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1、 中国古代数学思想与方法（一）邓 鹏西华师范大学富硒功能农业第1页一、神奇创造中华数学之光周易数学思想 周易又称易经-为“五经”之首（尚书、礼记、诗经、春秋） 周易分为两大部分：易经和易传。经包含卦、爻两种符号和卦辞、爻辞两种说明。相传伏羲画卦，文王作辞。大约西周初年（公元前11世纪）成书，后经春秋、战国以至西汉人陆续写成。富硒功能农业第2页富硒功能农业第3页 怎样说“理”？经过数和数表八卦和六十四卦，来进行探究。 所以，周易是我国古代哲学著作，其中又包含有不少数学知识和数学思维结果。它不但对我国传统思想、文化发展起了巨大影响和启迪作用，而且直到今天，它依然吸引着不少中外学者研究兴趣。它潜在思

2、想内容，实在太丰富了。 周易试图讲述宇宙万事万物不停改变、相互转化、化繁为简“不易之理”。富硒功能农业第4页八卦二进制原理 卦是由两种符号组成： 阳爻“” 阴爻“ “ 这两种符号重复抽取三次， 那么就有八种可能结果，把每种结果起一个名字，就形成了八个经卦（简称八卦）：乾、巽（音：迅）、离、艮、兑、坎、震、坤富硒功能农业第5页太极八卦图 再给每一卦配一个方位，围绕太极排列起来，就组成了太极八卦图。富硒功能农业第6页 假如将 阳爻 “ 1” 表示，阴爻 “ 0” 表示， 那么上述八卦恰好是二进制数头八个数： 111， 110， 101， 100，011，010， 001， 000 从阳爻、阴爻中重

3、复抽取六次，就得到64个别卦，恰好是二进制数头64个数。 富硒功能农业第7页 17世纪末，德国数学家莱布尼兹（16461716）就醉心研究二进制记数法。当他从来华传教士域明我那里了解到中国周易里八卦时，欣喜若狂，他认为中国古老八卦就是二进制记数制证实。 他还写信给中国康熙皇帝，赞扬中国古代科学成就，提议建立中国科学院（德国科学院就是他提倡成立）。 只须要两个记数符号 1和0，或者是阳爻和阴爻，就能将任意大正整数表示出来。 富硒功能农业第8页 演卦中数学原理 演卦并不是简单地从两种不一样符号中随意抽取三次或六次而得到。演卦有一个复杂既定程序。大致过程是这么： 首先，取长短大致相同蓍草（蓍：音诗

4、，一个野草茎杆）50根，去掉一根，实用49根。 第一步，将一堆蓍草随意分为两把，从右手中抽一根夹于左手小指与无名指之间。左、右两把蓍草分别四根一数，最终将所剩下四根或不足四根、连同左手夹一根除去。这称之为“一变”。一变剩下蓍草要么是40根，要么是44根。 富硒功能农业第9页 第二步，将这所剩蓍草再随意分成左、右两把，如前再数一次，去掉零头，谓之“二变”。二变后剩下根数，为40、36、32这三种情况之一。 第三步，将剩下蓍草再进行“三变”, 最终所剩根数为36、32、28、24这四种情况之一。 第四步，将所剩蓍草用4除，所得商为6、7、8、9四个数之一，谓之一爻：奇数为阳爻，偶数为阴爻。 得三爻

5、即成一经卦，得六爻即成一别卦。富硒功能农业第10页 演卦包含数学思想： 其一，把正整数分成奇数和偶数两大类； 其二，“三变”重复用4除带余除法，且余数多少决定卦象；余数相同则卦象相同，含有“同余”思想。 其三，在演卦过程中，每变对最终结果阴爻和阳爻影响是机会均等。亦就是说，三变成爻，阴爻和阳爻是等概率。富硒功能农业第11页三变成爻框图表示富硒功能农业第12页富硒功能农业第13页历书干支记日法 在中国古代，怎样来记载历史上某年某月某日发生了某事呢？这实在是个难题。我们祖先却想出了一个绝好方法干支记日法。 天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸 地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、

