5分 .在Rt中，. ， . .-6分（3）.-7分 (注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)九解答题（本题满分8分）25设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，、F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ/PC.证明：PC=2AQ；当点F为BC的中点时，试比较和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明。

20、25解: (1)延长DE,CB相交于点R,作BM/PC.-1分.AQ/PC, BM/PC,.是AB的中点,D、E、R三点共线,.-3分.同理.相似比是.-4分.另解:连结AC交PQ于点K,- 1分.易证-2分. .-3分.,即PC=2AQ-4分.(2)作BN/AF,交RD于点N.-5分.是BC的中点,RB=BC,.易证.-6分.因PFC(视PC为底)与梯形APCQ的高的比等于中PC边高的比易知即等于PF与AP的比,于是设PFC中PC边的高=3k,梯形APCQ的高=2k.再设AQ=a, 则PC=2a.=3ka,=. 因此.-7分.图11（1）如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=， PC=1求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长图1（2）如图2，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长图图22已知正方形ABCD内一点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长3如图1，四边形ABCD，将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转，若角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一条边与CB的延长线交于点E，连接EF（1）若四边形ABCD为正方形，当EAF=45时，有EF=DFBE请你思考如何证明这个