《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案

1、_第1 章 1-1 证：用 表示 n 阶矩阵中除第 行，第 列的元素Eiiii为 1 外 ， 其 余 元 素 全 为 0 的 矩 阵 . 用表示 n 阶矩阵中除第 行，第 列ij元素与第 行第 列元素为 1 外，其余元素全为 0E i j,i 1,2, ,n1)ijji的矩阵.显然， ， 都是对称矩阵， 有 个.n(n1)EEE2不难证明 ， 是线性无关的，且任何一个对称矩阵iiijiiEEii都可用这 n+ = ijn(n1) n(n1)22阵组成 维线性空间.n(n1)2同样可证所有n阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为 .n(n1)2评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个 维线性空

2、间，只需找出n(n1)个向量线性无n(n1)22 个向量n(n1)2线性表示即可.1-2 解:令 x x x x 11即可.223344解出x ,x ,x ,x12341-3 解：方法一 设即A xE x E x E x E112233441 21 11 11 11 0 xxxx0 30 01 11 00 01234_故1 2 xx x x x x x 1234123x xx0 3 121于是x x x x 1,x x x 21234123x x 0,x 3121解之得即 在x 3,x 3,x 2,x 11234下的坐标为(3,3,2,1)T.A, , ,E E E E123方法二 应用同构的

3、概念， 4R2且可将矩阵 看做A，(1,2,0,3)TE ,E ,E ,E(1,1,1,1),(1,1,1,0) ,(1,1,0,0) ,(1,0,0,0)TTTT12341 1 1 1 1 1 0 0 0 3 1 1 1 0 20 1 0 0 3 1 1 0 0 0 0 0 1 0 2 11 0 0 0 3 0 0 0 1A E ,E ,E ,E 在(3,3,2,1).T1234kk k 0 k11223344即1 11 11 11 0kkkk1 0 1 01 11234k k k k k k k 012341234k k kk k k13412k k k k 0,k k k 0123412

4、3k k k 0,k k k 0134124_k k k k 01234 , , ,故设1234a b1 11 11 11 0 xxxxc d11 20 31 041 1x x x x x x x 1234123x x xx x x134124x x x x 0,x x x 01234123x x x 0,x x x 0134124x bcd 2a,x ac12x ad,x ab34x ,x ,x ,x 1234 1 0 p(x)12x 1,x,x ,x 3230 2 y 1 y 1,x1,(x1) ,(x1) 232 y3y 4 1,( ,( xx2x31 1 1 10 1 2 31,x,x

5、 ,x 230 0 1 30 0 0 1 p(x)1,x1,(x1) ,(x1)3 2_ 1 1 1 1 11 3y1 2 306y0 1 2 3 0 6 y0 0 1 3y 0 0 0 1 22412xx 1 将 p(x)3p(x)12x3p (1)p (1) p(1) p(1)(x1)(x1) (x1)322!3!36(x1)6(x1) 2(x1)233,6,6,2T.1,(x1) ,(x1) p(x)在基1,x23 , , , , , , P12341234将, , , 与 , , ,12341234 2 0 5 6 1 0 0 1 1 3 3 61 1 0 0 P1 1 2 1 1 1

6、 00 0 1 101 0 1 3 1 0 0 11 2 0 5 6 1 3 3 61 1 0 0 P 01 1 0 1 1 2 1 0 0 1 1 1 0 1 31122 223511245822129231122_1 y 1 y 0 , , , )21 1234y 30y 4 , , ,将1234798y 2 0 5 61 11 1 3 3 60 y271 2 1 1 2 1 1y3 3 21 0 1 30 y 4 27 , , , , , , , P12341234iiP . , , , , , 12121212 , , , 3span , , , , , 12121211212 , ,

7、.121 , , 设12121121 2111 k1kkk01 1 0 3 234 0117 k l ,k l ,l l (l )1222122 k k l 5,2,3,4 ( l l )T1122211221，基为5,2,3,4.T_ span , , , ,1212121213 2,2,0,1 , ,2,1,0 ,TT32212 x x2x134x 2x x234 ,span1213 x 2xx3134x 2x x234 x 2xx134x 22x x34x x 2x1334x 22x x345,2,3,4 1，基为T5,2,3,4.T(1)span , , , 评注：本题有几个知识点是很