6、戌、亥 用10个天干和12个地支搭配起来，成为甲子、乙丑、癸亥，共60个不一样干支名，称为六十甲子。用这60干支给每一日起一个名字，依次为甲子日、乙丑日、，癸亥日，然后又从头以甲子命名，周而复始，循环使用。富硒功能农业第14页六十甲子表富硒功能农业第15页 我国干支记年从东汉四分历颁发实施那一年东汉章帝元和二年（公元85年）开始，自那以来，直至今天都连续使用这种干支记年法，从未间断，也从未混乱过。这是世界上使用时间最长记年法。 中国早在商代就已创造了干支记日法。甲骨文中卜辞就是用干支记日，还发觉有比较完整甲子表。殷商帝王们也大多用其出生那一天干支日名来命名，如 帝辛就是商纣王名字。富硒功能农业

7、第16页干支年号与公元年号推算 给公元前每一年取一个干支名。以公元年是甲子年为参考。 由此得到计算公元年干支年号方法。设公元年数为N，令 b N60q3 这里q是自然数，0b 60。b就是最近一个甲子周期所剩年数，在甲子表中第b个干支名，就是所要计算那一年干支名。富硒功能农业第17页比如，求1937年干支名。 b 1937 6032314 甲子表中第14个干支名为丁丑，所以1937年是丁丑年。富硒功能农业第18页能够不查甲子表，直接进行以下推算： 在甲子表中，天干逢10一循环，凡第1、11、21、31、41、51位天干皆是甲，地支逢12一循环，凡第1、13、25、37、49地支皆是子。 所以，

8、可求得 富硒功能农业第19页则第 个天干与第 个地支搭配，就是这一年干支名。 比如，求1898年干支名： b = 189860313 = 35， 第五个天干名是戊，第十一个地支名是戊，所以1898年是戌年，即是“戊戌变法”那一年。富硒功能农业第20页反过来，也能够用干支年号推算公元年号。 比如，甲申年李自成起义失败，甲申年是公元多少年？ 首先判断李自成起义失败在17世纪。公元4年是甲子，公元是甲戌，公元24年是甲申。所以 246027 = 1644年是甲申年。而17世纪中只有这一个甲申年。故李自成起义失败是在1644年。富硒功能农业第21页 据春秋记载： “鲁隐公三年春王二月己巳日有食之”，能

9、够推得这一次全日食，发生在公元前72月22日。 注意：按国际通例，公元元年（1年）前一年是公元前1年（1年），没有公元零年。所以，推算公元前某年干支年号，从公元4年（甲子年）往前推要减去一年。 近代史上许多重大事件，也常以该事件发生干支年号来命名，如“辛亥革命”、“甲午战争”、“辛丑条约”、“庚子赔款”等。富硒功能农业第22页人生“八字” 用干支记日、记年同时，我国还用于支记月、记时。每个人出生时间由年、月、日、时来决定，年、月、日、时干支名分别用两个字表示，总共八个字，这就是旧时人们常说人生“八字”。 这个人生“八字”，只是统计一个人出生年、月、日、时干支名，起了记时作用，并没有更多意义。宿

10、命论者认为“八字”决定人一生命运，是一个毫无依据。 富硒功能农业第23页河图、洛书数学奥秘 相传伏羲时代，黄河有龙马负图出水，是谓“河图”； 大禹治水时，洛水有神龟负图登岸，是谓“洛书”。据明代程大位算法统宗所载，河图、洛书以下列图所表示：周易：河出图，洛出书，圣人则之。这图和书是圣人一切知识源泉，治理国家策略富硒功能农业第24页河图 洛书 富硒功能农业第25页 其实河图、洛书都是由小圆点排列而成数阵图。若把点子改写成数字，洛书就变成“九宫图”：九宫图 规律：每行、每列、两条对角上三个数字之和均为15。 这绝对不是能够随便写得出来。它是人类高度智慧产物，是古人数学思维结晶。富硒功能农业第26页

11、 最早记载这个九宫图，是写于东汉初年大戴礼记（成书于公元80年）。但关于河图、洛书传说，却远在公元前5世纪以前。 九宫图在中国发展为“纵横图”，传到中亚和西方，称为“幻方”。九宫图本身是世界上最早三阶幻方。富硒功能农业第27页杨辉“纵横图” 洛书和九宫图，到了南宋，数学家杨辉（公元13世纪）把它命名为“纵横图”，而且把它看成数学对象来进行研究。 N 阶纵横图要求是： 把 个连续自然数排成n行、n列，使每行、每列、每条对角线上n个数之和都相等。富硒功能农业第28页 杨辉创编出了四阶、五阶，以至十阶纵横图，以及其它形式连环图。如 聚八图 攒九图 富硒功能农业第29页 这影响到明清两代数学家研究兴趣

