线性系统理论第七章

1、 第七章Robust控制器设计及灵敏度分析基础 基于利用状态反馈和输出反馈的控制器设计，能有效地解决系统地极点配置问题，从而使系统的稳定性和响应品质得到保证。但是，控制器的设计是在假定受控对象模型参数已经确切知道的前提下进行的，实际运行中的系统，由于对象建模误差以及制造公差、环境变化、元件老化等原因，使对象参数可能处在较大范围的变化之中，通常这种参数不确定性对系统特性将会产生严重不利影响。 对于伺服系统来说，还存在着干扰作用下，系统是否仍然能够以给定的精度跟踪参考指令信号问题。考虑干扰以及模型参数不确定性的系统综合问题，一直得到控制理论和工程界的关注，其研究途径，一为探求新型控制器设计方法，一

2、为对系统进行灵敏度分析。本章将介绍Robust控制器的基本原理、构造方法及其特性，并列举了一个工程算例，它是状态空间综合的进一步成果。孩介绍了线性系统灵敏度基本原理及其在系统稳健性分析中的应用。在许多新型系统中，灵敏度（Sensitivity）与稳健性（Robustness）已作为重要的设计技术指标，有必要深刻揭示它们之间的关系。这里侧重介绍在频域中的灵敏度分析方法，且主要讨论单变量系统的情况。 7.1 Robust控制器设计 7.2 线性系统的灵敏度与稳健性 7.3 频域中的灵敏度分析 7.4 时域中的灵敏度比较 7.1 Robust控制器设计 Robust（稳健，鲁棒）控制器问题描述 设同

3、时有参考信号 及扰动信号 的线性多变量受控对象的动态方程为 (7.1) 式中 ，欲设计控制器以实现控制规律 ，使输出向量 跟踪参考输入向量 , 。由于系统存在惯性，要求对每一时刻都满足 是不现实的，实际上只能要求系统具有 无静差跟踪特性。具体指：闭环系统在稳定的前提下 实现扰动 抑制和渐进调节，也就是在稳态情况下，由于扰动产生的输出 为零，即 ，而输出量 复现参考信号 ，即 。故无静差特性可表示为 (7.2) 式中 (7.3) 称 为系统跟踪误差。当受控对象参数发生变化时（这里所指的参数变化不是无限小的变化），若所设计的控制器任能是闭环系统具有无静差特性，则称这样的控制器为Robust控制器，

4、当参数变化时，试(7.1)中诸系数矩阵变成 其中 分别与 、 、 具有相同维数，其元素的绝对值小于任意给定的正数 。 由经典控制理论已知，系统的稳态误差与外作用的形式和大小有关，例如在系统的参考输入作用点至干扰信号作用点之间设置一个积分控制器，以对误差（或偏差）进行积分，可使阶跃参考输入及阶跃干扰输入作用下的稳态误差为零，显见控制器的设计与外作用模型密切相关。下面先将这一过程用状态空间来描述，进而导出一般Robust控制器的设计方法。阶跃参考输入及扰动的Robust控制器设计 为简明起见，受控对象动态方程为 (7.4) 这里 且不失一般性地假定 。定义偏差向量 为 (7.5) 对 进行积分得

5、(7.6) 含 个积分器，每个积分器得输入偏差是偏差向量得一个分量。对式（7.6）求导有 (7.7) 将积分器与受控对象串联， 作为附加得状态向量，可构成增广的受控对象动态方程为 (7.8) 为解决引入积分器以后带来的稳定性问题及保障动态品质，且实现无静差跟踪，可用状态反馈任意配置闭环系统极点，而为此必须要增广受控对象能控。增广系统的能控性矩阵为 (7.9) 式中 (7.10) 为 矩阵， 为 矩阵。 当 时，增广系统能控的充要条件为 (7.11) 若原受控对象能控，其能控性矩阵满足 (7.12) 由于该能控矩阵增加一些常数列向量，并不改变秩条件故 必有 (7.13) 且矩阵 的秩为 ，于是有

