湖南省永州市2021-2022学年数学高二下期末统考试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x，23，27，28，31，其中，中位数为22，则x等于（）A21B22C23D242甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲

2、胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.1若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为（ ）A0. 36B0. 49C0. 51D0. 753正项等比数列中，若，则的最小值等于（ ）A1BCD4用数学归纳法证明时，由时的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（ ）ABCD5设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是ABCD6用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应该写成（ ）A假设当时，能被整除B假设当时，能被整除C假设当时，能被整除D假设当时，能被整除7在极坐标系中，圆=2cos的圆心坐标为（）A(1,2)B(-1,8若复

3、数满足，其中为虚数单位，则（ ）ABCD9已知命题，则命题的否定为 ( )ABCD10若函数为奇函数，则ABCD11已知函数()在上的最大值为3，则( )ABCD12甲乙丙丁戊5名同学报名参加社区服务活动,社区服务活动共有关爱老人环境监测教育咨询交通宣传文娱活动五个项目,每人限报其中一项,记事件为“5名同学所报项目各不相同”,事件为“只有甲同学一人报关爱老人项目”,则( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图，矩形的边，直角三角形的边，沿把三角形折起，构成四棱锥，使得在平面内的射影落在线段上，如图，则这个四棱锥的体积的最大值为_14在等差数列中,则_15计算的结果为

4、_.16曲线在处的切线方程为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知椭圆，若在，四个点中有3个在上（1）求椭圆的方程；（2）若点与点是椭圆上关于原点对称的两个点，且，求的取值范围18（12分）设函数，其中是的导函数.（1）令，求的表达式；（2）若恒成立，求实数的取值范围.19（12分）如图，在四棱锥中，平面，且，.（1）求证：；（2）在线段上,是否存在一点,使得二面角的大小为，如果存在,求与平面所成角的正弦值；如果不存在,请说明理由.20（12分）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，（）求函数的解析式；（）求函数在区间上的最小值21（12分）在心理学

5、研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率。（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.22（10分）已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值.参考答案一、选择题：

6、本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】这组数据共有8个，得到这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，列出中位数的表示式，得到关于x的方程，解方程即可【详解】由条件可知数字的个数为偶数，这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，中位数22，x21故选A【点睛】本题考查了中位数的概念及求解方法，属于基础题2、C【解析】乙至少赢甲一局的对立事件为甲两局不输，由此能求出乙至少赢甲一局的概率【详解】乙至少赢甲局的概率为.故选C【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3、D【解析】分析

7、：先求公比，再得m,n关系式，最后根据基本不等式求最值.详解：因为，所以，因为，所以，因此当且仅当时取等号选点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.4、B【解析】因为当时，等式的左边是，所以当时，等式的左边是，多增加了，应选答案B点睛：解答本题的关键是搞清楚当时，等式的左边的结构形式，当时，等式的左边的结构形式是，最终确定添加的项是什么，使得问题获解5、D【解析】令，则在上有两个不等实根，有解，故, 点晴:本题主要考查函数的单

8、调性与极值问题，要注意转化，函数()在区间上有两个极值点，则在上有两个不等实根，所以有解，故,只需要满足解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，注意分类讨论和数形结合思想的应用6、D【解析】注意n为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设解：根据数学归纳法的证明步骤，注意n为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设n=2k-1（kN*）正确，再推n=2k+1正确；故选D本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n=2k-1能取到1，是解好本题的关键7、D【解析】把圆的极坐标方程转化为直角坐标方程，求出圆心直角坐标即可【详解】由=2cos，得2=2cos，化简为直角坐标方程为：x2+y2-2x

9、=0，即x-12所以圆心（1，0），即圆心（1，0）的极坐标为（1，0）.故选：D【点睛】本题考查圆的极坐标方程和直角坐标方程的互化，属于基础题8、A【解析】由，得，则，故选A.9、D【解析】分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得结果.详解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，故选D.点睛：本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.10、A【解析】分析：运用奇函数的定义，可得，再计算即可详解

