高三数列知识点与题型归纳总结文科

1、数列考点总结 第一部分 求数列的通项公式 一,数列的相关概念与表示方法（见辅导书） 二,求数列的通项公式 四种基本数列：等差数列,等比数列,等和数列,等积数列及其广义形式； 等差数列,等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法； 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列； 求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法； 一,累加法 1适用于： an 1 an f n - 这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一； 如 an 1 an f n n 2 , a2 a1 f 1 a3 a2 f 2 就 an 1 an f

2、n nan 1 a1 f n 两边分别相加得 k 1例 1 已知数列 an 中意 an 1 an 2n 1,a1 1 ,求数列 an 的通项公式； n例 2 已知数列 an 中意 an 1 an 23 1,a1 3 ,求数列 an 的通项公式； 练习 1. 已知数列 an 的首项为 1,且 an 1an * 2n n N 写出数列 an 的通项公式 . 答案： n2n 1 练 习 2. 已 知 数 列 an 满 足 a1 3, an an 111 n 2 , 求 此 数 列 的 通 项 公 式 . n n 1第 1 页,共 10 页答案：裂项求和 an 121f n ,其中 fn 可以是关于

3、n 的一次函数,二次函数,指数函数,分式函数,求 n评注：已知 a1 a , an an 通项 an . 如 fn 是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和 ; 如 fn 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和 ; 如 fn 是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和 ; 如 fn 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和； S n 1 a n n 例 3. 已知数列 an 中 , an 0 且 2 an , 求数列 an 的通项公式 . a n 1 2an , a 1练习 3 已知数列 an 中意 an 2,求数列 an 的通项公式； 二,累乘法 1,适用于： an 1f

4、 nan 累乘法是最基本的二个方法之二； an 1f n a2 f 1 , a3 a2 f 2, , an 1an f n 的通项公式； 如 an a1 ,就 两边分别相乘得, an 1a1 nf k a1 k 1 3 ,求数列 an 例 4 已知数列 an 中意 an 1n 2 n 15 an, a1 2第 2 页,共 10 页例 5. 设 an 是首项为 1 的正项数列,且 2 n 1 an 12 nan an 1an 0 （ n =1, 2, 3 , ）,就它的通项公式是 an = . 三,待定系数法 适用于 an 1qan f n 基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个

5、函数,其定义域是自然数集的一个函数； 1形如 an 1can d, c 0 , 其中 a1 a 型 . d 1 从而 （ 1）如 c=1 时,数列 an 为等差数列 ; （ 2）如 d=0 时,数列 an 为等比数列 ; （ 3）如 c 1 且 d 0 时,数列 an 为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造帮忙数列来求 待定系数法：设 an 1can , 得 an 1can c 1 , 与题设 an 1can d, 比较系数得 c 1 d, 所以 d, c 0 an d1can 1d 1 c 1c c 所以有： 因此数列 and构成以 a1 dc 为公比的等比数列, c 1c 1 为首项,

6、以 所以 an da1 d 1 n 1 c an 即： a1 d 1 n1 c dc 1c c c 1 . an 规律：将递推关系 an 1can dan 化为 1dcan d 1 , 构造成公比为 c 的等比数列 c 1c c 求得通项公式 an 1dn1 c a1 d1 c c 1d, 两式相减有 逐项相减法（阶差法） ：有时我们从递推关系 an 1can d中把 n 换成 n-1 有 an can 1an 1an c an an 1 从而化为公比为 c 的等比数列 an 1an , 进而求得通项公式 . an 1an n c a2 a1 , 3第 3 页,共 10 页再利用类型 1 即可

7、求得通项公式 . 我们看到此方法比较复杂 . an 的通项公式； 例 6,已知数列 an 中, a1 1, an 2an 11n 2 ,求数列 2形如： an 1p an qn 其中 q 是常数,且 n0,1 n如 p=1 时,即： an 1 an q,累加即可 . n如 p 1 时,即： an 1 p an q, n1求通项方法有以下三种方向： i. 两边同除以 p . 目的是把所求数列构造成等差数列 an n 11 an n 1 p nb n an n bn 1 bn 1 p n即： p q p q , 令 p,就 p q , 然后类型 1,累加求通项 . n1ii. 两边同除以 q .

8、目的是把所求数列构造成等差数列； an 1 p an 1n 1 n即： q q q q , an p 1令 bn q n , 就可化为 bn 1q bn q . 然后转化为类型 5 来解, iii. 待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 n 1 设 an 1 q pan p . 通过比较系数,求出 ,转化为等比数列求通项 . 留意：应用待定系数法时,要求 p q,否就待定系数法会失效； 例 7,已知数列 an 中意 an 1 2an 4 3 , a1 1,求数列 an 的通项公式； n 1 练习 3. （ 2022 陕西卷文） 已知数列 an 中意, a11a2 2, an 2an an