6、 (7.14) 以上分析可归结为下面定理。 定理7.1 式（7.8）所示增广系统能控的充要条件为 （1）原受控对象能控； （2） 为实现闭环极点的任意配置，引入下列状态反馈以构成 闭环控制 (7.15) 式中 为 矩阵， 为 矩阵。将式（7.15）代入（7.8）可得闭环系统动态方程为 (7.16) 式中 (7.17) 闭环系统结构图见图7.1。令闭环系统特征多项式 与期望的特征多项式 相等，即 (7.18) 可确定 、 、矩阵诸元。至此设计便告完成。 图7.1 闭环系统结构图 下面运用定理来计算阶跃作用下的稳态误差 ，藉以 校验该闭环系统的无静差特性。由于 (7.19) 对其进行拉氏变换，有

7、故 (7.20) 式中 ， 于是有 (7.21) 上式推导表明，由于积分器的存在，导致 表达式中含有 因子 ，它与 及 的因子 构成对消，也就是说， 由于积分器的极点对消了外部作用信号的极点，才保证获得了闭环系统无静差的特性，这便启示我们要基于外作用的模 型来设计Robust控制器，并将该外作用模型称为内模，是任 何鲁棒控制其的基本特征。 当定理7.1所述条件成立时，则增广系统（7.8）能控， 这又意味着定可找到状态反馈 和 使系统渐进稳定， 从而能实现无静差跟踪，因此，定理7.1所示条件（增广系 统能控）也就是实现无静差跟踪的充要条件。 由图7.1所示闭 环结构图可导出鲁棒控制系统的一般结构

8、，见图7.2。一 个鲁棒控制系统，实质上是一个包含补偿器的输出反馈系 统，其中饲服补偿器用于实现扰动抑制及渐进调节，根据外作用模型来构造；镇定补偿器用于使闭环系统镇定，它包含状态反馈 及 ，当状态需重构时，还包含状态观测器，而状态观测器根据受控对象模型来构造。鲁棒控制器则是饲服补偿器和镇定补偿器的组合。下面来研究鲁棒控制器的一般设计方法。 例7.1 设单变量系统动态方程为 式中 为常值干扰幅度。试用状态空间法设计鲁棒控制 器，使系统稳态时理想跟踪阶跃参考指令 ，并使闭 环极点配置在 。 解由于为单输出系统，引入一个积分器可消除 及 作用下的稳态误差，有 增广受控系统动态方程为 判断增广系统能控

9、性： 故增广系统能控，可用状态反馈任意配置极点且可实现无静差跟踪。 状态反馈设计：令 闭环动态方程为 其 特征多项式为 期望特征多项式 为 由 解得 校验稳态误差：由式（7.16）可导出 为 当 及 时，稳态输出向量为 对本例有 故 饲服补偿器的一般设计方法 图7.1所示积分器是一 种饲服补偿器，其输入为误差（偏差）向量，其输出为误差 （偏差）向量的积分，它是基于参考和扰动信号均为阶跃函 数来确定的，两种信号的拉氏变换式的分母同为s。对每个 误差通道来说，若取其公分母的倒数即1/s作为饲服补偿器 单个通道的传递函数，那么便可实现饲服补偿器的极点与外 作用的极点相对消，从而保证实现无静差跟踪。这

10、里将这一 设计方法推广到在一般形式的参考、扰动信号作用下如何来 确定饲服补偿器的设计问题。 实际工程问题中的典型参考，扰动信号通常是一个时 间的幂函数或正、余弦函数，其拉氏变换式的分母多项式的 根为外作用的极点。设 、 分别为扰动及参考信号的 拉氏变换式的分母多项式，且只需考虑 和 的最小 公倍数 ，设 为s的m次多项式，即（7.21）式中最高幂次m及系数 由外作用的结构形式确定， 如函数类型为阶跃或斜坡或正弦，正弦信号的频率数据等，在饲服补偿器设计中应预先确切知道。 式未反映外作用拉氏变换式的分子多项式，即假定在饲服补偿器设计中， 外作用的幅值大小可为未知或任意，但仍应满足系统工作在线性范

11、围内的基本要求。还应指出，可能存在形如 一 类的外作用，其外作用极点处于s左半平面，该类外作用当 时自然趋于零，只要系统渐近稳定，便自然满足无静 差跟踪的要求，故在饲服补偿器设计中无需考虑这类外作用极点， 中只需包含处于虚轴上及右半s平面中的那些外 作用极点所确定的最小公倍式。 有时，扰动和参考信号用状态空间模型来描述其生成。 如扰动信号 可看作在初始状态 未知情况下，由下 列动态方程 （7.22） 来生成；如参考信号 可看作在初始状态未知情况下 由下列动态方程 （7.23） 来生成；这时 便是 和 中处于 虚轴上及右半s平面的那些外作用极点所确定的最小公倍式。 幂次m确定了在饲服补偿器的每个

