原子物理学第十讲

1、9/23/2022原子物理学第十讲9/23/202212 波粒二象性德布罗意认为“任何物质伴随以波，而且不可能将物质的运动和波的传播分开”，这里所说的任何物质包括大至一个行星、一块石头，小至一粒灰尘或一个电子。这种和实物粒子相联系的波叫做德布罗意波。德布罗意波的波长和频率满足以下关系。9/23/202212 波粒二象性 五、德布罗意波和量子态 从德布罗意关系式可以进一步看清普朗克常量的意义。在1900年普朗克引入该常量时，它的意义是量子化的度量，即它是不连续性程度的度量单位。而现在经过爱因斯坦和德布罗意的努力，出现了关于实物粒子的波粒二象性的观念，而波性和粒子性之间起桥梁作用的正是h。 这一事

2、实本身说明：这两个概念之间有着深刻的内在联系。以下对此问题作进一步分析。9/23/202212 波粒二象性 那么应用波粒二象性能否得到角动量的量子化条件？回答是肯定的，下面我们通过两个例子来解释说明这个问题。 要使绕核运动的电子能稳定存在，那么与这个电子相应的德布罗意波就必须是一个驻波。根据驻波条件的要求：波绕核传播一周后应平滑地衔接起来，否则相叠合的波将会由于干涉而相消；换而言之，要使电子稳定运动，电子绕核回转一圈的周长必须是与之相应的德布罗意波的波长的整数倍，即 （1）、氢原子中绕核运动的电子9/23/2022为了证明上述论述的正确性，（由量子化条件导出驻波条件）我们将玻尔第一速度 代入关

3、系式 12 波粒二象性 式中，a1是第一玻尔半径。由此证明，玻尔关于氢原子的量子化结果确实满足驻波条件。可见一个波如果被束缚起来，就必须是一个驻波，而驻波条件就是角动量量子化条件。可改写为 这正是玻尔所给出的量子化条件9/23/202212 波粒二象性 一个粒子处于壁为刚性的匣子中作一维运动。由经典理论可知，这个粒子在匣子中的动能恒为 ，运动周期 。（2）一个在刚性匣子中的粒子 粒子在宽度为的匣子中作一维运动，与之相对应的德布罗意波被束缚在匣子中，因此x=0和x=d处永远是波节。由驻波条件，这个粒子要在这个匣子中永远存在下去，则其德布罗意波必须是一个驻波，它的波长必须满足x=0 x=ddmx=

4、0 x=dd9/23/202212 波粒二象性 通过以上两个例子的分析，非常形象地说明了波粒二象性与量子化条件的关系：禁闭（被束缚）的波必然导出量子化条件。一旦波和粒子联系起来之后，就得到粒子能量的量子化。即匣子的宽度至少为半个波长那么大。将上式代入德布罗意关系和非相对论动能公式可得到由此可见，动量和能量都是量子化的。9/23/202214 波函数及其统计解释 微观粒子的波函数中的 表示什么意义呢? 即怎样理解波函数的意义，才能用其描述微观粒子的波粒二象性呢？1、历史上的不同观点： 有人认为波粒二象性中，粒子性是基本的，多个粒子形成 粒子流，各粒子间相互作用显示波动性。 有人认为粒子的波动性是

5、基本的，粒子性是由于不同频率的波叠加而形成的波包。二、波函数的意义 - 统计解释以上两种观点很快被实验所否定。经典物理机械波中，波函数表示t 时刻 x 处质点的位移。电磁波中，波函数表示t 时刻 x 处的B 或E 的值。9/23/202214 波函数及其统计解释 2、波函数的统计解释 1926年，玻恩提出了物质波是一种概率波的假设，给波函数以统计解释，圆满地将粒子的波粒二象性统一起来。为理解波函数的意义，先来看一看光的衍射现象。从波动性：条纹明暗反映波的强度 。 而波的强度与波函数的振 幅平方呈正比。从粒子性：光强大的明亮处表示单位 时间内到达该处的光子数 多；反之则少。对实物粒子 电子的衍射

6、，同样可做如上的解释。统计观点：光子到达亮处的概率大，而到达暗处的概率小；9/23/202214 波函数及其统计解释 由分析可得如下关系 ： 在某一时刻，粒子在空间某处的体积元dV 中出现的概率与该处波函数模的平方成正比。 1 ) 统计假设：称为粒子的概率密度。波函数的物理意义： 表示t 时刻，粒子在空间x 处的单位体积 内出现的概率。9/23/202214 波函数及其统计解释 2) 归一化条件：因为在整个空间发现粒子的总概率为100%，此式称为归一化条件。满足归一化条件的波函数称为归一化波函数。 根据波函数的物理意义可知，波函数一般应是单值、有限、 连续的函数，称为波函数的标准条件。3) 标

7、准条件：4) 概率波( 物质波 ) 与 经典波的区别： 波函数不表示某物理量在空间的波动 , 0 无实在意义， | | 2表示某时刻粒子出现在某处的概率密度。 德布罗意波是几率波，而经典波并不是几率波； 波函数都可以“归一化”，而经典波则无所谓“归一化”。9/23/202213 不确定关系 一、不确定关系的表述和含义 不确定关系，又称测不准关系，是海森堡在1927年首先提出的。它反映了微观粒子运动的基本规律，是物理学中一个极为重要的关系式，它包括多种表示形式，其一为 该式表明：当粒子被局限在x方向的一个有限范围内x时，它所对应的动量分量px必然有一个不完全确定的数值范围 px ，两者的乘积满足

8、上式；换句话说，假如位置完全确定（ x 0），那么粒子可以具有的动量px的数值就完全不确定 px 。 粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置和相应的动量。 9/23/202213 不确定关系 另一种形式为它表示：若一个粒子在能量状态E停留的时间为x ，那么这段时间内粒子的能量状态并非完全确定，它有一个弥散 ；只有当粒子停留的时间为无限长时（稳态），它的能量状态才是完全确定的（ E =0 ）。粒子在客观上不能同时具有确定的时间和相应的能量。9/23/202213 不确定关系 （1）测不准关系（否定态度），对于 ，有人认为不能同时测准粒子的坐标位置及其相应的动量。这样的说法很容易让人认为：似乎粒子本身具有确定的坐标和动量，知识由于测量仪器或测量技术的限制所造成的；但事实上坐标和动量的测不准是由微观粒子本身的特性所决定的，也就是说：（不确定关系揭示的是一条重要的物理规律）由于粒子的波动性，它在客观上不能同时具有确定的坐标位置位置和相应的动量。 关于不确定关系的两点说明： 9/23/202213 不确定关系 （2）由不确定关系使我们又一次看到了普朗克常数在微观领域中的重要作用。它给出了微观粒子的一对力学量之间不确定程度的范围。由于h