【高等代数试题】高代 I-2014 期末答案

1、北京大学数学科学学院期末试题参考答案2014 -2015学年第 1 学期考试科目 高等代数I 考试时间 2015 年 1 月 6 日一.（12分）已知 , 求矩阵X , 使得 A X A + X A = I .解: 由 ( A + I ) X A = I 得 X = ( A + I ) 1A1 = ( A ( A + I ) ) 1再由 得 .二.（12分）用成对的行列变换将二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 6 x2 x3化为规范型, 并写出所作的变量替换 X = C Y .解: f ( x1 , x2 , x3 ) =对 f 的矩阵成对的行

2、列变换 故f 的规范型为 y12 + y22 y32 , 所作的变量替换为 X = C Y , 其中 C = .注: 变量替换的矩阵C不唯一.三.（12分）设e 1 , e 2 , e 3 是三维欧氏空间R3的标准基. 设s是R3上以e 3为旋转轴将e 1变成e 2的旋转变换, t是以e 1为轴将e 3变成e 2的旋转变换. 1) 求复合变换s t 在标准基 e 1 , e 2 , e 3下的矩阵A .2) 证明s t也是一个旋转. 求s t的旋转轴与旋转角度.解: 1) 容易看出s e 1 e 2 e 3 = e 1 e 2 e 3 ,t e 1 e 2 e 3 = e 1 e 2 e 3

3、由于s t将e 1变成e 2 , 将e 2变成 e 3 , 将e 3变成 e 1 , 复合变换s t在 e 1 , e 2 , e 3下的矩阵为 A =.注: 矩阵A也可通过矩阵乘法求出A =.2) 线性变换s t把列向量X变为A X. 容易看出A是正交矩阵且 | A | = 1. 解齐次方程组 ( A I ) X = 0 , 得 , x 3为自由变量.故 a1 = 是A的特征向量, 特征值为 1.线性变换s t保持 点点不动, 将与a1正交的向量仍变成与a1 正交的向量. 故s t限制在上, 是2维欧氏子空间 到自身的行列式为1的正交变换, 这一定是绕原点的旋转. 在中取标准正交基 a2 ,

4、 a3 . 设 Aa 2 = cosq a 2 + sinq a 3 , 0 q 2p . 则有 Aa 3 = sinq a 2 + cosq a 3 . 于是 A a 1 a 2 a 3 = a 1 a 2 a 3 .由于相似的矩阵有相同的迹, 我们有 1 + 2cosq = tr A = 0 . 解得cosq = 1/2.故s t的旋转轴为直线 , 旋转角度为2p / 3 .四.（14分）设A , B是n级方阵, 且 A + B 与 A B都可逆. 证明: 分块矩阵可逆, 并求其逆矩阵. 解: 对以下分块矩阵做初等分块行变换 可推出可逆, 逆矩阵为.五.（24分）设二次型 f ( x1 ,

5、 x2 , x3 ) = 2 x1 x2 2 x1 x3 + 2 x2 x3 .(1) 将 f 写成 XT A X的形式, 并求实对称矩阵A的特征值与特征向量;(2) 求正交矩阵P及对角矩阵D , 使得A = P D PT ;(3) 求f在单位球面 x12 + x22 + x32 = 1的最大值, 并确定在何处取到.解: (1) A的特征值为l = 1 (二重), 2 .对l = 1解齐次方程组 ( A I ) X = 0 :通解为x1 = x2 - x3 , x2 、x3为自由变量. 解的向量形式于是1 =, 2 = 构成l = 1特征子空间的一组基.对l = -2解齐次方程组 ( A +

6、2 I ) X = 0 :通解为 x1 = x3 , x2 = - x3 , x3为自由变量. 解的向量形式:于是3 = 构成l = -2特征子空间的一组基.(2) 将1 =, 2 = 正交化:令 1 = 1 , 再单位化:将3 = 也单位化: 则g1 , g2 , g3 构成R3 的标准正交基, P = g1 g2 g3 = 为正交矩阵, 且 (3) 做正交替换X = P Y , f = X TA X = Y T P TA P Y = Y T D Y = y12 + y22 2 y32 . 由于P是正交矩阵, x12 + x22 + x32 = 1 当且仅当 y12 + y22 + y32

7、= 1.当 y12 + y22 + y32 = 1时, 有f = y12 + y22 2 y32 = ( y12 + y22 + y32 ) 3 y32 1等号成立当且仅当y3 = 0, 即X取l = 1特征子空间 中的单位特征向量时成立. 六.（10分）设1 , . , n 及 b1 , . , bn-1 都是非零实数. 证明: n级方阵 A = 有n个不同的实特征值. 证: 由于A是实对称矩阵, A可写成A = P D P1的形式, 其中P为可逆矩阵, D = 为实对角矩阵, l1 , ., l n为A的特征值. 若l1 , ., l n不互异, 不妨设有 l1 = l 2 , 则A l1

8、 I = = 由于b1 , . , bn-1 都非零, 左边矩阵有 n 1阶非零子式, 其秩 n 1, 而等号右边的矩阵秩 n 2 , 矛盾! 故A有n个不同的实特征值. 七.（16分）判断对错. 正确的请给出证明, 错误的请举出反例. 1) 若方阵A对某个正整数k有 Ak秩 = Ak +1秩, 则对任意整数m k, 都有 Am 秩 = Am +1 秩 . 正确. ( 2分）证: 考察两个矩阵Ak与Ak +1的列向量组. 由于 Ak +1 = Ak A , Ak的列组能线性表出Ak +1的列组. 又由题设, Ak秩 = Ak +1秩, 可推出 Ak +1的列组也能线性表出Ak的列组. 故存在矩

9、阵B, 使得 Ak = Ak +1 B . 于是, 对任意整数m k, 有Am = Am k Ak = Am k Ak +1 B= Am + 1 B . 即Am+1的列组能线性表出Am的列组, 于是 Am +1 秩 Am 秩.再结合Am+1 秩 Am 秩, 得 Am+1 秩 = Am 秩.2) 若A , B分别是m级与n级实对称矩阵, C是mn实矩阵, 且分块矩阵 半正定, 则一定存在矩阵P , 使得 A P = C .正确. ( 2分）提示: 研究此题时可先考察m = 1的情况.证: 首先注意到半正定矩阵的每个主子式都非负. 特别地, 若半正定矩阵的某个对角元为0, 则包含此对角元的行与列中的所有元素必须都等于0, 否则就会产生负的2阶主子式.由半正定可推出A半正定. 于是存在可逆实矩阵U , 使得U