9、 1, n N*. 24第 4 页,共 10 页令 bn an 1an ,证明： bn 是等比数列； 521n1n * N 求 an 的通项公式； 答案：（ 1） bn 是以 1 为首项, 1an 为公比的等比数列； （ 2） 2332； 总结：四种基本数列 1形如 an 1an f n 型 等差数列的广义形式,见累加法； 2,其通项分奇数项 an 11f n 2. 形如 an 型 等比数列的广义形式,见累乘法； 3. 形如 an 1an f n 型 （ 1）如 an an d（ d 为常数）,就数列 an 为“等和数列” ,它是一个周期数列,周期为 和偶数项来争辩 ; （ 2）如 fn 为

10、n 的函数（特殊数）时,可通过构造转化为 an 1 an f n 型,通过累加来求出通项 ; 或用逐差法 两式相减 得 an 1 an 1 f n f n 1 ,分奇偶项来分求通项 . 4. 形如 an 1 an f n 型 （ 1）如 an 1 an p p 为常数 ,就数列 an 为“等积数列” ,它是一个周期数列,周期为 2,其通项分奇数项和 偶数项来争辩 ; （ 2）如 fn 为 n 的函数（特殊数）时,可通过逐差法得 an an 1 f n 1 ,两式相除后,分奇偶项来分求通项 . 例 8. 数列 an 中意 a1 0 , an 1 an 2n, 求数列 an 的通项公式 . 5第

11、5 页,共 10 页例 9. 已知数列 an 中意 a 13, a nan1 1 n , n2 N * , 求此数列的通项公式 . 其次部分 数列求和 一,公式法 1假如一个数列是等差数列或等比数列,就求和时直接利用等差,等比数列的前 n项和公式,留意等比数列 公比 q 的取值情形要分 q 1 或 q 1. 2一些常见数列的前 n 项和公式： ； n 11 2 3 4 n n 1 221 3 5 7 2 2n 1 n ； 32 4 6 8 2n n n. 二,非等差,等比数列求和的常用方法 1倒序相加法 假如一个数列 an ,首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前

12、n 项和即可用 倒序相加法,等差数列的前 n 项和即是用此法推导的 2分组转化求和法 如一个数列的通项公式是由如干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成, 就求和时可用分组转化法, 分别 求和而后相加减 3错位相减法 6第 6 页,共 10 页假如一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的, 那么这个数列的前 n 项和即可用 此法来求,等比数列的前 n 项和就是用此法推导的 4裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和 小题能否全取 1 2022 沈阳六校联考 设数列 n 1 的前 n项和为 Sn,就对任意正整数 n, Sn n A

13、. 1n 1 B. 1 n 1 1 22C. 1 n 1 D. 1 n1 222等差数列 an 的通项公式为 an 2n 1,其前 n 项的和为 Sn,就数列 Sn的前 10 项的和为 nA 120 B 70 C 75 D 100 3数列 a1 2, , ak 2k, , a10 20 共有十项,且其和为 240,就 a1 ak a10 的值为 A 31 B 120 C 130 D 185 n 4如数列 an 的通项公式为 an 2 2n 1,就数列 an 的前 n 项和为 1 1 15数列 2 4 , 4 6 , 68 , , 2n 1, 的前 n 项和为 2n 2 分组转化法求和 例 1

14、等比数列 an 中, a1,a2,a3 分别是下表第一,二,三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数不 在下表的同一列 . 第一行 第一列 其次列 第三列 3210 其次行 6414 第三行 9818 1 求数列 an 的通项公式； n2 如数列 bn 中意： bn an 1 ln an,求数列 bn 的前 2n 项和 S2n. . . 7第 7 页,共 10 页错位相减法求和 例 2 n 已知数列 an 的前 n 项和 Snkc k 其中 c, k 为常数 ,且 a2 4,a6 8a3. 1 求 an； 2 求数列 nan 的前 n 项和 Tn. n2已知等比数列 an 的前

15、n项和为 Sn,且中意 Sn 3 k. 1 求 的值及数列 an 的通项公式； an 1 2 如数列 bn 中意 2 4 k anbn,求数列 bn 的前 n 项和 Tn. Tn 4 2 2 3 9 1n 3 nn 1 . 裂项相消法求和 例 3 * 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn, a1 1, Sn nan n n 1 n N 1 求数列 an 的通项公式； 22 设 b n a a n n 1 ,求数列 bn 的前 n 项和 Tn. 8* 3在等比数列 an 中, a10, n N ,且 a3 a2 8,又 a1, a5 的等比中项为 16. 1 求数列 an 的通项公式； 2设

16、bn log4an,数列 bn 的前 n项和为 Sn,是否存在正整数 立如存在,求出正整数 k 的最小值；不存在,请说明理由 【课后练习题】 1 1 1 1 *k,使得 S 3 2 n 6n n3 n 2如数列 an 中意 a1 2 且 anan 12 2n1 ,Sn为数列 an 的前 n项和,就 log2 S2022 2 . 3已知递增的等比数列 an 中意： a2 a3 a4 28,且 a3 2 是 a2, a4 的等差中项 1 求数列 an 的通项公式； 12 如 bn anlog an, Sn b1 b2 bn,求 Sn. 294已知 an 是公差不为零的等差数列, a1 1,且 a1, a3, a9 成等比数列 1 求数列 an 的通项； 2 求数列 2 an 的前 n 项和 Sn. n1 Sn 2 2. 3an 1 ,令 bn anSn,数列 1的前 3