12、通道中应串入的积分 器个数。对于q维误差向量来说，饲服补偿器含有q个相同 的误差（偏差）通道，即含有q个子系统，因而需共计引入 qm个积分器才能实现无静差跟踪。 饲服补偿器的q个子系统的动态方程为（7.24） 式中 均为m维饲服补偿器子状态向量，诸子系统具 有相同的系统矩阵 、 、 。为使每个子系统的传递函数为 ，为简明起见可取 、 为 的能控规范型实现， 即 且有 （7.25） 即饲服补偿器的每个子系统的输出为该子状态向量的第一分 量。对式和式作拉氏变换，可得诸子系统传递函数均为 （7.26） 显然，这样构造的饲服补偿器，诸子系统的传递函数极点均能与外作用的极点相对消，因而保证具有扰动抑制及

13、渐近调节的特性。 集合诸子系统动态方程，将其简记为分块矩阵形式，可 得整个饲服补偿器的动态方程为（7.27） 式中 由于 能控，故 能控，由能控性矩阵的秩判据 及PBH秩判据有 式中 为式中 的根。 基于外作用模型确定的饲服补偿器结构特性如式所示 是鲁棒控制器的基本特征。饲服补偿器的传递函数极点均位于虚轴上和右半s平面，因而是不稳定的，会导致闭环不稳定，为此还应引入镇定补偿器来保证闭环的渐近稳定性，以实现无静差跟踪。 例7.2 设单变量系统作用有阶跃参考信号 及正弦扰动信号 。试确定饲服补偿器动态方程和传递函数。 解 的分母多项式 ， 的分母多项 式 ， 、 的最小公倍式， ，故最高幂次 。

14、由于是单输出系统，饲服补偿器只含有单个子系统，其 动态方程为 式中 为 状态向量， 为标量误差（偏差），有 ， 为饲服补偿器输出，且 饲服补偿器传递函数为 增广系统的能控性和能观测性 将伺服控制器与受控对象串联，即将式（7.1）与式联立，且考虑式（7.3）可得增广系统动态方程（7.28） （7.29）据PBH秩判据，当且仅当对于所有负数域中的s，有 （7.30）则增广系统能控。该能控系统可进一步分解为下列几个条件。 若假定受控对象（A，B）能控，据PBH秩判据，对所有负 数域中的s有 （7.31） 且对于不是 的特征值即不是的根的所有s，显然有 （7.32） 故对于不是 的根的所有s，式成立。

15、若将 分解为 （7.32a） 由于饲服补偿器为能控规范型实现，故对负数域中的任一s 有 （7.33） 故式（7.32a）中左矩阵的秩为 ，而当且仅当 且 对于 的每一个根 均成立 （7.34） 则式（7.32a）中右矩阵的秩为 ，于是根据确定乘 积矩阵的秩的赛尔维斯特（Sylvester）不等式： 为 矩阵， 为 矩阵 可确定（7.32a）中 的秩满足 （7.35) 故式得证。增广系统能控，便可用状态反馈使闭环渐近稳 定，并据动态响应要求确定极点配置。 又据能观测性PBH秩判据，当且仅当 (7.36) 则增广系统能观测，可利用状态观测器来估计增广系统状 态，保证状态反馈的物理实现。由于构造的伺

16、服补偿器的状 态无需估计而能直接获得，只需估计受控对象状态，也即要 求受控对象（A，C）能观测，其PBH秩判据应满足(7.37) 以上分析可归结为下面定理。 定理7.2 式（7.1）所示受控对象，对于满足式所示的参考和扰动输入，存在线形定常鲁棒控制器，使闭环系统稳定且具有无静差跟踪特性的充要条件是： （1）受控对象能控、能观测； （2） （3） （4） 一个鲁棒控制系统具有的重要有点是，只要保证闭环系 统稳定，则对于受控对象参数（如A、B、C、D）、镇定补 偿器参数（观测器参数及状态反馈增益矩阵）以及外部信号幅度的有限扰动，均能呈现无静差跟踪特性。但对于饲服补偿器的阶次和参数变动则是敏感的，会