12、。明代程大位（15331606）给出了14个纵横图，清初张潮（ 1600一？）在算法补图中又造出不少新连环图。保其寿还造出了一个立体连环图。张潮连环图 保其寿立体连环图 富硒功能农业第30页 杨辉创造性不但表现在他把三阶纵横图推广到高阶，而且研究了纵横图结构法。以4阶纵横图为例： 将l16顺次排成4行、4列。先外四角对换，再内四角对换，便得到一个4阶纵横图。它每行每列各数之和都是34，两条对角线之和也是34。富硒功能农业第31页向宇宙人展示智慧 我们人类居住地球，是宇宙中一个普通星球。茫茫宇宙之中有没有穷无尽大小星球，其中有没有第二个地球？有没有像我们地球人一样宇宙人？ 假如真有这么宇宙人，那

13、么又怎样沟通彼此之间信息呢？双方语言不通，电讯密码不一样，怎样能把地球上人类信息传递出去呢？用什么方式向宇宙人通告我们人类智慧呢？富硒功能农业第32页 科学家们从中国洛书得到启示，提出用一个四阶幻方来传达地球人智慧信息一个用点子数表示 完美幻方 富硒功能农业第33页 这个幻方之所以称为“完美”，是因为它含有更多、更美妙性质 ：（1）它每行、每列、两条对角线（主对角线）各数之和（幻和）皆等于34。 （2）四角上四个数之和等于 34。 （3）中间四个数之和等于34。 （4）四角上四个田字格四个数之和等于34（5）每边相邻二数与对边对应二数之和，皆等于34。富硒功能农业第34页（6）每条次对角线各数

14、之和，也等于34，也就是说，若将两个拚在一起，每条斜对角线各数和，都等于34。 正像洛书向今人展示中华民族祖先们高度智慧一样，这个四阶完美幻方，也能够向宇宙人通告我们地球人今日智慧程度。 富硒功能农业第35页4. “量”从何出？人们常说：数是数出来，但数出来数，只能是正整数。分数、小数，是数不出来。这些数是“量出来量数。一个物体长度、重量（质量）和体积（容积），是三种最主要量。怎样才能知道其量多少（量数）呢？这就须要有一个同类标准量。度量衡标准单位怎样来制订呢？中国古代智者想出了一个绝妙方法 富硒功能农业第36页黄钟起度相传黄帝时代，伶伦和荣将受命制乐律。他俩取来昆仑山山阴之竹，选两节之间均匀

15、者，截取9寸长、3分径一节竹管。用它吹出声调，定为基准音黄钟。 然后，用“三分损益”方法，得到不一样长度竹管，吹出高低不一样“六吕”与“六律”共12个音调，组成一个音阶古代乐器，如铜编钟、石磐等，都是按此要求确定音调。 富硒功能农业第37页 “三分损益”包含“三分损一”、“三分益一”两层含义。 三分损一是指将原有长度作3等分而减去其1份，即：原有长度(3-1)/3生得长度；而三分益一则是指将原有长度作3等分而增添其1份，即：原有长度(3+1)/3生得长度。两种方法能够交替利用、连续利用，各音律就得以辗转相生。 注：富硒功能农业第38页用黄钟音调来确定长度：选长度与直径为30：1均匀竹管，若吹出

16、声音与黄钟相合（共鸣），那么就定此竹管长度为9寸。它九分之一为1寸，10寸为1尺。于是长度标准就决定下来了。 因为编钟、竹笛声音是否一致，是大家都能区分出来，所以这么决定出来长度单位能够得到公认。 富硒功能农业第39页定出长度单位之后，再用下法来确定体积（容积）单位和重量单位： 黄钟竹管容积，定为l龠（音 月），2龠为1合，10合为1升，10升为 1斗。取籽粒均匀粟，使黄钟竹管（l龠）恰好容1200粒，其重量定为12铢，24铢为 1两，16两为1斤（古制）。体积（容积）单位：重量单位：于是，由黄钟之竹，就将长度、容积、重量标准单位完全确定了。 富硒功能农业第40页历史现象往往有惊人相同之处，今

