《电动力学(第三版)》静电场chapter2-3

1、电动力学(第三版)静电场chapter2_3电动力学(第三版)静电场chapter2_3内 容 概 要 1. 直角坐标系下的通解 2. 球坐标系下的通解 3. 柱坐标系下的通解 4. 拉普拉斯方程解的应用 2.3 分离变量法解拉普拉斯方程 内 容 概 要 1. 直角坐标系下的通解2.3 分离变量唯一性定理自由电荷分布在具体的区域内大部分空间没有自由电荷分布 空间电场给定电荷分布和边界条件泊松方程泊松方程表面作为求解空间的边界 产生电场的电荷分布在区域的边界上, 其作用通过边界条件反映出来. 这类问题的解法是求解拉普拉斯方程的满足边界条件的解. 拉普拉斯方程唯一性定理自由电荷分布在具体的区域内空

2、间电场给定电荷分布和边区域外可以有电荷，通过边界条件影响内部.在无自由电荷的空间区域，泊松方程变成： 拉普拉斯（Laplace）方程拉普拉斯算符：直角坐标：柱坐标：球坐标：区域外可以有电荷，通过边界条件影响内部.在无自由电荷的空间区1. 直角坐标系下的通解直角坐标中的拉普拉斯方程1. 直角坐标系下的通解直角坐标中的拉普拉斯方程xyz =V(x,y) =0 =0=0 x=ay=bz=c 以一个长方盒为例，在(x,y,z)方向上的线度为(a,b,c). 除了z = c 的面上的势等于V(x,y)外,这个盒的所有其他几个面的势都等于零. 需要求的是盒内各处的势. 由下述必要条件：当x = 0, y

3、= 0, z = 0时, = 0,容易看出, X, Y, Z必需具有如下形式：为了确定 2, 2,必须对势加上特殊的边界条件. xyz =V(x,y) =0 =0=0 x=ay=bz为使x = a与y = b时, = 0,必须有a = n, b = m为使x = a与y = b时, = 0,必须有a = 边界条件z = c时, = V(x,y)V(x,y)的二重傅里叶展开 如果长方盒所有六个面的势都不等于零,我们就可以通过六个解的线性叠加,得到盒内势的解. 边界条件z = c时, = V(x,y)V(x,y)2. 球坐标系下的通解球坐标中的拉普拉斯方程zxyrP如果多变量函数可以分离：或2.

4、球坐标系下的通解球坐标中的拉普拉斯方程zxyr左边两项分别仅与r和(,)相关，故两项必须是与变量无关的常数，记为和-，实现第一次变量分离：(2)式左边两项分别仅与和相关，故为常数，记为和-，实现第二次变量分离：左边两项分别仅与r和(,)相关，故两项必须是与变量无关的电势的单值性要求，h()应为周期2的周期函数(4)式通解为缔合勒让德(Legendre)方程电势的单值性要求，h()应为周期2的周期函数(4)式通解缔合勒让德方程，在 内具有有限解的条件：缔合勒让德函数：通解为球坐标下拉普拉斯方程的通解：缔合勒让德方程，在 内具有有限解的条件：缔合勒让德球坐标下拉普拉斯方程的通解：若系统具有轴对称性

5、，取对称轴为z轴，勒让德函数若问题具有球对称性球坐标下拉普拉斯方程的通解：若系统具有轴对称性，取对称轴为z3. 柱坐标下的通解二维问题的解：或写成：若二维问题又具有轴对称性，则电势与无关一般用于二维问题.3. 柱坐标下的通解二维问题的解：或写成：若二维问题又具有4. 拉普拉斯方程解的应用分离变量法的解题步骤： 根据界面的形状选择适当坐标系. 建立坐标系，写出场量所满足的方程，写出通解. 写出边界条件和衔接条件(即不同区域分界面上的边值关系). 根据定解条件，求出通解中的积分常数. 将求出的积分常数代入通解表达式，得到实际问题的解. 关键步骤： 充分利用对称性，写出简单的通解. 正确写出边界条件

6、，不能有遗漏. 4. 拉普拉斯方程解的应用分离变量法的解题步骤： 根据例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳,带电荷Q,同心地包围着一个半径为R1的导体球(R1R2). 使这个导体球接地,求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷. 边界条件为：有球对称性 ,电势不依赖于角度, n0. (1) 内导体球接地(2) 导体是等势体(3) 球壳总电荷Q 解：导体壳内的电势为导体壳外的电势为例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳,带电荷Q,把电势表达式代入边值条件,联立方程求解,得其中导体球上的感应电荷为把电势表达式代入边值条件,联立方程求解,得其中导体球上的感应轴对称(z轴)，分区均匀解

7、：介质球外：介质球内：z例2 电容率为的介质球置于均匀外电场 中,求电势. 轴对称(z轴)，分区均匀解：介质球外：介质球内：z例2 电边界条件:边界条件:(3) 边界连接条件:比较 的各阶系数，可以将各系数确定. (3) 边界连接条件:比较 系数行列式非零系数行列式非零空间电势：介质球内为均匀电场：球内极化强度：球内总极化电偶极矩：偶极子产生的电势：空间电势：介质球内为均匀电场：球内极化强度：球内总极化电偶极解：边界连接条件：表面电荷密度：空间电势：静电情况下，导体相当于介质例3 半径为R0的导体球置于均匀外电场 中，求电势和导体上的电荷密度. 解：边界连接条件：表面电荷密度：空间电势：静电情况下，导体相例4 导体尖劈带电势V,分析它的尖角附近的电场. 用柱坐标系. 取 z 轴沿尖边. 设尖劈以外的空间, 即电场存在的空间为0 2- (为小角).因 不依赖于z,柱坐标下的拉氏方程为可得其通解为:由边界条件:劈尖=0面上, =V, 与r无关, 所以解：例4 导体尖劈带电势V,分析它的尖角附近的电场. 因r 0时有限，得在尖劈=2- 面上， =V与r无关，必须因此v的可能值为考虑这些条件， 可以重写为在尖角附近r 0 ，上式求和式的主要贡献来自r的最低次幂项，即n