17、破坏扰动抑制及渐近跟踪。由于实际工程问题中对外作用具有先验知识，外作用模型的不精确将导致有限的稳态误差，故上述分析设计仍能 取得较好的效果。 引入辅助控制器的鲁棒控制系统 辅助控制器是常 规状态观测器的退化结构，其中无需观测器中为配置其极点的输出反馈矩阵的设计。辅助控制器按受控对象状态方程且令 来构造，其状态方程为 (7.38) 且以估计状态 作为辅助控制器的输出。由辅助控制器及 设置的两个状态反馈增益矩阵 、 ，使控制向量 满足： （7.39） 可使闭环系统镇定，故镇定补偿器可看作辅助控制器及 、 的组合，而鲁棒控制器则由伺服补偿器及镇定补偿器组成。 图7.3 具有辅助控制器的鲁棒控制系统

18、具有辅助控制器的鲁棒控制系统结构图见图7.3，闭环系统 动态方程为 其向量矩阵形式为（7.40） 为便于分析确定闭环特征值，现引入一个新状态向量 来代替 ，这相当于引入坐标变换，即令 （7.41） 闭环特征值是不会改变的。由于 故闭环系统的动态方程又可表为(7.42) 由式（7.42）显见，闭环特征值由 的特征值及 的特征值组合而成。故用辅助控制器作为镇定补偿器时，要求受控制对象 的特征值应有负实部。当 具有不稳定特征值时，或 虽有稳定特征值但需改善其动态响应时，可对 受控对象先附加输出反馈以改善对象性能，为鲁棒控制器设计提供一个满意的受控对象。对于已经设计完成的鲁棒控制器来说，通过给对象引入

19、输出反馈，也是进一步提高鲁棒控制系统性能的有效方法。 附加对象输出反馈的鲁棒控制系统 为了给受控对 象附加输出反馈，需利用受控对象的可 测量信息，为此需 构造受控对象的可测量输出方程。设 为可测量输出向量, 可测量输出方程为 （7.43） 对于实际工程问题，可不失一般性地假定 包含 ，即 （见例7.3如飞行器这样的受控对象，可测量的输出有 俯仰角速度和法向过载，而被调输出只为法向过载）。也就 是存在一个非奇异换阵 使 及 （7.44） 成立。式中 为 矩阵， 为 维向量。并假 定 能观测。按以下方式引入输出反馈 ，有 （7.45） 则受控对象状态方程变为 （7.46） 这时对象的状态阵为 。

20、为鲁棒控制器的输出，即 （7.47） 辅助控制器的状态阵这时应根据引入对象输出反馈后的状态 阵来选取，即 （7.48） 伺服补偿器方程仍为 （7.49）图7.4 具有对象输出反馈及辅助控制器的鲁棒控制系统 具有对象输出反馈及辅助控制器的鲁棒控制系统结构图见图7.4。闭环系统动态方程为 其向量矩阵形式为（7.50） 同以上分析有 （7.51） （7.52） 由式（7.52）显见，闭环特征值由 的特征值以 及 的特征值组合而成。故当受控对象状态阵 不稳定时，或需要改善受控对象的动态响应时，可先选择输出反馈阵 以配置 的极点位置，继而选择 、 来配置后一矩 阵的极点位置，最后来确定伺服补偿器和辅助控

21、制器的结构。上述三步是该类鲁棒控制系统的一般设计步骤。例7.3 鲁棒控制器在自动驾驶仪中的应用举例。 地对空战术导弹以不同高度、速度飞行时，飞行器的 阻尼特性及传递系数、舵系统的时间常数及传递系数等参数都在宽广范围内变化。基于经典控制理论所设计的自动驾驶仪，一种成熟的控制结构便是：采用速率陀螺反馈以引入人 工阻尼，增强飞行器的阻尼性，可将阻尼系数从百分之几提高一个量级；采用线加速度传感器（或称法向过载传感器）反馈来抑制飞行器传递系数的变化，但这种抑制作用仍然有限，还引入了变增益机构来增强对不同飞行高度、速度的适应性，但传递系数也只能稳定在的变化范围内。为进一步减弱飞行参数变化对控制性能的影响，