8、重要的.的基底就是12n , , ,的 极 大 线 性 无 关 组 . 维 数 等 于 秩12n , , , (2) , , , , , .12n12121212 , , , span121212 , .12:x2x x x 0（）1234即是V ,5x 10 x 6x 4x 011234（）x x x 2x 0 ;V12342_ x 2x x x 012345x 10 x 6x 4x 0即为V V ; 123412x x x 2x 01234 , , , , , V , , , , ,(3):设V,则11k21l11klV是V.12解.解: . l lA ()l A () l A k1()0

9、2012k1A ()0用A k1kl A k1()00A k1()0l 00lA ()l A () l A k1() 0212k1A ()0l 00用A k2 从左侧乘式两端，由可得，继续下去，可得kl l 0,A (),A (), ,Ak1().22k1 0,A (),A (), ,A n1() nV 的2A ,A ),A ), ,A n1()2A ),A ), ,A n1()2A ),A ), ,A n1(),020 00 00 01 00 10 0,A ),A ), ,An1()20 00 00 01 0nA在,A (),A (), ,A n1()n2_0 00 00 01 00 10

10、00 00 00 01 0n维线性空间V nV ,A (),A (), ,A n1()是V 2 , , , , , , ,A A , , , ,证: 设1rs1m1rs , , 是 , , , ,的极大无关组，设1r1rs , , 是 , , , ,的极大无关组.1r1rs (1)A , , , , A1231231 1 1 , , , , 0 1 11231230 0 设A , ,B 1231 1 1 1 2 3 1 1 1BP AP 0 1 11 0 3 0 1 11 0 0 2 1 50 0 2 4 4 3 4 6 2 3 8 0AX0只有零解，所以A AAR3. A , , , , A

11、123123 , , , ,PB P APP 1123123_: , ,R() , , ; ( )N A Ax0设 A123123.:与与.:对k ,则 ,即= ,即=1或-1A AAAB。222 ,则 ,即 = ,即=1或0A A2221 ,其中 0，则 -1 。 P AP,则E-B E P AP P -=1EA P EA11。 1 00 10 00 0k 1k k k 00 00 01 00 1234k k 0即1k k234k1 k k k 0234k E k E k E k E 0111212321422,k ,k ,kE ,E ,E ,E的k123411122122 = 0123 ,

12、 ,123_ R xn1,x,x , ,x2n1k 1k xk x k x 02n1012n1 R x中xxnk k k 001n1于是1,x,x , ,x n12 R xn f(x)a a xa x a x R x2n1012n1n R x R x均可由1,x,x ,2,x 1,x,x ,n1,x 是n12nn是n R xa,(xa) , ,(xa)1,x2n1nf (a)f(a)(nf(x) f(a) f (axa)(x a) (x a)2n1(n故 f(x)f (a)f(a)(nf(a f (a, ,(nAAAA00 xx1 0 2 1 1 0 2 1 31 2 1 31 2 5 52

13、1 20 12A20 0 0 00 0 0 0 2A 0 x_ x 2x x1343x x 2x2234,xA 0 x34x (4,3,2,0) (4,3,2,0)TT或 11 (1,2,0,1) (6,7,2,2)TT22A (1,2,1,1) , , , , ,k k k kT12341234 k k k +k 11223344即(1,2,1,1) k (1,1,1,1) k (1,1,1,1) k 1,1,1) k 1,1,1)TTTTT1234(k k k k ,k k k k ,k k k k ,k k k k )1234123412341234k k k k 11234k k k

14、k 21234k k k k 11234k k k k 112345111k ,k ,k ,k 444412345 1 1 1( , , , )4 4 4 4 , , , .T1234 1 21 11 11 11 0kkkk1 01 11 00 1 11234k k k k k k k 1234123k k kk k k124134_k k k k 11234k k k2123k k1kk 124k k 0134k 1, k 1, k 0, k 11234A (1,1,0,1).T xa(a)11x(xa) (a) 12ax1x222(xa) (a) 13a xax x33223(nn2)(x

