数值分析实验报告插值与拟合

1、数值分析课程实验报告实验名称班级姓名学号序号教师地点数学实验中心评分一、实验目的掌握多项式插值法的基本思路和步骤；了解整体插值的局限性及分段插值的基本思想。掌握最小二乘法拟合的基本原理和方法；培养运用计算机模拟解决问题的能力。二、用文字或图表记录实验过程和结果1. 给定 sinllo = 0.190809,sin12。= 0.207912,sin13。= 0.224951,构造插值多项式计算 sin11o30。编程实现拉格朗日插值，并计算结果。将计算结果和查表结果进行比较。解：通过Larguage差值计算得到插值多项式：f =0.0114898*t2 + 0.970963*t + 0.0040

2、55f=Language(x,y,11.5/180*pi)计算结果为：0.199402625精确结果：0.19936793441画图进行比较：0.90.80.70.60.50.40.30.20.1/000.10.20.30.40.50.60.70.80.91通过观察图像，经比较可知两结果是很接近的。2.区间5,5作等距划分：气=T + kh (k = 0,1,n), h 二四，以七(k = 0,1，,n )为节点对函数f二 进行插值逼近。(分别取n = 5,10,20 )1 + X 2(1) 用多项式插值对f顷)进行逼近，并在同一坐标系下作出函数的图形，进行比较。写出插值函数对f仃)的逼近程度

3、与节点个数的关系，并分析原因。(2) 试用分段插值(任意选取)对f (X进行逼近，在同一坐标下画出图形，观察分段插值函数对f (x)的逼近程度与节点个数的关系。解：(1)结果分析：高次插值稳定性差，而低次插值对于较大区间逼近精度又不够，而且，随着节点的 加密，采用高次插值，插值函数两端会发生激烈震荡。解决这一矛盾的有效方法就是采用分段低次代 数插值。(2)通过采用分段线性插值得到以下结果:结果分析：通过采用分段线性插值，发现随着插值节点增多，插值计算结果的误差越来越小，而且分 段线性插值的优点是计算简单，曲线连续和一致收敛，但是不具有光滑性。已知一组数据如下，求它的线性拟合曲线。X i1234

4、5yi44.5688.5编程实现最小二乘算法，并画出其拟合曲线求出其平方误差。解： x=1,2,3,4,5; y=4,4.5,6,8,8.5; f=ispoly(x,y,1)拟合得到的线性曲线为：y=1.25x+2.45通过计算的误差平方和为：2.7803(3) 对于模型y(x) = aex，首先做变换z = ln(y),t =-，则有 xz =以 + P t其中，以=ln(a),p =b把原始数据变换得到(z,t)xi0.50000.33330.25000.14290.12500.1000yi4.66744.68404.69594.70054.69984.7049xi0.09090.0714

5、0.06250.05560.0526yi4.70584.70594.70744.70954.7113拟合得到：z= 4.7139 -0.0903t 进而得到拟合曲线：拟合误差平方和为：0.4719，通过计算比较发现，通过对数变换之后得到的拟合结果比进行二次函 数拟合的结果要好很多。所以对于一些特殊的函数拟合，可以通过一些变换，进行拟合。拟合是指通过观察或测量得到一组离散数据序列(x,七)，i=1,2，m，构造插值函数9 (x)逼近客观存在的函数y = y (x)，使得向量Q = (9 (x ),9 (x ), .9 (x )了与Y = (y , y ,., y ) t的误差或距12m12m离最

6、小。可知当基函数的选择不同时，拟合函数的误差也会不同，所以在对数据进行拟合时应选择适合 的基函数。三、练习思考整体插值有何局限性？如何避免？答：整体插值的过程中，若有无效数据则整体插值后插值曲线的平方误差会比较大，即在该数据附近 插值曲线的震动幅度较大。在插值处理前，应对原始数据进行一定的筛选，剔除无效数据。2、基函数的选择对拟合的结果有何影响？答：基函数的选择不同，会导致拟合后曲线与原函数的平方误差大小不同，影响拟合的精度。3、简述数据拟合与插值的异同。答不同点：拟合是指已知某函数的若干离散函数值f1,f2,，fn，通过调整该函数中若干待定系数 f（入1,入2,，入3），使得该函数与已知点集的差别（最小二乘意义）最小。而插值是指已知某函数的 在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得 该函数在给定离散点上满足约束。相同点：通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义在连续集合S（