22、近代学者和控制工程师对自适应控制理论及应用进行了广泛的研究，在此我们来介绍另一种先进的控制方案，即为该类导弹自动驾驶仪设计一个鲁棒控制器，构成一种新型的鲁棒控制系统。一 、受控对象及外部输入的数学模型 设受控对象包括舵系统及飞行器，且只研究飞行器纵 向通道的运动情况，它是一个单输入单输出对象，已知其传递幻术结构图如图7.5所示。 图7.5 受控对象结构图 图中 控制量，输给舵系统； 舵偏角； 舵系统传递系数，由于舵系统时间常数远比飞行器 时间常数为小，故忽略之； 飞行器俯仰角； 飞行器轨迹倾斜角； 飞行器法向过载，是受控对象的输出量； 、 、 、 分别为飞行器的传递系数、时间常数、 阻尼系数、

23、微分时间常数； 飞行器速度； 重力加速度。 由 至 的传递关系可得微分方程 由 至 的传递关系有 考虑 并代入式经整理有 受控对象输出方程为 记状态向量 及输出向量 ，可 得向量矩阵形式的受控对象动态方程 式中 由于受控对象可测量的输出包括俯仰角速率 及法向过载 ，记可测量输出向量 为 故 设参考输入 为单位阶跃函数，干扰 为正弦函数 ， 为圆频率， 的引入只叠加了一项俯仰加速 度，故有 且已推知外部输入模型 为 其最高幂次 ； 的根为 二、 存在鲁棒控制器的充要条件的验证（1）计算 ： 故 能控制。（2）计算 ： 故 能观测。（3）按外部输入模型所确定的 ， 计算，有 （4）由于 ， ，显见

24、 包含 ，这时总 存在非奇异变换 ，使 成立。显然最简单的有 。 三、给受控对象附加输出反馈 令 则受控对象的状态方程变为 式中输出反馈矩阵 ， 其特征方程为 根据整个闭环系统的极点配置需求，从中选择两个希望闭环极点来确定输出反馈矩阵的参数和。这里假定保留原来设置的速率陀螺反馈和过载传感器反馈，且采用原有的设计参数。受控对象的状态变量图见图7.6，实线部分示出未加输出反馈的情形，虚线部分为附加的输出反馈部分。图7.6 受控对象状态变量图 四、伺服补偿器设计 由于受控对象是单输入单输出系统，故伺服补偿器只含有一个子系统，其状态方程为 式中 为伺服补偿器状态阵， 、 分别为伺服补偿器控制、 输出向

25、量， 和 是外部输入模型的能控标准型实现。由于 式的最高幂次 ，故 为 向量， ， 为标量，有 伺服补偿器的状态变量图见图7.7。伺服补偿器的输出为 图7.7 伺服补偿器状态变量五、辅助控制器设计根据附加输出反馈的受控对象状态方程式（令 ）来构造辅助控制器状态方程 式中 为辅助控制器状态向量， 由状态反馈控 制规律确定。辅助控制器的输出即 ，其状态变量图与图 7.6相同，唯将图中变量 、 、 分别更改为 、 、 。六.状态反馈控制规律 式中 七、按闭环极点配置需求确定 、 已知闭环极点包括 的极点及矩阵 的特征值。 式中 、 已经确定，状态反馈增益矩阵参数 、 、 及 、 、 可由其余的希望闭

26、环极点位置需求来确定。 仿真结果表明，按经典控制理论设计的速率陀螺及过载 传感器式自动驾驶仪回路，在沿同一条弹道的飞行过程中的不同时刻，其调节时间和超调量是变化较大的，而该鲁棒控制方案，则对不同时刻能获得几乎相同的动态品质，对阶跃指令及正弦干扰等外部输入作用能实现渐近调节。 7.2 线性系统的灵敏度与稳健性问题的提出在控制工程中，总存在着实际系统相对于作为设计依据的额定模型的结构变异或参数摄动。这是由于有制造容差，任何理论构思或设计计算结果不可能绝对准确地实现；再者，随着时间的推移。任何系统都会由于零、部件发生老化、磨损等原因而造成性能的改变；此外，系统的运行条件和环境也常发生变化；更何况为了

