北京市第二十七中学2021-2022学年数学高二第二学期期末考试模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知，则除以9所得的余数是A2B3C5D72设随机变量，若，则等于（ ）ABCD3设，则二项式展开式的常数项是（ ）A1120B140C-140D-11204数术记遗是算经十书中的一

2、部，相传是汉末徐岳（约公元世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数种计算器械的使用方法某研究性学习小组人分工搜集整理种计算器械的相关资料，其中一人种、另两人每人种计算器械，则不同的分配方法有（）ABCD5如图，F1，F2分别是双曲线(a0，b0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，若F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为()AB2CD6若（为虚数单位），则复数（）ABCD7某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚

3、会节目演出顺序的编排方案共有( )A720种B600种C360种D300种8设是函数的导函数，则的值为（）ABCD9已知命题在上递减；命题，且是的充分不必要条件，则m的取值范围为（ ）ABCD10中，且，点满足，则ABCD11已知集合，则下列判断正确的是（ ）ABCD12已知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（ ）A1B2CD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是_.14已知复数,其中是虚数单位,则的值是_.15一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法，按性别从全体运动员中抽出一个容量为7的

4、样本，则抽出的女运动员的人数是_16已和幂函数的图象过点，则_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人记表示选取

5、4人的成绩的平均数，求；记表示测试成绩在80分以上的人数，求的分布和数学期望18（12分）已知函数（）求不等式的解集；（）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.19（12分）已知数列的前项和为，且，.（）试计算，并猜想的表达式；（）求出的表达式，并证明（）中你的猜想.20（12分） “中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为

6、了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.21（12分）已知是等差数列，是等比数列，且，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和22（10分）已知 命题关于的方程的解集至多有两个子集，命题，,若是的必要不充分条

7、件，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据组合数的性质，将化简为，再展开即可得出结果.【详解】，所以除以9的余数为1选D.【点睛】本题考查组合数的性质，考查二项式定理的应用，属于基础题.2、C【解析】由于 , 则由正态分布图形可知图形关于 对称，故 ，则 ，故选C.3、A【解析】分析：利用微积分基本定理求得，先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式的常数项.详解：由题意，二项式为，设展开式中第项为，令，解得，代入得展开式中可得常数项为，故选A.点睛：本题主要

8、考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.4、A【解析】本题涉及平均分组问题，先计算出分组的方法，然后乘以得出总的方法数.【详解】先将种计算器械分为三组，方法数有种，再排给个人，方法数有种，故选A.【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，考查平均分组要注意的地方，属于基础题.5、D【解析】连接，利用三角形边之间的关系得到，代入离心率公式得到答案.【详

9、解】连接，依题意知：，所以.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，利用三角形边之间的关系和双曲线性质得到的关系式是解题的关键.6、B【解析】由可得：，故选B.7、D【解析】根据题意，分2步进行分析：，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意，分2步进行分析：将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有种情况， 5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，有5种情况，则有605300种不同的顺序，故选D【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题8、C【解析】分析：

10、求导，代值即可.详解：，则.故选：C.点睛：对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误9、A【解析】由题意可得当时不成立，当时，满足求出的范围，从而求出，再求出，根据是的充分不必要条件，即可求解.【详解】由命题在上递减，当时，不满足题意，当时，则，所以：，由命题，则：，由因为是的充分不必要条件，所以.故选：A【点睛】本题考查了由充分不必要条件求参数的取值范围以及考查了二次函数的图像与性质，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.10、D【解析】分析：以点为

11、原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用向量的坐标运算即可求解详解：由题意，以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设点，则，又由，所以，即，所以，所以，故选D点睛：本题主要考查了向量的坐标表示与向量的坐标运算问题，其中恰当的建立直角坐标系，求得向量的坐标，利用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力11、C【解析】先分别求出集合A与集合B，再判别集合A与B的关系，得出结果.【详解】， 【点睛】本题考查了集合之间的关系，属于基础题.12、B【解析】根据线性回归方程估计y

12、，再根据残差定义列方程，解得结果【详解】因为相对于点的残差为，所以，所以，解得，故选B【点睛】本题考查利用线性回归方程估值以及残差概念，考查基本分析求解能力，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设大铅球的半径为，则，求出，由此能求出这个大铅球的表面积【详解】解：设大铅球的半径为，则，解得，这个大铅球的表面积故答案为：【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查球的体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14、5【解析】分析：先将复数z右边化为形式，然后根据复数模的公式计算详解：因为所以=5点睛：复数计算时要把复数化为形式，以防止出错.15、3【解析】直接

13、根据分层抽样比例关系计算得到答案.【详解】根据题意：抽出的女运动员的人数为.故答案为：.【点睛】本题考查了分层抽样，属于简单题.16、【解析】由幂函数的定义和解析式求出的值，把已知点代入求出的值，可得答案【详解】解：是幂函数，所以幂函数的图象过点，则，则，故答案为：【点睛】本题考查了幂函数的定义与解析式的应用，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2），.【解析】试题分析：（1）众数为，中位数为，抽取的人中，分以下的有人，不低于分的有人，从而求出从该校学生中任选人，这个人测试成绩在分以上的概率，由此能求出该校这次测试成绩在分以上的人数；（2）由

14、题意知分以上的有，当所选取的四个人的成绩的平均分大于分时，有两类：一类是：，共1种；另一类是：，共3种由此能求出；由题意得的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和试题解析：(1)众数为76，中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为，故该校这次测试成绩在70分以上的约有（人）(2)由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94.当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类.一类是82，88，93，94，共1种；另一类是76，88，93，94，共3种

15、.所以 .由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，4,.的分别列为01234.18、（）或；（）.【解析】（）由绝对值的意义，利用零点分段法解不等式；（）通过变形，将在上恒成立，转化为，由绝对值不等式的性质即可求得的最小值，继而得到的范围。【详解】(I )依题意，当时，原式化为解得.故,当时,原式化为解得，故;当时，原式化为：，解得：，故，解集为：或.（II）即：因为当且仅当时等号成立；故，即实数m的取值范围为.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的性质应用，意在考查学生数学运算能力。19、 ()答案见解析；()，证明见解析.【解析】分析：（1）利用公式，将已知转换成关于的递

16、推公式，计算，在通过分子和分母的规律猜想出.（2）根据，结合通项公式的累乘法求出.再运用求和证明（1）的猜想.详解：（）由，得，猜想.（）证明：因为，所以，-得，所以.化简得，所以，把上面各式相乘得，所以，.点睛：数列问题注意两个方面的问题：（1）的特殊性；（2）时，消去，如，可以计算；消去，如，可以计算.20、 (1)30;(2)54,55;(3) 的分布列如下：012数学期望【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）10，进而得出40名读书者中年龄分布在40，70）的人数（2）40名读书者年龄的平均数为250.05+350.1

17、+450.2+550.3+650.25+750.1计算频率为处所对应的数据即可得出中位数（3）年龄在20，30）的读书者有2人，年龄在30，40）的读书者有4人，所以X的所有可能取值是0，1，2利用超几何分布列计算公式即可得出试题解析：（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为，所以40名读书者中年龄分布在的人数为.（2）40名读书者年龄的平均数为 .设中位数为，则解得，即40名读书者年龄的中位数为55.（3）年龄在的读书者有人，年龄在的读书者有人，所以的所有可能取值是0,1,2，的分布列如下：012数学期望.21、（1）；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，运用通项公式，可得，进而得到所求通项公式； （2）由（1）求得，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列和【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，可得，所以，又由，所以，所以数列的通项公式为（2）由题意知，则数列的前项和为【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题22、【解析】先求出命题为真命题时实数的取值范围