15、a) (a) 1(na) x(a) x xn1n1n2n32n12a,(xa) , ,(xa)故由1,x,x , ,x 到1,xn122n1 1 a ( a)( a)3( a)2n10 1 2(a) 3(a)2(na)n2(n1)(n2)10a)(a)n30 020 001 , , , , , , 12341234 , , , , , ,123412341 1 2 0 2 11 0 0 0 1 0 0 11 12 1 2 1 1 1 1 30 1 0 0 1 1 0 11 1 1 0 0 2 1 10 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 2 2 20 0 0 1 0 0 1 0 ,

16、 , , , , ,12341234_1 0 0 11 1 0 1 , , , , , ,) ()0 1 1 1123412340 0 1 0 , , , , , ,到123412341 0 0 11 1 0 10 1 1 10 0 1 0=(x ,x ,x ,x)T在 , , ,设 y ,y ,y ,y 312341234124 yx11xy ( , , , )( ) , , ,22 x1234y1234 33x y 44 (1,0,0,0) , (0,1,0,0) , (0,0,1,0) , (0,0,0,1)则TTTT1234 2 0 2 1 yx11 1 1 3 y 1x ( , ,

17、, )( ) , , ,22 0 2 1 1 yx12341234 33x 12 2 2 y 44 1 xy12 0 2 11 1 1 30 2 1 1 1yx 22 yx 33y 1 2 2 2 x 44 461338 11 46811 x x x x13213 131321313131234 x91391 x x x x1x1313 1313 1313131312342 3213878x3278 x x x x 313113 1313131313x 12344261826 x x x x 13 131313131313131234_ (1)V V , , , 121212 , , , ,

18、,V V的 极 大 无 关 组 ， 故 它 是 的 基 ，是 向 量 组121121212V V )3.12设V V V V且1212 k k k k 11223142将, ,121252k 0,k k ,k k33124345 55 k k k ( , ,5, )T3 331 12245 55 , ,5, )所以V V (2T3 331V V V k k , 线122112212k ,k 12 , ,k ,k ) ( , )秩(秩121 122122 1 4k k 1 1 5k 5k12 12221 1 5k 5k0 1 2kk 13 3 k k21 0 0 k 2k 1211 1 k k0

19、 00 1223k2k 0,k k12122 k ( )kk31 1222125 55k ( , , )T3 3325 55 , ,5, ) ，V V )1所以V V (1.T3 33212_ 与 x x3x x 01245x x 2x 4x012344x 2x 6x 3x 4x 0123452x 4x 2x 4x 7x 0123451,1,1,0,0) ,(12,0, 5,2,6) (TT 2是所求V V V V )1.122 (1) ,12 2 x3 xx x12 x42V , 112 2 3xx2 xx13x434 .V2 交空间V V 2与1 2 x xx312 x x42x 2x 3

20、x2 x143x34(1,1,3,1) V VT12V V span , , , span , , 121212121span , , span , , 122212VV )3 , ,.12121_A ( )(1,1,0) ,A ( )(2,1,1) 2 TT11221231 2A 1 10 12D (1)0 D (x)1 D(x ) 2x ， ，D(x )nx ，2nn10 1 000 0 20D0 0 0n(n1)注 对于线性映射D：x xn1ndD (f(x)f(x)dx1,x,x , ,x1,x,x , ,xn1 22n0 1 000 0 20D0 0 00 0 0n0(n(n 1xx

21、S(1) dt x,S(x) tdt x ,20021xS(x ) t dt x , ,223031xS(x ) t dt xn1n1n0n_0 001 00 100S210 0n(nn (1)XR3A (x)0XR3故 x1 X , , ) x 1232 x 3 xx11 A (x)A , , ) x ( , )A x 1232122 x 3 x 3,x ,xX x123 x1 1 11 x 0 0 1 22 x 3x 3,x 2,x 1123NA )x x x 2 (5,4,4) ,T112233123NA )1.NA )(3,2,1) 2 N(A)T123(3,2,1).T ARA ) spanA ),A ( ),A ( )123 span , , 11212 span , 112 span , R