27、简化设计计算或便于 数学处理，常有必要把一些复杂的情况或模型进行简化或 理想化。至于用系统辩识法辩识所得的系统数学模型，也仅能准确到一定的程度。基于以上考虑，可把实际系统如图 7.8那样，描绘成在具有额定值的数学模型上同时作用着指令信号、外干扰信号、以及等效于上述结构变异或参数摄动的某种外作用信号。也正因此，上述结构变异及参数摄动对系统性能的影响问题得到控制工程界的充分重视，于是系统灵敏度理论及与这有密切关联的系统稳健性理论成了工程控制论中的一个重要分支。本间主要对系统灵敏度问题作简要的介绍。 系统参数的分类 为了便于研究，系统灵敏度理论中把 系统由于前述原因造成的结构变异与参数摄动都归结为参

28、数摄动来研究。1953年，K.Smiller和F.J.Murray对连续系统的参数提出了以下分类法。 参数 会导致系统微分方程系数发生变化的一类参 数称为参数。 参数 与系统微分方程的初始条件有关的一类参数， 称为参数。 参数 凡额定值为零，摄动会影响微分方程阶次变化 的一类参数 称为参数。如枢控直流电机中的电感，不计 其影响时，电机运动方程为一阶微分方程，计其影响时刚为 二阶微分方程，帮电感为参数。 图7.8 考虑结构变异与参数摄动的系统输入输出情况 例 7.4 高有系统数学模型为 式中 ，i=0，1，2为微分方程的系数，u(t)是已知的输入 函数。试按上述对、参数的定义，判断其中各参数的类

29、别。 解 把题给微分方程中参数值看成为各参数值的额定值。 假设各参数有所摄动，相应的微分方程成为 于是，按前述各种参数的定义 ， ， ， 皆为参 数； ， 为参数； =0为参数。 系统参数灵敏度 系统的动态性能受参数摄动影响的属性称为系统的参数灵敏度，简称为系统灵敏度。有人把系承受外干扰作用的能力也看作是一种系统的灵敏度的属性。一般文献中的系统灵敏度都是指系统掺数灵敏度。这里所指的动态性能可能指系统的时间响应、状态向量、传递函数或其它表征系统动态性能的指标、变量等。 常采用以下三种灵敏度函数来分析与计算参数灵敏度： 绝对灵敏度函数、相对灵敏度函数以及半相对灵敏度函数。 下面以系统变量及参数皆为

30、标量的情况为例说明之。 如果系统变量y与参数 的关系为 ，刚绝对灵 敏度函数定义为 (7.53) 相对灵敏度函数定义为 (7.54) 两种半相对灵敏度函数分别定义为（7.55) (7.56) 下标 皆表示在参数额定值处取值。 70年代末，术语“系统稳健性”出现了，它的做含义与系统灵敏度相关联，系统灵敏度低表示系统稳健性高。不真实性稳健性比灵敏度的含意还要广泛，通常稳健性指系统特性对搞各种摄动因素的影响的能力，例如包括对搞模型结构不确定性的能力。目前闭环控制系统设计计算的传统作法是先孤立地研究受控对象的数学模型，然后依据设计出来的控制器往往与真实受控对象不能很好的匹配。这就是系统建模误差造成的系

31、统稳健性问题。下面列举几个有关系统灵敏度的例子。 例7.5 反馈系统的灵敏度分析 设有图7.9所示的炮塔随动系统，它的指令信号是靠摇动手柄来给出的。电位器 与 构成敏感元件，它的输出信号加到差动放大器去综合比较，然后通过放大器与校正装置去推动执行电动机转动。执行电动机刚通过齿轮 和 组成的减速装置带动炮塔运行。系统中反馈装置由齿轮 及 构成。图中 和 表示齿轮间隙。图7.9 炮塔随机系统示意图 图7.10图7.9所示系统的结构图。图7.10是图7.9所示系统的结构图。图中 表示敏 感元件 的传递函数； 表示反馈通路的传递函数； 是系统前向通路的传递函数。由图可见，该系统的传递函数可求得为 现在

32、来研究 及 分别变化对系统传递函 数W(s)的影响，即求 及 。 先求 。由前述定义， 其中，下标 表示求得的导数 应在处取值。 显然， 故 =1意味着参数一旦有变，就会在系统传递函数W（s） 中毫无保留地全部反映出来。正因此，要求 这个参数极 其稳定。由图7.9可见，这相应于要求电位器 及其电源电 压 不受环境温度，湿度等各种外界因素的影响且保持十 分稳定。再看 .由于 ，故 通常取 ，故 这个结果意为一旦 有变，也会在W(s)中毫无保留 地全部反映出来。因此，要求图7.9中的电位器 及它的电 源电压 稳定，齿轮 及 做得比较准确与耐磨。最后 看 。读者不难求得 这意味着G一旦有变，它对系统