17、天我们和世界上大多数国家共同使用长度单位米，就是利用“黄钟起度”科学思想制订出来。开始，人们制订一个标准长度实物米原器，保留在法国，作为各国制订长度单位参考标准。但这既不方便，又不精密。伴随科技进步，对长度准确程度要求越来越高。1960年国际计量大会经过决定：长度基本单位“米”：为同位素氪86原子和级之间跃迁所对应辐射，在真空中1650763.73个波长长度。富硒功能农业第41页中国古代是利用声波（黄钟）频率来确定长度单位，当代是用原子辐射光波波长来确定长度单位。二者异曲而同工。从这里，我们好像听到了古老“黄钟起度”历史回声。富硒功能农业第42页5. 音乐中数学中国古代早期采取五声音阶：宫、商

18、、角、征、羽，其声调高低依“三分损益”法来定。富硒功能农业第43页但“三分损益”法得出音程不够准确：高八度音频率并不恰好是基准音一倍。按此制作乐器，在转调时会发生困难。那么怎样才能克服上述缺点呢？明代数学家、乐律学家朱载堉（15361611）于1584年创造了“十二平均律”，创造性地处理了这个难题。所谓“十二平均律”，是将高低八度之间一个音阶按百分比等分为12段，每一段为一个半音，共有12个音调，每两个音阶频率之比相等。 富硒功能农业第44页若设一个音阶中12个音调频率依次为那么它们组成一个公比为等比数列。富硒功能农业第45页十二平均律是当代音乐理论基础。朱载堉发觉在世界上是最早。法国音乐理论

19、家梅尔森（15881648）直到 1636年才发表十二平均律，比朱载墒晚了52年。 数学思想方法，在中国五千年文明形成中发辉了巨大作用！富硒功能农业第46页二、今有术求百分比之法 术解答问题方法 今有术指各种百分比计算方法。它包含正百分比、反百分比、复百分比、配分百分比、连百分比等。“率”古代在商品交换中等价物各自数量标准由此抽象出“率”这个数学基本概念。 率就是百分比 富硒功能农业第47页 中国古代关于百分比思想与方法形成很早，九章算术称为“今有术”，刘徽对此评价很高，认为这是解百分比问题普通法则。即富硒功能农业第48页 九章算术“粟米”章第一题：“粟米之法，粟率五十，粝米(糙米)三十，今有

20、粟一斗，欲为粝米，问得几何？” 答曰：6升。术曰：“以全部数乘所求率为实(被除数)，以全部率为法(除数)，实如法而一”(被除数除以除数所得商就是所求数)。 所以，我们得到全部数为10升（即一斗），全部率为50，所求率为30，这么就有富硒功能农业第49页 古代名题-客去忘衣 九章算术“均输章”第16题：“今有客马日行三百里。客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉。持衣追及与之而还，至家视日四分之三。问主人马不休，日行几何？答曰：七百八十里。 也就是说：“客人马速日行三百里，客走后三分之一日，主人发觉客人有衣服忘记带走，马上骑马追赶，追上客人交还衣服后又骑原来马回家，到家时已过了四分之三日。问主人马速

21、日行多少里?”答数：日行780里。富硒功能农业第50页 术曰：“置四分日之三，除三分日之一，半其余认为法。副置法，增三分日之一，以三百里乘之，为实。实如法，得主人马一日行。” 利用“今有术”，用当代形式解释以下： 富硒功能农业第51页 刘徽注：“是为客行率五，主人马行率十三。于今有术，三百里为全部数，十三为所求率，五为全部率，而今有之，即得也。”富硒功能农业第52页相关复百分比和配分百分比问题。青苗问题 九章算术“衰分”章第二题：“今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗。羊主日：我羊食半马。马主日：我马食半牛。今欲衰偿之，问各出几何？” 答曰：“牛主出二斗八升、七分升之四；马主出一斗四升、七分升

22、之二；羊主出七升、七分升之一。”富硒功能农业第53页 “今有牛、马、羊吃了人家地里青苗，苗主要求它们主人赔偿小米五斗。羊主人说：羊吃去青苗只是马二分之一；马主人说：马吃去青苗也只有牛吃二分之一。那么，他们各应分摊多少小米?” 答曰: 牛为 (升) ，马为 (升) ，羊为 (升) 术曰：“置牛四、马二、羊一，各自为列衰，副并为法。以五斗乘末并者各自为实。实如法得一斗。”译成今文：富硒功能农业第54页“今有术”与“三率法” 利用“今有术”，对当初视为比较复杂而又在生产、生活中惯用到各种百分比问题，都能得到处理。不但如此，今有术还传到国外，对当初世界数学产生很大影响。 公元五、六世纪起，印度很多数学

