标准偏差与相对标准偏差

1、标准偏差标准偏差（也称标准离差或均方根差）是反映一组测量数据的。是指结果在某一个时段内误差上下波动的幅度。是的重要参数之一。是测量变动的统计测算法。它通常不用作独立的指标 而与其它指标配合使用。标准偏差在、等领域中均得到了广泛的应用。因此 ，标准偏差的计算十分重要 ，它的准确 与否对器具的不确定度、测量的不确定度以及所接收产品的质量有重要影响。然而在对标准偏差的计算中，不少人不论测量次数多少，均按计算。样本标准差的表示公式数学表达式：? S-标准偏差（%）? n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个? i-物料中某成分的各次测量值，1n ；标准偏差的使用方法?在价格变化剧烈时，该指

2、标值通常很高。?如果价格保持平稳，这个指标值不高。?在价格发生剧烈的上涨 /下降之前，该指标值总是很 低。标准偏差的计算步骤标准偏差的计算步骤是：步骤一、（每个样本数据-全部数据之平均值）2。步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。步骤三、把步骤二的结果除以（n - 1） （ nm）。步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是的标准偏差。六个计算标准偏差的公式标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量 ，其测得值为1八12、ln。令测得值l与该量真 值X之差为真差占 a则有ci = 1 i X=12 X d=1n X我们定义标准偏差（也称）o为=Um .i=1（i）由于真值X都是不可知

3、的，因此真差b占也就无法求得，故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差b的常用估计一贝塞尔公式由于真值是不可知的，在实际应用中，我们常用n次测量的算术平均值L（L = J + ）|n来代表真值。理论上也证明 ，随着测量次数的增多，算术平均值最接近真值，当口 T 0口时，算术平均值就是真值。于是我们用测得值1i与算术平均值匕之差一一剩余误差（也叫残差） Vi来代替真差 /即设一组等精度测量值为 1i、12、1n则,b与剩余误差b与剩余误差V的关系为将上式代入式（1）有式 就是着名的贝塞尔公式（Bessel）。它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当n T 8时，L t E J建一 1） - 3

4、0,可见贝塞尔公式与0的定义式（1）是完全一致的应该指出，在n有限时，用贝塞尔公式所得到的是标准偏差b的一个估计值。它不是总体标准偏差 伪因此，我们称式（2）为标准偏差 0的常用估计。为了强调这一点，我们将0的估计值用“S 表示。于是，将式改写为1鹏_s = -pEd)(2)在求S时，为免去求算术平均值 I的麻烦，经数学推导（过程从略）有于是，式（2）可写为吕（尸按式（2）求S时，只需求出各测得值的平方和 1=1 和各测得值之和的平方艺1=1，即可。标准偏差（T的无偏估计中定义S2为数学上已经证明 S2是4的无偏估计。即在大量重复试验中 ，&围绕W散布，它们之间没有。 而式（2）在n有限时，S

5、并不是总体标准偏差 o的无偏估计，也就是说S和o之间存在系统误差。 概率统计告诉我们，对于服从正态分布的正态总体 ，总体标准偏差 0的无偏估计值3为即Si和S仅相差一个系数K，,K，是与样本个数测量次数有关的一个系数，K，值见表计算K,时用到r n + 1)= n r n)F=1表1%值%1 n2L25331 1 - -：7LW241.01321.0W331.128481.0362231.0105加L003641.08549L03171008780侬51.063810；1您1L0064L002861侬15L0180501.0051100L0025由表1知，当n30时，入，=L0087火1。因此

6、，当n30时，式(3)和式(2)之间的差异可略而不计。在 n=3050时，最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当 n50时的情况，当n50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很小了。标准偏差0的估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大，不宜现场采用，而极差估计的方法则有运算简便，计算量小宜于现场采用的特点。极差用R表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。若对某量作次等精度测量测得li、* In ,且它们服从正态分布，则R = lmax lminS3S3称为标准偏差值见表20的无偏极差估计，d2为与样本个数n(测得值个数)有关的无偏极差系数，其由表2知，当n15

