金典教案-辅助角公式 2

1、文档编码 : CO3W1Z5U2I4 HC3J10E4O8F7 ZM1Y8S7F7P5帮忙角公式asinbcosa2b2sin教学应留意的的几个问题在三角函数中, 有一种常见而重要的题型, 即化asinbcos为一个角的一个三角函数的形式,进而求原函数的周期、值域、单调区间等. 为了帮忙学生 记 忆 和 掌 握 这 种 题 型 的 解 答 方 法 ,教 师 们 总 结 出 公 式asinbcos=a2b2 sin或asinbcos=a2b2cos, 让同学在大量的训练和考试中加以记忆和活用. 但事与愿违 , 半个学期不到 , 大部分同学都忘了 , 老师不得不重推一遍. 到了高三一轮复习 , 再

2、次忘记, 老师仍得重推 . 本文旨在通过帮忙角公式的另一种自然的推导 , 表达一种解决问题的过程与方法 , 减轻同学的记忆负担 ; 同时说明“ 帮忙角” 的范畴和常见的取角方法 , 帮忙同学澄清一些熟识 ; 另外通过例子说明帮忙角公式的灵敏应用 , 优化解题过程与方法 ; 最终通过例子说明帮忙公式在实际中的应用 , 让同学把握帮忙角与原生角的范畴关系 , 以更好地把握和使用公式 . 一. 教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下1. 引例例 1 求证：3 sin +cos =2sin （+）=2cos（-）. 6 3其证法是从右往左开放证明 , 也可以从左往右“ 凑”, 使等式得到

3、证明 , 并得出结论 : 可见, 3 sin+cos可以化为一个角的三角函数形式. . 一般地 ,asin+bcos是否可以化为一个角的三角函数形式呢 2. 帮忙角公式的推导例 2 化asinbcos为一个角的一个三角函数的形式b. 2cos, 解: asin+bcos=a2b2aab2sin+a2b2 令a=cos,abb2=sin, a2b22就 asin=a2b2sincos+cossin+bcos=a2b2sin+, 其中 tan=b a 1 令 a =sin , b =cos , 就2 2 2 2a b a b2 2 2 2asin +bcos = a b sin sin +cos

4、cos = a b cos-, 其中 tan =a b其中 的大小可以由 sin、cos 的符号确定 的象限 , 再由 tan 的值求出. 或由 tan =b 和a,b 所在的象限来确定 . a推导之后 , 是配套的例题和大量的练习 . 但是这种推导方法有两个问题 : 一是为什么要令a b=cos , =sin .让同学费解 . 二是这种“ 规定” 式的推2 2 2 2a b a b导, 同学难记易忘、易错 . 二. 让帮忙角公式 a sin b cos = a 2b 2 sin 来得更自然能否让让帮忙角公式来得更自然些 .这是我多少年来始终摸索的问题 .2022年春 . 我又一次代 2022

5、 级同学时 , 最终想出一种与三角函数的定义连接又通俗易懂的教学推导方法 . 第一要说明,如 a=0 或 b=0 时,asinbcos已经是一个角的一个三角函数的形式,无需化简 . 故有 ab 0. 1. 在平面直角坐标系中 , 以 a为横坐标 ,b 为纵坐标描一点 Pa,b 如图 1 所示 ,2 2就总有一个角 , 它的终边经过点 P.设 OP=r,r= a b , 由三角函数的定义知sin =b = b , r a 2b 2cos = a a . r a 2b 22 2 2 2所以 asin +bcos = a b cos sin + a b sin cos= a 2b 2 sin . 其

6、中 tan =b a2. 如在平面直角坐标系中 , 以 b 为横坐标 , 以 a 为纵坐标可以描点 Pb,a,2 2如图 2 所示 , 就总有一个角 的终边经过点 Pb,a, 设 OP=r,就 r= a b . 由2 三角函数的定义知 sin=a r=a2ab2, P, 就OP cos=b r=abb2. 2 asin+bcos=a22 b sinsina2b2coscos=r= =a22 b cos. 其中 tan=a b 例 3 化3sincos为一个角的一个三角函数的形式. 解 : 在 坐 标 系 中 描 点P3 ,1,设 角的 终 边 过 点321 =2.sin 2=1 2,cos=3

7、. 23sin2cos=2cossin+2sincos=2sin.tan=3. 36k, 3sincos=2sin6. 经过多次的运用 , 同学们可以在老师的指导下, 总结出帮忙角公式aasin+bcos=a2b2a2sin+abb2cos=a2b22 sin2b, 其中 tan=b a. 或者aasin+bcos=a2b2a2sin+abb2cos=a2b22 cos2b, 其中 tan=a b 我 想 这 样 的 推 导 , 学 生 理 解 起 来 会 容 易 得 多 , 而 且 也 更 容 易 理 解asin+bcos凑成a2b2aab2sin+2 abb2cos 的道理 , 以2及为什

8、么只有两种形式的结果. 3 例 4 化sin3cos为一个角的一个三角函数的形式. 解 法 一 : 点 1,-3 在 第 四 象 限 .OP=2. 设 角过P 点 . 就sin3,cos1.满足条件的最小正角为225,52k,kZ.33coscossinsin3 cos21sin3cos2sin222sin2sin52k2sin5.33解 法 二 : 点P-3 ,1在 第 二 象 限 ,OP=2, 设 角过P点 . 就sin1,cos3.满足条件的最小正角为225,52k,kZ.66sincoscos sin3 cos21sin3cos2sin222cos2cos52 k2cos5.66三.

9、关于帮忙角的范畴问题由asinbcosa2b2sin中, 点 Pa,b 的位置可知 , 终边过点 Pa,b 的角可能有四种情形 第一象限、其次象限、第三象限、第四象限 . 设中意条件的最小正角为1, 就12k. 由诱导公式 一 知 其asinbcosa2b2sina2b2sin1中10,2 ,tan1b,1的具体位置由sin1与cos1准备,1的大a小由tan1b准备a4 类似地,asinbcosa2b2cos,的终边过点（,）,设中意条件的最小正角为2,就22k.由诱导公式有asinbcosa2b2cosa2b2cos2,其中20,2 ,tan2a,2的位置由sin2和cos2确定,2的大小

10、b由tan2a确定2；以后没有特别说明时,角1（或2）是所b留意：一般地,1求的帮忙角四关于帮忙角公式的灵敏应用引入帮忙角公式的主要目的是化简三角函数式在实际中结果是化为正弦仍是化为余弦要具体问题具体分析,仍有一个重要问题是,并不是每次都要化为asinbcosa2b2sin1的形式或asinbcosa2b2cos2的形式可以利用两角和与差的正、余弦公式灵敏处理例化以下三角函数式为一个角的一个三角函数的形式6（）3sincos；（）2sin36cos366（）3sincos23sin1cos解：222sincos6cossin62sin5 2 sin 6 cos 6 3 6 32 1 sin 3 cos （）3 2 3 2 32 sin cos cos sin 3 3 3 3 32 sin 2 3 3在本例第（）小题中,a 3,b 1,我们并没有取点（3 ,）,而取的是点 （3 ,）也就是说, 当 a 、b 中至少有一个是负值时 我们可以取（ a , b ）,或者（ b , a ）这样确定的角 1（或 2）是锐角,就更加便利例 6 已知向量acosx3,1,b