《信号与系统》信号-7

1、信号与系统信号-7信号与系统信号-7这个“最少个数”称为：网络复杂度。 3. 不适宜编写程序； 4. 不能推广到时变和非线性系统的分析。随着系统内部结构的复杂程度的增加，六十年代中期提出了状态变量分析法。其实质：将网络方程列写成关于“状态变量”的一组一阶微分(差分)方程组。也就是说，描述系统最少需要列写多少个一阶方程来表征它。这个“最少个数”称为：网络复杂度。 3. 不适宜编写显然，全电阻网络不需要用微分方程来描述它，故，网络复杂度为零。如果 系统的全部状态变量的变化规律已经求出，那么，系统中的任何变量(电压或电流)只需要用状态变量的代数方程来描述。显然，全电阻网络不需要用微分方程来描述它，故

2、，网络复杂度为零7-1 状态与状态空间一、系统的状态 本质是指系统的储能状态。描述这种状态的变量称为状态变量。常用来表示；一般称时刻的状态为初始状态，常用来表示；且经常取。一组状态变量可以用一个矢量来表示：7-1 状态与状态空间一、系统的状态 本质是指系统的状态矢量所描述的空间称为状态空间。 状态矢量所包含的状态变量的个数称为状态空间的维数，或系统的阶数。也就是网络复杂度。x(t)用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分析法。 状态矢量所描述的空间称为状态空间。 状态变量分析法步骤：1. 选定状态变量；2. 建立状态方程(一组一阶微分或差分方程)；即，建立状态变量与输入之间的关系。3.

3、建立输出响应与输入激励关系的输出方程 (一组代数方程)；4. 求解这些方程。状态变量分析法步骤：1. 选定状态变量；2. 建立状态方程(它们直接与储能状态相联系，且使用方便。在线性时不变系统中，在电路已知时，状态变量常选电感电流和电容电压。原因：当然，也可以选取电荷和磁链作为状态变量；还可以选取其它的一些变量。但下列情况必须注意到：一个系统的状态变量的个数是确定的；但哪几个变量并不唯一。当已知电路时：它们直接与储能状态相联系，且使用方便。在线性时不变系统中，在首先， 和 与储能情况相联系：但当 存在CC或vS-C回路时 (常称为全电容回路)时，其中一个电容的电压受KVL限制，此电压并不独立；当

4、 存在LL或iS-L割集时 (常称为全电感割集)时，其中一个电感的电流受KCL限制，此电流并不独立。设： 为独立的状态变量的个数(网络复杂度)；为电路电容和电感的总数；首先， 和 与储能情况相联系：但当为独立的全电容回路的总数；为独立的全电感割集的总数。有为独立的全电容回路的总数；为独立的全电感割集的总数。有显然，独立源并不影响 n 的个数。电压源短路；电流源开路。所以，在判定 n 的大小时：方法：7-2 连续系统状态方程的建立1. 直接法：直观编写法(已知电路)系统编写法显然，独立源并不影响 n 的个数。电压源短路；电流源开路。所2. 间接法：由输入输出方程编写法(一)连续时间系统状态方程的

5、建立 由系统模拟图编写法1.直观编写法(编写依据：KCL、KVL、VCR)vCRLCvSiL2. 间接法：由输入输出方程编写法(一)连续时间系统状态方由KVL：整理一下：由VCR：由KVL：整理一下：由VCR：这就是状态方程。写成矩阵的形式：至于输出响应，可以与状态变量相同，也可以不同。设输出为 ，则输出方程为这就是状态方程。写成矩阵的形式：至于输出响应，可以与状态变量注意，这个方程是代数方程。写成矩阵形式，为例：Cv1iL1vCiL2R1R2L1L2v2注意，这个方程是代数方程。写成矩阵形式，为例：Cv1解：第一步，选取状态变量：分别记为第二步，列写基本方程：KCL方程两个网孔的KVL方程：

6、解：第一步，选取状态变量：分别记为第二步，列写基本方程：KC第三步，消除中间变量(本例无“非状态变量”)第四步，整理，写成矩阵方程的形式。第三步，消除中间变量(本例无“非状态变量”)第四步，整理，写状态方程的标准形式：状态方程的标准形式：设 R2 上的电压为输出 y 。有输出方程的矩阵形式为输出方程的标准形式为设 R2 上的电压为输出 y 。有输出方程的矩阵形式为输出方D： 矩阵 A ： 方阵状态变量的个数B ： 矩阵输入电源的个数C ： 矩阵输出变量的个数必须指出：1. 第四步消除中间变量(非状态变量)，一般情况下不太容易；D： 矩阵 A ： 2. 当电路存在C-C回路，L-L割集时，有可能