33、传递函数W（s）的影 响 是不大的。这是因为一般情况下，系统总是按 进行设计的缘故。在图7.9所示的系统中，上述结论意为： 对各放大器、校正装置及马达的性能稳定性不必要求过高，齿轮 也无须做得特别准确。 例7.6 参数的灵敏度问题 设有伺服直流电动机的微分方 程 若u=0时，参数 的额定值 =1，初始条件为 ，试求状态向量的绝对灵敏度向量，并求 有10%变异后状态向量的诱发变化 。 由题给微分方程转相变型的状态方程进行计算比较方便。 取状态变量为 ，故动态方程为 考虑u=0，状态方程的解为 取 作为参数，即取 ，状态向量的灵敏度向量 定义 为 式中，括号外的下标“0”表示求得的结果在相应的额定

34、值处取值。计算可得 参数变化的诱发状态误差由下式求得 式中， 为了把参数变化对系统的影响看得更清楚，可以画出 相应于额定参数的额定相迹和参数变化后的实际相迹。为 此，先求相迹方程。 由前述状态方程，考虑u(t)=0,有 故有关系式 额定参数时的相迹为 ， 即 积分之，即 。 故相迹方程式为 实际参数时的相迹可用类似的方法求得。由 可求得相迹方程为 由于 上式成为 额定参数时的相迹与实际相迹如图7.11所示。 图7.11 例题7.6的相迹图7.3频域中的灵敏度分析 问题的提出 因为控制系统有时域与频域分析法，故相应地产生了频域中的灵敏度问题。在频域灵敏度分析中，用得最多的是伯德灵敏度函数。我们以

35、图7.12所示的单变量系统为例，说明伯德灵敏度函数的做做含意。由该图可见，系统的传递函数 不仅取决于复变量s，还同时取决于参数向量 。 伯德灵敏度函数 设 及 分别是系统的实际及额定值的传递函数，其中， 及 分别为实际的及额定的参数向量，则伯德灵敏度函数 定义为 （7.57） 注意，由上述定义可见，伯德灵敏度函数实为相对灵敏度函数，理该写为 ，但实际上总写成 图7.12 考虑参数向量的系统传递函数 图7.13 闭环控制系统 例7.7 设有图7.13所示的闭环控制系统，图中，被控对象 为 ，参数 ，试求伯德灵敏度函数 。 由定义， 可极方便地求得，即 开环与闭环的灵敏度比较 从灵敏度分析看，闭环

36、控制是否一定优于开环控制？ 下面以图7.14所示的单变量反馈系统为例进行研究。由图 可见，该系统的闭环传递函数为 如果把被控对象P（s,）看成是一个变元，则不难想 象可把伯德灵敏度函数推广于变元情况，于是图7.14 单变量单位反馈系统用L表示开环传递函数，即令L=PR，上式成为 相应的闭环频率特性为 由于 = 是系统的开环频率性， 故画出它的开环幅相特性（即所谓的乃奎斯特图），并求得 不同频率时的系统回差向量 。由上述 的表达式可见，如果在某些频率上呈现 ，则在这些频率上，闭环系统对参数 变化的稳健性比开环系统要好；反之，如果在另一些频率上 有 则在这些频率上，闭环系统对参 数变化的稳健性就比

37、开环系统要差。图7.15画出了一个开环 传递函数的分母阶次比分子阶次高出3阶的系统开环幅相特 性图，其中还画出了回差向量的求法。 由图可见，在频率为 至 的低频段中，闭环 系统比开环系统稳健；而在 至 的高频段中，情 况正好相反。 著名美国科学家伯德（Bode,H.W）对上述现象进行了 深入的研究，总结出了一个相应的定理，该定理告诉我们， 对任何一个具有开环极点至少比零点多两个以上的稳定的控 制系统而言，在 至 的频段中，灵敏度函数幅值 的对数平均值为零，也即在0分贝线上下的 部分的面积相等，至于 的频率 则可通过选择控制 器的传递函数R（s）来确定。 选取 的原则为：保证在 输入信号的主要频

