差量代换法证明不等式

1、FU Le-xinProving Inequality by Difference Substitution Method差量代换法证明不等式傅乐新(珠海市第一中学，519000)不等式证明是数学竞赛中的一个热点内容，形形色色的代换法是证明不等式 的重要方法之一.本文结合实例介绍差量代换法证明数学竞赛中的一类不等式.对于两个实数a与b ,可作差量代换x a b,对于数学竞赛中的有些不等式 利用这个简单的代换给不等式“洗把脸”，往往能使不等式的面貌焕然一新，从而 使不等式得到证明.先看个两个简单的例子.例 1 已知 k a b c 0,求证：k2 (a b c)k ab bc ca 0 .证明：

2、设x k a , y a b , z b c, w c,则 x、y、z、w 0,k w x y z, a w y z,b wz,c w,于是222k a b c k ab bc ca 0 w wx x xy zw 0.22而w wx x xy zw 0显然成立.1例 2 在AABC中，若a b c 1,求证：a222 b2 c2 4abc -.2证明：设x a b c, y b c a, z c a b,贝Ux 0, y 0, z 0,且2a z x, 2b x y , 2c y z , x y z a b c 1 ,于是2 2xyz 2.而2 2xyz 2显然成立.下面是一些更加复杂的竞赛题

3、.例3设a, b, c是一个任意三角形的三边长，求证：2 “、，2 ,a (b c a) b (c ab)2 ,、c (a b c)3abc .(第 6 届 IMO -2 )证法一：设x a ba b,则 x 0, y0, z 0,且2:x y xyy z yz22z x zx 6xyz2x y y z z x xL y y 0. TOC o 1-5 h z xyz xyyzzx8 yxzyxz证法二：不妨设a b c 0,并令x a b , y bc,zc,则 x0,y0,z0,a xyz,byz, cz,于是222=3 xyzyzzxyzzxyzxzzx2yz-3c2-2 八2c322c2

4、xyz x 2x y 3y z 2yz 2zx z yz0.例4实数a,b,c和正数 ，使得f (x)x等号当且仅当x y z 0即a b =c 0时成立.2ax2bxc有三个实数根xi , x2 , x3 ,且满足： x2 xi ；/M、1(II ) x3 - xi x2 . 23求3c的最大值.3（2002,全国高中数学联赛）解：令t 2x3x1x2,u 上，又x2x1,ax1x2x3,贝U TOC o 1-5 h z 1 c 2, 2 2 c 2 c 2. 218 33.3u 9 u 2u 9 u 9 u .488.32故当u 卮原式取得最大值3叵.227例5 已知a b c 0,且a

5、b c 3,证明：ab bc ca 一 ,并确止等8号成立的条件.（2002,中国香港数学奥林匹克试题） 证明：设x a b, y b c, z c,则 x 0, y 0, z 0 a x y z, b y z, c z, a b c x 2y 3z 3,于是由x 0, y 0, z 0,可知332222220 x 17z 4xy 6x y 11y z 27yz 17z x 8zx 18xyz 显然成立.例6 已知x y z 0,2z x 2 xy（第31届IMO预选题）证明：设a xy, b yz, c z ,贝Ua0,b 0, cx a b c, yc,于是32,2a bc 3a bc3 2,3c a abc0.由 a 0, b 0,c 0可知_ 2 3_43a2b3 3ab4_ 4_ 33b4c 3b32 22 26ab2c2 6a2b2c8ab3c32,2a bc 3a bc3 2,3c a abc0显然成立.1 单博胡大同,参考文献:数学