7、得不到标准的(范式的)状态方程。它会是但只要假设新的状态变量，得，代入上式，得有2. 当电路存在C-C回路，L-L割集时，有可能得不到标准的3. R、L、C组成的电路一定存在标准的状态方程；但当含有受控源时，就不一定了(当然这是极少数情况)。当不存在C-C回路L-L割集时，下面的方法显得比较简单：v2vSi1v3i6R5R4C2L6C3i13. R、L、C组成的电路一定存在标准的状态方程；但当含有受(1) 选取v2、v3、i6为状态变量，并注意动态元件的v-i参考方向关联；(2) 画替代图：C 用电压源替代，L 用电流源替代；vSi1v3i6R5R4i1i2i3v2v6(3)列替代图的方程。(

8、1) 选取v2、v3、i6为状态变量，并注意动态元件的v-vSi1v3i6R5R4i1i2i3v2v6用代入，vSi1v3i6R5R4i1i2i3v2v整理，得整理，得得写成矩阵形式：得写成矩阵形式：若设 为输出，有若设 为输出，有2. 从输入输出方程导出状态方程已知微分方程时的情况。 略3. 从系统函数建立状态方程2. 从输入输出方程导出状态方程已知微分方程时的情况。 略已知微分方程 模拟图建立状态方程例：得已知微分方程 模拟取状态变量:则状态方程为：取状态变量:则状态方程为：输出方程为：矩阵形式为：有时称为直接模拟。输出方程为：矩阵形式为：有时称为直接模拟。上述方法的优点是无需求得特征方程

9、的根。除此之外，还有许多方法。常见的有下面两种。1. 并联子系统实现并联系统模拟图为上述方法的优点是无需求得特征方程的根。除此之外，还有许多方法由即设状态变量如图由即设状态变量如图得得2. 串联子系统实现串联系统模拟图为2. 串联子系统实现串联系统模拟图为选取状态变量如图,状态方程为选取状态变量矩阵形式为矩阵形式为(二)离散时间系统状态方程的建立 (7-4) 相当于状态变量 改为 ，输入变量改为输出变量改为改为模拟图中的积分器改为延迟器方程形式：(二)离散时间系统状态方程的建立 (7-4) 相当于状态例：模拟图：例：模拟图：写成矩阵形式：或写成矩阵形式：或并联模拟图：显然，有并联模拟图：显然，

10、有状态方程写成矩阵形式：串联型状态方程 略状态方程写成矩阵形式：串联型状态方程 略7-3 连续时间系统状态方程的解先讨论用拉氏变换求解，然后讨论时域求解。一、拉氏变换法拉氏变换的微分性质能使微分方程的求解问题转换成代数方程的求解问题。对照一阶标量微分方程即状态方程7-3 连续时间系统状态方程的解先讨论用拉氏变换求解，然后讨方程两边进行拉氏变换得：方程两边进行拉氏变换得：式中 I 为单位矩阵。定义：分解矩阵它的拉氏反变换为状态转移矩阵状态方程的拉氏变换解为(零输入)(零状态)式中 I 为单位矩阵。定义：分解矩阵它的拉氏反变换为状态转移状态方程的时域解为(零输入)(零状态)例：状态方程的时域解为(

11、零输入)(零状态)例：2. 解：1. 先求分解矩阵2. 解：1. 先求分解矩阵3.3.信号与系统信号-7反变换，得反变换，得如果，状态变量不是输出，还需代入输出方程：当然，也可以直接用公式来表示：零输入零状态最后反变换求得时域表达。如果，状态变量不是输出，还需代入输出方程：当然，也可以直接用如果定义系统函数矩阵上式中，A、B、C、D是常数矩阵；只有中才有变量 s ，所以 与 共同的分母。或者说，有相同的极点。由 均为的根。定义 特征方程、特征根。如果定义系统函数矩阵上式中，A、B、C、D是常数矩阵；只有中讨论：当V(s)=0时，标量方程 状态方程 可以推断：即：状态转移矩阵与分解矩阵是一对拉氏变换对讨论：当V(s)=0时，标量方程 且状态转移矩阵为矩阵指数函数：它具有相应标量指数函数的一切性质。如同样地：且状态转移矩阵为矩阵指数函数：它具有相应标量指数函数的一切性同样有等