38、段内，闭环系统在稳健性方面优于相应的 开环系统，也即 。 在实际的输出反馈系统中，伯德定理提到的关于开环传 递函数的极点比零点多两个以上的条件几乎总是满足的，因 此，伯德定理指出的现象几乎到处可见。图7.15 一个系统的开环幅相特性及回差向量求法 状态反馈与输出反馈系统的稳健性比较 从所周知，状 态反馈系统的性能在很多方面都优于输出反馈系统，在稳健 性方面是否也是这样？我们用一个例子来讲座这个问题。 假定被控对象的结构图如图7.16所示。 为了实现对它 的控制，我们采用了三个不同的方案。第一个方案是图7.17 的输出反馈控制；第二个用图7.18所示的状态反馈控制；第 三个取图7.19那样的状态

39、反馈等效方案。 图7.16 被控对象图7.17 输出反馈控制方案图7.18 状态反馈控制方案输出反馈方案的闭环传递函数为图7.19 状态反馈等效控制方案 状态反馈方案的闭环传递函数是 状态反馈等效方案的闭环传递函数是 输出反馈控制方案与状态反馈控制方案在参数 时的根轨迹图分别示于图7.20及7.21。为了比较二个方案的 稳健性，取阻尼系数 的值皆为0.7076。由图7.20可见， 此时输出反馈系统的根轨迹增益为 ，对应的放大系 数 。对状态反馈系统而言，由图7.21可见，对应有A=10。，图7.20 输出反馈方案在取 ， 时的根迹图图7.21状态反馈方案在取 ， 时的根迹图 在输出反馈与状态反

40、馈系统的额定值分别取为 ，这两种系统的灵敏度幅值随频率变化的曲线 ， 及 如图7.22所示。注意，该图中有二条状态反馈系统的 曲线，其 中，一条相应于 不可达的情况。现在我们来看参数 分别变化100%时，在额定频带上限频率 处闭环频率特 性幅值的变化情况。注意，在额定参数时，输出反馈系统 的 ，状态反馈系统的 。为了一目了然， 有关的计算结果分别列于表7.1及表7.2中。表中% ， 为额定参数时的 值，计算中取 。图7.22 状态反馈与输出反馈的各种灵敏度曲线 表7.1 输出反馈系统的灵敏度分析（ ）参数情况开环传递函数1.额定参数A=0.210.707-1.091.281.292. 变化10

41、0%0.3380.321.2352、45574、0- 由上述两表的计算结果可见以下几点：第1点是状态反 馈系统比输出反馈系统 更稳健，这由输出反馈系统在频带 的上限频率 的灵敏度函数 及 远大于状态反馈系统在相应的 处的灵敏度函 及 便可十分明显地看出。第 2点是状态反馈系统对参数 变化的灵敏度函数值 十分特别。当状态反馈由状态变量 处经由反馈系数 直 接取出时（即所谓的 是可达的），状态反馈系统 的会远大于输出反馈系统的相应值；反之，当状态反馈经结 构图变换，用图7.19所示的方案，把状态反馈经由 引出 时，情况就截然不同了，此时状态反馈的 远小于 输出反馈的值厕保持了状态反馈的优异稳健特性

42、。这种把原 为可达的状态变量 改为不可达的做法对改进状态反馈系 统的稳健性是十分有利的。把以上分析的结果推而广之，可 知，如果状态变量的取向是由右向左，即 ，则在状 态反馈系统中，凡处在 至 之间的 任何参数变化都对系 统特性影响甚微；反之，系统对状态变量 至 之间的参 数变化却极敏感。为减小系统对这些参数变化的敏感性，应 把状态反馈信号引出点 向右移，这样才能保 证状态反馈系统远比相应的输出反馈系统更为稳健。 表7.2 状态反馈系统及其等效系统的灵敏度分析（ ） 参数情况等效的开环传递函数0.7070.683-3.390.0360.051-0.1600.6821.71777.43.541.41- 比较灵敏度函数 在频域灵敏度分析中，除了应用伯德 灵敏度函数外，还常使用所谓的比较灵敏度函数，它是伯德 灵敏度函数的推广。这种灵敏度函数特别适宜于进行各种系 统的灵敏度比较。 设有图7.23的两个系统，一个是开环的，另一个闭环的。 图中， 是受参数变化影响的被控对象；F（s）R(s)及 H(s