23、著作就开始讨论百分比问题。他们创造了“三率法”。 婆什迦罗对百分比问题定义为“三率法”时说：“这里有三个量，所以定义为三率法”。相当于我国今有术中全部率、全部数和所求率，按一定次序列出。 富硒功能农业第55页 印度“三率法”和我国有两千多年历史“今有术”完全相同 ，且印度古算中用到三率法处理问题，其题意也与我国今有术要处理问题颇有类似地方。 印度“三率法”经阿拉伯人传至欧洲，在1416世纪文艺复兴时期，三率法曾风靡一时，给当初商业带来很大方便，欧洲人誉为“黄金法则”。 英国人霍德说：“此律通称黄金法则，之所以如此称呼它，是因为它当之无愧。此律远胜算术其它各种方法，如同黄金是一切金属极品那样宝贵

24、。” 可正当”三率法“在欧洲盛行之时，而”今有术“在我国却备受冷落。富硒功能农业第56页三、 盈不足术两次假设之法 “盈不足术”是中国古代解应用问题一个别开生面方法, 在古代算法中占有相当主要地位。“盈不足术”问题思想方法 假定有一些物品要分摊给一些人，假如物品数和人数都是未知数，那么怎么办呢？ 我们能够做两次试分：第一次每人平均少分摊一些，比如每人分al个，这时物品经分后还余下bl个；第二次每人分a2个，这时物品又不足b2个。从两次试分中得到了4个数据，即a1, b1，a2, b2。依据这4个数来确定物数和人数，这就是“盈不足术”问题原意。富硒功能农业第57页 盈不足术是把假设试验与推理论证

25、相结合起来数学方法。它经过两次假设试算，将普通应用问题化为特定盈亏类数学模型，从而用固定演算程序求解。九章算术“盈不足”章第一题： “今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？” 答曰：“七人，物价五十三。” 题意是：要凑钱共同买一样东西，假如每人出8元，加在一起就多出3元；假如每人出7元，付出总数比物价又少4元。问人数、物价各是多少？富硒功能农业第58页 盈不足术曰：“置所出率，盈、不足各居其下。令维乘（即交织相乘）所出率，并认为实。并盈、不足为法。实如法而一。” 这就是说，设前、后两次付款数为a1, a2，第一次付出时总数比物价数多b1，第二次付出时总数比物价数少b2，

26、我们把它们排成方形：(1) a1, a2 (2) b1, b2然后交织相乘，求和：a1b2a2b1，再把多出和不足数相加: b1b2, 二者之商就是每人应付款数。 富硒功能农业第59页设人数为x，物价为y, 那么有： 富硒功能农业第60页“盈不足”还有其它类型, 如 两盈：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，问人数、金价各几何？” 答曰：三十三人，金价九千八百。 两不足：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数、羊价各几何？ ”答曰：二十一人，羊价一百五十。富硒功能农业第61页“两盈”、“两不足”问题，术曰： “置所出率，以少减多，余为法。两盈、两不足，以少减

27、多，余为实。实如法而一得人数。以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。” 用当代式表示，即将上面三式分别更改为 富硒功能农业第62页盈不足术与假设法 普通算术问题都能够按“盈不足术”来计算。对此，西方学者曾称盈不足术为“双设法”,在中世纪欧洲视为算术问题万能方法。其原理是 设有方程 ax = b, 第一次假设x = a1，得 aa1 b b1；第二次假设x = a2，得 aa2 b b2富硒功能农业第63页 解上述两式，得 实际上是公式推广。因为在公式中允许b1、b2能够是正、负、零各种情况。在我国古代数学文件中已详尽无遗地讨论过b1、b2正、负或零值各种情况。 在我国隋唐时代，一些伊斯兰教数学家

