随机过程第三章复习题及其解答泊松过程

1、 tt tt )第 3 测验题解答一、填空题1. X t t 0 参数为 泊松过程对任意 t , ，且s ，则均值函数为_ _；相关函数为_ _。答案：均值函数为： (t ) E X (t ) E (t (0) X相关函数为： ( t ) s ) (t ) ( s (t ) ( X ( ) XE X ( s) X (t ) ( ) X ( )2 X ( ) E X (t ) ( s) D ( s) ( s) ) 2 2. (t ), t 是具有参 泊松过程T , 是对应的时间间隔序列则随机变 ( 1,2,.)独立同分布服从_答案：均值 1/ 指数分布3. W , n 0 是与泊松过程 (t t

2、 0 对应的一个等待时间序列，则 W 服从 n_，概率密度为_。答案：参数为 n 的分布f( t ) ( ( )!t t 4.泊松过程的定义：称计数过程 满足下列条件： (2) 增量过程； ： (t ) (t 0 泊松过程，若它 PX (t ) X (t )5 . X t t 0 参数为 的泊松过程对任意 t , s 0,，且s ，方差函数为_；协方差函数为_。方差函数为：2) X t ) tX ( , ) ( t ) ( m (t ) 协方差函数为：X X 6. X t t 0 参数为 泊松过程对任意 t , ，且s ，特征函数为_。特征函数为： (u ) E iuX ( t ) exp (

3、 e iu 1)7.计数过程 （t）在t,t+s内s0事 A 发生的次数 N（t+s）-N（t）仅与时间差 s 有关，而与 t 无关，则计数过程 （t）是 答案：平稳增量二、简答题过程。1.设在事件 A 已发生 次 0 t 于 解：利用条件概率及泊松分布得：0 P ( ) | X t .PX ( | t ) ( s) , (t ) PX (t ) PX ( ) (t ) ( ) PX (t ) e k! ) e ( )! e n!s ( ) (1 ) t ts的二项分布。这是一个参数为 n 和t2. 12 泊松过程 求 E t sin t sin m E X ( ) (t ) tds 1 D

4、X (t ) ( ) X1 (t 2 )设到达某商店顾客组成强度为 的泊松过程，每个顾客购买商店的概率为 ，且与其它顾客是否购买商品无关 , t 是购买商品的顾客数 Y , t 0是强度为的泊松过程。证明: 商店的顾客数 示第 i 个顾客购物与否，即：ii个顾客购i0,第i则由题意 ，2，独立同分布，且 (t ) 独立。i p 0 ii因此，错误找到引源。Y( X(t)i是复合泊松过程，iEY t ) i (t )的强 EY (t )/ t 得证。4.设电话总机在（，t内接到电话呼叫总数 （t）是具有强度（每分钟） 的泊松过程，求（1）两分钟内接到 3 次呼叫的概率；（2）“第二分钟内收到第三

5、次呼叫”的概率。 20 20 某刊物购部的顾客数是平均速率为 6 人天 泊松过程订 1 年 年或 的概率分别为 1/2,1/3 和 1/6，且相互独立。设定一年时，可 元手续费，以 的总手续费，求均值 DX(t)和方差 DX(t).X 记在上得到解：因为顾客数是=5的泊松过程，而E 11 1 2 ，E 11 1 20 10 2 ，以 E t t 2 6 6 D 20t6某商店日 时始营业，从 时 11 时均顾客达率线性增加，在 时顾客平均达率为 人/时，11 时达率达最高峰 人/。从 11 时 ，平均顾客到达率维持不变，为 /时，从 13 时 时，顾客到达率线性下降，到 17 时客到达率为 12 /。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在 间无顾客 到达商店的概率是多少？在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少？解： 设X 有参 和 的互立泊过， 1 2 1 2证（1） 1 2是有数 1 2的松程n n n n （2Z 1 证（1）然