点面距离的求解

1、点面距离的求解第1页，共20页，2022年，5月20日，14点18分，星期四点面距离21一、点面距离的地位： 点面距离问题是整个立体几何这一章的重点，它不仅是线面角、二面角（三垂线法）求解的关键；而且是线面、面面及异面直线间距离转化的最后目的地。是高考的热点，每年都有所考 查。二、点面距的定义： 从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫这个点到这个平面的距离.第2页，共20页，2022年，5月20日，14点18分，星期四点面距离31 直接法:作出垂线，直接求解；向量法； 间接法：等体积法；比例法. 三、点面距的求法：四、求法的具体讲解：（1）作出垂线，直接求解 “垂线如何作，垂足又

2、落在哪里？”是此法的关键，其解决方案主要有下：1、依据面面垂直的性质及判定 常规遵循一作二证三计算的步骤；第3页，共20页，2022年，5月20日，14点18分，星期四点面距离41法一：依据判定找过已知点且与已知平面垂直的平面，后再在此平面内向二者的交线引垂线，由面面垂直的性质可知，此垂线垂直于已知平面，且垂足落在交线上 MCPAB例1：如图：在四面体P-ABC中， PC平面ABC， AB=BC=CA=PC=a，求B到面PAC的距离。 分析：由PC平面ABC，PC 面PAC可得，面ABC面PAC，又面ABC过点B，面ABC面PAC=AC，所以过B作BMAC于M，即可得BM面PAC。而三角形AB

3、C为等边三角形故 32BM=第4页，共20页，2022年，5月20日，14点18分，星期四点面距离51 例2 在棱长为1的正方体 中，E、F分别为棱 、 的中点，G 为棱 上的一点， 且 求点G到面 的距离。 MDBCEFAG分析：由条件可知点G在线段 移动，而 面 ，所以其上任意点到面 的距离都等于G到面 的距离，这样我们就可直接将G点换为点 ，而由EF平面 知，过 的平面 面 且面 面 = ，故仅需过 作 于M，即得 面 ，后在 中进行计算即可。第5页，共20页，2022年，5月20日，14点18分，星期四点面距离615. 如图所示，已知ABCD是矩形，AB=a，AD=b，PA平面ABCD

4、，PA=2c，Q是PA的中点.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离.延伸拓展【解题回顾】解答求距离的问题，注意距离之间的相互转化，有时能取得意想不到的效果第6页，共20页，2022年，5月20日，14点18分，星期四点面距离71法二，依据面面垂直的判定，首先在已知平面内找一条线；后再作与此线垂直且过已知点的垂面（如何作见下）；再在此平面内向二者的交线引垂线，由面面垂直的性质可知，此垂线即垂直于已知平面，且垂足落在交线上。 借助三垂线定理或三垂线定理的逆定理。例3如图，在正三棱柱 中， AB=2， =4，则点C到平面 的距离为？ HOCAB第7页，共20页，2022年，5月20日

5、，14点18分，星期四点面距离81利用等腰三角形或全等三角形。例4如图，三棱锥P-ABC 中，PA=PB=CA=CB=6，AB=PC=4，求C面PAB 的距离。OHPABC分析：等腰PAB与等腰CAB公用底边AB，故仅需取AB的中点O，连结PO、CO，即可得到AB面POC，又面PAB，面PAB面POC，过C作CHPO于H，则CH面PAB，后在等腰POC中计算出CH即可。第8页，共20页，2022年，5月20日，14点18分，星期四点面距离91例5如图，正三棱锥P-ABC 中，侧棱长为6，底面边长为4，求C面PAB 的距离。EOPABC分析：PAB全等于PAC，过C作CEPA于E，连BE则BEP

6、A，所以PA面BCE，又面PAB故面BCE面PAB，过C作COBE于O，则CO面PAB， 第9页，共20页，2022年，5月20日，14点18分，星期四点面距离1012、依据其他。如依据射影长定理及外心的定义。HOCBA例6 如图，已知，在ABC中ABC= ，AB=6，BC=8，O到ABC各顶点的距离都等于10，求点O到这个三角形所在平面的距离。解：设H为点O在平面ABC内的射影，连接OH、AH、BH、CH，在ABC中ABC= ，AB=6，BC=8 AC=10OA=OB=OCHA=HB=HC即H为ABC的外心，H 为AC中点，AH=BH=CH=5OAH中AHO= ，OA=10，AH=5OH=即

7、点O到平面ABC的距离为。第10页，共20页，2022年，5月20日，14点18分，星期四点面距离1113. ABC中，AB=9，AC=15，BAC=120，ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离为( )(A)7 (B)9(C)11 (D)13HPCAB第11页，共20页，2022年，5月20日，14点18分，星期四点面距离121如依据结论 “从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，求证斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线”。（人教版高二数学下A ）例7如图，斜三棱柱 的各条棱长均为4， = = ，求斜三棱柱的

8、体积。DOACB第12页，共20页，2022年，5月20日，14点18分，星期四点面距离131再如依据正棱锥的性质“正棱锥的顶点在底面内的射影为底面的中心”。例8求侧棱和底面长均为6的正四棱锥的高。OBDACP分析：过P作PO面ABCD于O，则PO即为高，O为底面的中心，又底面为正方形，故后在 POA中即可完成相应计算。第13页，共20页，2022年，5月20日，14点18分，星期四点面距离141 向量法做法：先求得已知平面的一个法向量，再找到平面的一过已知点的斜向量，后再套用公式求解。如图所示，设 是平面 的法向量， ， 是平面的一条斜线。点B到平面的距离为ABC第14页，共20页，2022

9、年，5月20日，14点18分，星期四点面距离151例9如图，已知平面 平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边 所在的平面与底面ABC垂直，且 ，设AC= 求A到平面VBC的距离。zxyOE解：取AC的中点O。连结 ，易 知 平面ABC，过O作直线OEBC交AB于E，取O为空间直角坐标系的原点，OE、OC、 所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 则 设平面VBC的一个法向量又 由得(x,y,z)(-a,0,0)=0, (x,y,z)(0,-a, )= 0取z=1, 得点A到平面VBC的距离，即在平面VBC的法向量 上的投影的绝对值设 所求的距离为 则A到平面VBC的

10、距离为ABCV第15页，共20页，2022年，5月20日，14点18分，星期四点面距离161等积法。利用三棱锥的顶点可换性，借助体积公式求解，关键是三棱锥的某个底面的面积及其上的高可求。例10如图，在棱长为4的正方体 中M、N分别是棱 的中点，求点B到平面AMN的距离。ABCDNM分析：要求点B到平面AMN的距离，仅需以B、M、N、A为顶点构造三棱锥B-AMN利用 即可。解：连BN、BM，设点B到平面AMN的距离为 ， 即 及 ， 6， 第16页，共20页，2022年，5月20日，14点18分，星期四点面距离171比例法借助平行，进行比例转化，来求解距离。PPQMONOMNQ如图PM平面 =O，PQ平面 于Q，MN平面 于N，则第17页，共20页，2022年，5月20日，14点18分，星期四点面距离181例10如图，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD=O，AD=5，BC=10。若BC 平面 ，点O到平面 的距离为7，求AD到平面 的距离。BCODA分析：ADBC，则AD平面 ，要求AD到平面 的距离，只需求出直线AD上任一点到平面 的距离。可过D作 平面 于 ， 平面 于 ，则B、 、 共线且 ，所以 ，又 =7， 所以第18