28、经丝绸之路将我国盈不足术传人中东，如阿尔花拉子模（约780850）著作盈不足算书（保留在英国剑桥大学图书馆）并对盈不足术作出注释。所以人们获知盈不足术是在9世纪传入中东。以后在中东人们称盈不足术为“契丹算法”。富硒功能农业第64页 至宋元时代，意大利数学家斐波纳奇（Fibonacci， 11701250）在他算术之书（1202）中也介绍了盈不足术，称之为“契丹算法”，并明确地说此法来自阿拉伯。 为何称中国算术为“契丹算术”呢？因为在古代，中东或欧洲均称中国为契丹，当我国盈不足术传入中东及欧洲后，他们便很自然地称之为“契丹算法”了。 盈不足术不但传入中东，也辗转传到俄罗斯。18世纪初被认为是俄国

29、数学之骄傲马格尼兹基在他著算术中，写了所谓无平算法。这一算法完整地保留了由中东传入中国盈不足术。富硒功能农业第65页 正当中东与欧洲在广泛应用盈不足术，并认为是万能之术时， 而在中国却因为受封建士大夫清谈论道所误，盈不足术反而湮没无闻。明代末期李之藻在他编译同文算指中称“双设法”为“选借互征”，并说该法起源于国外，这种本末倒置说法，深为可叹！ 富硒功能农业第66页四、方程术矩阵变换之法 九章算术“方程章”是世界上最早出现研究代数方程专章。它是人类历史上第一次提出“方程”这一专有名词。“方程”一词含义相当于现今所用以矩阵初等变换之法，解线性方程组。 “方程术”关键是经过“遍乘直除”法消元。 所谓

30、遍乘：用常数乘某一行中各数; 所谓直除：要消去乙行某未知数系数，使用甲行同一未知数系数乘乙行全部数，然后用甲行一次次对减乙行，直至乙行该系数为零。富硒功能农业第67页九章算术方程章第一题: “今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗问上、中、下禾实一秉各几何？” 设上、中、下禾各一秉打出粮食分别为x，y，z（斗），则问题就相当于解一个三元一次方程组： 3x2yZ = 39， 2x 3yZ = 34， (1) x2y3z = 26.富硒功能农业第68页 九章算术用算筹将x，y，z系数和常数项排列成一个方阵如图

31、 7-1(a),将筹算数码换作阿拉伯数码即得矩阵如图7-1(b). 左 中 右 7-1(a)7-1(b)富硒功能农业第69页 用图 7-1(a)右行上禾(x)系数3“遍乘”中行和左行各数，然后从所得结果按行分别“直除”右行，即连续减去右行对应各数，就得到图7-2(c), 对应矩阵为图7-2(d).7-2(c)7-2(d)富硒功能农业第70页 以图7-2（c）中行中禾（y）系数5遍乘左行各数，从所得结果直除中行并约分，又得到图7-3(e), 对应矩阵为图7-2(f)7-3(e)7-2(f)图7-3(e)中左行未知量(z)系数只剩一项，以4除11，即得下禾（z） （斗）富硒功能农业第71页 为求上

32、禾（x）和中禾（y），重复“遍乘直除”程序以图7-3（e）左行下禾（z）系数4遍乘中行和右行各数，从所得结果按行分别直除左行并约分，最终得到图 7-4（g）, 对应矩阵为图7-2(h).7-4（g）7-2(h)富硒功能农业第72页由此计算得： 上禾（x）= ， 中禾（y）= ， 下禾（z） .富硒功能农业第73页 对该题解法注释说：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实，令每行为率。二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。 ”文中所说“如物数程之”，是说：有几个未知量就必须列出几个等式。在联立一次方程组中，用算筹来表示各项未知量系数时，它们排成了方阵形式，所以叫做“方程

33、”。而解方程方法就称为“方程术”。 方程术基本思想是次序消元，把增广矩阵一再用初等变换进行变换，使系数矩阵成为单位矩阵，从而得解。这种方法就是现在高斯消元法。富硒功能农业第74页 在理论上，尤其是经过刘徽注释，对方程基本性质也已经有所阐述。 比如刘徽对方程章第一题注释说：“方程：程，课程也，唤术之意，令少行减多行，重复相减，则头位必先尽，上无一位，则此行亦缺一物矣。然而举率以相减，不害余数之课也。” 这最终两句话和方程变形性质相同，即：假如方程两边都加上（或减去）同一个数（即“举率以相减），那么所得方程和原方程是同解方程（即“不害余数之课也”）。从上面题解过程中屡次用遍乘、直除方法变换方程，就