10、：函数为奇函数，故选点睛：本题主要考查的是奇函数的定义，分段函数的应用，属于基础题。根据函数奇偶性的性质是解题的关键11、B【解析】对函数进行求导，得，令，对进行分类讨论，求出每种情况下的最大值，根据已知条件可以求出的值.【详解】解:， ，令，当时，在上单调递增，即（舍去），当时，；时，故在上单调递增，在上单调递减，即，令()，在上单调递减，且，故选B.【点睛】本题考查了已知函数在区间上的最大值求参数问题，求导、进行分类讨论函数的单调性是解题的关键.12、A【解析】由条件概率与独立事件可得：，P(AB)=，所以P(A|B)=，得解.【详解】由已知有事件概率为：，事件概率为：P(AB)=，所以P

11、(A|B)=，故选：A.【点睛】本题考查条件概率的计算，条件概率的两种求法:(1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=即可；(2)基本事件法: 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB) ,得P(B|A)=，本题属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设，可得，.，由余弦定理以及同角三角函数的关系得，则，利用配方法可得结果.【详解】因为在矩形内的射影落在线段上，所以平面垂直于平面，因为，所以平面，同理，设，则，.在中，所以，所以四棱锥的体积.因为，所以当，即时，体积取得最大值，最大值为，故

12、答案为.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质，余弦定理的应用以及锥体的体积公式，考查了配方法求最值，属于难题. 解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用空间点线面关系和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.14、40【解析】根据前项和公式，结合已知条件列式求得的值.【详解】依题意.【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式，属于基础题.15、【解析】利用指数运算、对数运算的性质即可得出【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查了指数运算性质，对数

13、的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16、y=2【解析】分析：求函数的导数，计算和，用点斜式确定直线方程即可.详解：，又，故切线方程为.故答案为.点睛：本题考查函数导数的几何意义即函数的切线方程问题，切线问题分三类：（1）点在曲线上，在点处的切线方程求导数；切线斜率；切线方程. （2）点在曲线上，过点处的切线方程设切点；求导数；切线斜率；切线方程；将点代入直线方程求得；确定切线方程.（3）点在曲线外，步骤同（2）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1) (2) 【解析】（1） 由于椭圆是对称图形，得点，必在椭圆上，故，再分别讨论在上时和在上时椭

14、圆的方程，根据题意进行排除，最后求解出结果（2） 设，利用向量的坐标运算表达出的值，根据对称性分类讨论设出直线的方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，将转化为求函数的值域问题，从而求解出的范围【详解】解：（1）与关于轴对称，由题意知在上，当在上时，当在上时，与矛盾，椭圆的方程为 （2）设，、关于坐标原点对称，当与轴不垂直时，设直线的方程为，代入椭圆方程得，由于可以取任何实数，故当与轴垂直时，综上可得【点睛】本题主要考查圆锥曲线的综合性题目，解决这类题目常用数学思想方法有方程思想，数形结合思想，设而不求与整体代入思想等18、（1）；（2）.【解析】分析：（1）求出的解析式，依次计算即可得出猜想；（2

15、）已知恒成立，即 恒成立设 (x0)，则(x)=， 对 进行讨论，求出 的最小值，令 恒成立即可；详解：由题设得，g(x) (x0) (1)由已知，g1(x)，g2(x)g(g1(x)，g3(x)，可得gn(x). 下面用数学归纳法证明当n1时，g1(x)，结论成立假设nk时结论成立，即gk(x).那么，当nk1时，gk1(x)g(gk(x)，即结论成立由可知， 结论对nN成立所以gn(x). (2)已知f(x)ag(x)恒成立，即ln(1x)恒成立设(x)ln(1x) (x0)，则(x)=， 当a1时，(x)0(仅当x0，a1时等号成立)，(x)在0，)上单调递增，又(0)0，(x)0在0，

16、)上恒成立，a1时，ln(1x)恒成立(仅当x0时等号成立) 当a1时，对x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1时，存在x0，使(x)0时，由f(x)=-4,解得x=2+2当-2a2+2时，观察图像可得函数最小值为f(-2)=-4当a2+2时，函数在-2，2上单调递增，在2，a是单调递减，由图像可得函数的最小值为f(a)=综上所述：当-2a2+2，最小值为-4；当a2+2时，最小值为.【点睛】本题考查由函数奇偶性求函数解析式，考查函数最值得求法和分类讨论思想的应用.21、（1） （2）见解析【解析】（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，计算即得(II)由题意知X可取的值为：.利用超几何分布概率计算公式得X的分布列为X01234P进一步计算X的数学期望.试题解析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，则(II)由题意知X可取的值为：.则因此X的分布列为X01234PX的数学期望是=【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随