高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总

1、高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证实方法汇总 高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证实方法汇总 高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证实方法汇总 一立体几何中平行问题 证实直线和平面平行的方法有： 利用定义采用反证法； 平行断定定理； 利用面面平行，证线面平行。 主要方法是、两法 在使用断定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用详细方法：中位线和类似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证：PC面BDQ. 证实：如图，连结AC交BD于点O. ABCD是平行四边形， A O=O C.连结O

2、Q，则O Q在平面BDQ内， 且O Q是APC的中位线， PCO Q. PC在平面BDQ外， PC平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证： (1)E、F、B、D四点共面； 2面AMN面EFBD. 高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证实方法汇总 高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证实方法汇总 证实:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1BD. E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， EF 21B 1D 1.EF 2 1 BD. E

3、、F 、B 、D 对共面. 2连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， MN EF ，EF ?面EFBD. MN 面EFBD. PQ A O , 四边形PA O Q 为平行四边形. PA O Q. 而O Q ?平面EFBD ， PA 面EFBD.且PA MN=P ，PA 、MN ?面AMN ， 平面AMN 平面EFBD. 例3如图1，在直角梯形P 1DCB 中，P 1D/BC ，CD P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=4 6， A 是P 1D 的中点，沿A B 把平面P

4、1AB 折起到平面PAB 的位置如图2，使二面角P CD B 成45，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF/平面PE C ； 证实：如图，设PC 中点为G ，连结FG ， 高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证实方法汇总 高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证实方法汇总 则FG/CD/AE ，且FG=2 1 CD=AE ， 四边形AEGF 是平行四边形 AF/EG ， 又AF ?平面PEC ，EG ?平面PEC ， AF/平面PEC 例4、 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ 面BCE.

5、 证法一：如图1，作PM AB 交BE 于M ，作QN AB 交BC 于N,连接MN, 由于面ABCD 面ABEF=AB,则AE=DB. 又AP=DQ, PE=QB. 又PM AB QN, AE PE AB PM =,BD BQ DC QN = . DC QN AB PM = . PM QN.四边形PMNQ 为平行四边形. PQ MN. 又MN ?面BCE ，PQ ?面BCE ， PQ 面BCE. 证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. AD BC, QK AQ QB DQ =. 又正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ， 高

6、中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证实方法汇总 高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证实方法汇总 PE AP QK AQ =.则PQ EK. EK ?面BCE ，PQ ?面BCE. PQ 面BCE. 例5、正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB 如下图M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。求证：MN /平面BCE 证实：过N 作NP/AB 交BE 于P ， 过M 作MQ/AB 交BC 于Q AB QM AC CM = MQ NP EF NP BF BN =?= 又 ?MQ AB NP / MQPN BCE MN BCE PQ PQ MN 面面/? ? 例6、 /，线段GH

7、、GD 、HE 交、于A 、B 、C 、D 、E 、F ，若GA=9，AB=12，BH=16，72=?AEC S ，求BFD S ?。 H C E A G B D F 证实： FBD EAC BF AE H HA HE BD AC G GH GD =? ?=?=?/ AC BD 219 = =? GB GA BD AC 高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证实方法汇总 高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证实方法汇总 AE BF 2816 =? HA HB AE BF 43 4773sin 21sin 21 =?=?=?B BD BF A AE AC S S BFD AEC 96=BFD

8、S 高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证实方法汇总 高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证实方法汇总 立体几何每日一练基础部分 线面平行问题中位线 1.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 分别是AD 1、BD 上的点，且AP=BQ ，求证：PQ 平面DCC 1D 1。 2如下图，线段，所在直线是异面直线，分别是线段，的中点.(1) 求证：，共面并且所在平面平行于直线和；(2) 设，分别是和上任意一点，求证：被平面平分 3.如下图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点.求证：MN 平面AA 1C 1. 4.如下图，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA=SB=SC ，SG 为SAB 上的高， D 、 E 、 F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判定S G 与平面DEF 的位 置关系，并给予证实. 5.正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ. 求证：PQ 平面BCE.三种方法 D 1 C 1 B 1 A D P Q 高中数学-立体几何位置关