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文档简介

1、4.2 线性变换的矩阵一、线性变换在基下的矩阵二、相似矩阵一、 线性变换在基下的矩阵 的线性变换. 则对任意 存在唯一的一组数 设是线性空间V的一组基，为V使从而，由此知，由 完全确定.一组基在下的象即可.所以要求V中任一向量在下的象，只需求出V的命题4.2.1设是线性空间V的一组基，为V的线性变换，若 则 由已知，即得由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作用所决定.证：对 证： 定义 都存在线性变换使 任意n个向量命题4.2.2 设是线性空间V的一组基，对V中易知为V的一个变换，下证它是线性的.任取设则 于是 为V的线性变换.又设为数域P上线性空间V的一组基， 为V的线性变换. 基向量的

2、象可以被基线性表出,设定义4.2.1用矩阵表示即为 其中 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 矩阵A称为线性变换在基下的矩阵. A的第i列是 在基下的坐标，注：它是唯一的. 故在取定一组基下的矩阵是唯一的. 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵； 例1. 设线性空间 的线性变换为 求在标准基下的矩阵. 解： 线性变换运算与矩阵运算定理4.2.2 设为数域P上线性空间V的一组的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：基，在这组基下，V的每一个线性变换都与 中 线性变换的和对应于矩阵的和； 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 线性变换的数量乘积对应于矩阵

3、的数量乘积； 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.证：设为两个线性变换，它们在基 下的矩阵分别为A、B，即 在基 下的矩阵为AB. 在基 下的矩阵为AB. 在基 下的矩阵为 由于单位变换(恒等变换)对应于单位矩阵E. 相对应.所以，与ABBAE因此，可逆线性变换与可逆矩阵A对应，且逆变换 对应于逆矩阵 （推论4.2.1） 定理4.2.3 设线性变换在基 下的矩阵为A,在基下的坐标为在基下的坐标为则有 证：由已知有 又 由于 线性无关，所以下的矩阵分别为A、B，且从基() 到基()的过渡矩阵矩阵是X，则()() 定理4.2.4 设线性空间V的线性变换在两组基证：由已知，有 于是，

4、由此即得 相似矩阵定义4.2.4设A、B为数域P上的两个n级矩阵，若存在可逆 矩阵 使得 则称矩阵A相似于B，记为 （1）相似是一个等价关系，即满足如下三条性质： 反身性： 对称性：2基本性质 传递性： 定理4.2.6 线性变换在不同基下的矩阵是相似的；同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作证：设 且A是线性变换 在基 下的矩阵. 显然， 也是一组基，矩阵就是B.且在这组基下的例. 设 为线性空间V一组基， 线性变换在这组基下的矩阵为 为V的另一组基，且 求 在 下的矩阵B.解：（1）由定理4，在基下的矩阵例 . 在线性空间 中，线性变换定义如下：（1）求 在标准基 下

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