7、时,02 X 6,因此，标准偏差b更粗略的估计值为(5)还可以看出，当200 还可以看出，当200 n 1000时，4 k6因而又有(5)显然，不需查表利用式(5)和(5) 了即可对标准偏差值作出快速估计，用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。应指出，式(5)的比用其他公式的准确度要低，但当5n10时，由于舍去数据信息较多，因此误差较大，为了提高准确度，这时应 将测得值分成四个或五个一组 ，先求出各组的极差 Ri、* Rk,再由各组极差求出极差平均值极差平均值席和总体标准偏差的关系为需指出，此时d2大小要用每组的数据个数 n而不是用数据总数 N（=nK）去查表2。再则，分组 时一定要

8、按测得值的先后顺序排列，不能打乱或颠倒。标准偏差b的平均误差估计平均误差的定义为误差理论给出瓦 47 = 0.7979b y-rr（A）r? I | REl&l EMI可以证明& 与】=i的关系为（证明从略）由式（A）和式（B）得从而有6值，由于right|Vright|不需平方，故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。该式使用 条件与贝塞尔公式相似。标准偏差的应用实例对标示值 Ra = m 的一块粗糙度样块进行检定，顺次测得以下15个数据:,，和麻，试求该样块 Rn的平均值和标准偏差并判断其合格否。解：i）先求平均值L2）再求标准偏差S若用无偏极差彳计公式式（5）计算，首先将测得的，1

9、5个数据按原顺序分为三组，每组五个见表3。表31 -=0.43因每组为5个数据，按n=5由表2查得d2故若按常用估计即贝塞尔公式式（2）,则若按无偏估计公式即式（3）计算，因n=15 ,由表1查得Ks =,则若按公式即式（4）计算，则=（ m ）若按平均误差估计公式即式（6）,则现在用式（5）对以上计算进行校核可见以上算得的 S、Si、S2、4和S没有粗大误差。由以上计算结果可知即S2 S Si S4 5）町Ur盟-1相相溟差（劝金 二三&1口口名棉寸平均偏差-5100%相对标准偏差准确度：测定值与真实值符合的程度绝对误差：测量值（或多次测定的平均值）与真（实）值之差称为绝对误差，用 表小0相

10、对误差：绝对误差与真值的比值称为相对误差。常用百分数表示。绝对误差可正可负，可以表明测量仪器的准确度，但不能反映误差在测量值 中所占比例，相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例， 衡量相对误差更 有意义。例：用刻度0.5cm的尺测量长度，可以读准到0.1cm,该尺测量的绝对误差 为0.1cm；用刻度1mm勺尺测量长度，可以读准到 0.1mm该尺测量的绝对误差 为 0.1mm例：分析天平称量误差为，减重法需称2次，可能的最大误差为，为使称量 相对误差小于%至少应称量多少样品？解二电=匕光幻00% 二 0 0002 xlOO% 0. 2g答：称量样品量应不小于0.2g。真值（小）：真值是客观存

11、在的，但任何测量都存在误差，故真值只能逼近而不 可测知，实际工作中，往往用“标准值”代替“真值”。标准值：采用多种可靠 的分析方法、由具有丰富经验的分析人员经过反复多次测定得出的结果平均值。精密度：几次平行测定结果相互接近的程度。各次测定结果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。偏差:单次测量值与样本平均值之差：平均偏差：各次测量偏差绝对值的平均值。相对平均偏差：平均偏差与平均值的比值。标准偏差：各次测量偏差的平方和平均值再开方，比平均偏差更灵敏的反映较大偏差的存在，在统计学上更有意义。相对标准偏差（变异系数）例：分析铁矿石中铁的质量分数，得到如下数据：，（%，计算测结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差、变异系数。解：7-37.34%各次测量的偏差分别是：0.11, -0.14, -O,04 （M-/19d=（fl 11 + 0,14014-0,1+0 19）跖=。13%-xlOO%=O. 13/37.34=0.35% JTS=0,13%R5D=O3 X 1 00