34、足以说明九章算术作者已熟知方程变形性质： 假如方程两边乘以（或除以）不等于零同一个数，那么所得方程和原方程是同解方程。富硒功能农业第75页 解线性方程组除了用矩阵初等变换方法外，互乘相消法和代入法也是古代数学家们惯用方法。 在九章算术中，刘徽即将它屡次利用齐同术引伸到解线性方程组中来，这种方法实即当代互乘相消法。 如在方程章第七题：“今有牛五、羊二，值金十两，牛二，羊五，值金八两。问牛、羊各值金几何？”答曰：牛一，值金 两；羊一，值金 两。术曰：“如方程”。也就是按照常规方法，即用矩阵变换方法求解。 富硒功能农业第76页 然而，刘徽在注文中却使用了齐同术来求解。他说： “假令为同齐，头位为牛，

35、当相乘左右行定，更置右行牛十、羊四，值金二十两；左行牛十、羊二十五，值金四十两。牛数等同，金多二十二者，羊差二十一使然也。以少行减多行，则牛数尽，惟羊与值金之数见（出现），可得而知也。” 对于刘徽注文，我们不妨作以下解释： 设牛、羊一头各值金为x、y，依题得富硒功能农业第77页 因“头位为牛”，使“相乘左右行定”，即 两式相减为 21y = 20，即“以少行减多行，则牛数尽，惟羊与值金之数见（出现）。” 这是刘徽所创“互乘对减”消元法，即“互乘相消法”。 在注文最终还说：“以小推大，虽四、五行不异也。”这就是说，互乘相消法能够推广到解四元、五元线性方程组，足见其应用之广。富硒功能农业第78页

36、又如方程章第九题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，衡适平。并燕、雀重一斤。问燕、雀一枚各重几何？” 用现在语言说：即“今有五只麻雀、六只燕子放在天平上称，麻雀总重大于燕子总重。如将麻雀、燕子各交换一只，则二者重量恰好相等。又知二者重量之和为一斤，问麻雀、燕子每只重多少？”术曰：“如方程，交易质之，各重八两。”也就是：“燕子、麻雀交换一只后，二者各总重八两，列方程进行交换。”富硒功能农业第79页 刘徽注文说：“此四雀一燕与一雀五燕衡适平，并重一斤，故各八两。是三雀四燕重相当，雀率重四，燕率重三也。” 也就是说，如设x、y分别为一雀、一燕重量，则依术文有或 4Xy X5

37、y，即 3x = 4y，或x：y = 4：3这就是说：雀重：燕重=4：3。再用代人法即得答数。富硒功能农业第80页 这是刘徽所提另一方法，即解方程新术，此法还能够推广。 在刘徽后数学家们对线性方程组都展开了研究，并取得了新成就。“方程术”在世界影响 在国外，关于建立多元一次方程组解法较之中国要晚得多。多元一次方程组解法在印度最早出现于第七世纪初婆罗门发多（Brahmasunta，约公元628年）所著书中，有类似于我国九章算术方程题目。古印度人用代入法和假设法解方程组。富硒功能农业第81页 中国数学经由朝鲜传入日本，待消化吸收后，在日本也有些人著书立说。于公元7世纪时有算术书设题： “三马、四牛

38、、二羊值一百三十一金币，二马、三牛、十羊值一百二十金币，四马、一牛、八羊值一百零四金币，问三种家畜各值多少？” 这不但题目标形式和九章算术方程章如出一辙，且解法也完全模仿方程中方程术，用算筹列出增广矩阵后，借互乘相消法得到解答。富硒功能农业第82页 在欧洲，最早提出三元一次方程组和解法是16世纪法国数学家布丢（Buteo， 1559），到 1669年牛顿（I Newton 16421727）给出一个用减根变换原了解方程方法。由此看来，西方关于解多元一次方程组方法比中国要晚得多。富硒功能农业第83页 五、正负术正负运算之法 在九章算术方程章中所列诸方程，在用矩阵初等变换解题时，当减数大于被减数时，不可防止地会出现负数。所以，方程章中及时地提出了正、负数概念以及它们运算法则。 方程章第三题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中，中取下，下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何？” 题意是：“今有上等稻二束，中等稻三束，下等稻四束，它们各自出谷量都不满一斗。如将上等稻二束加中等稻一束，中等稻三束加下等稻一束，下等稻四束加上等稻一束，那么它们都可出谷一斗。问三种稻每束出谷量各是多少？富硒功能农业第84页答曰：“上