2023届高考数学一轮练-专题12 离散型随机变量的数字特征（三）（解析版）

1、专题12 离散型随机变量的数字特征一、单选题1某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数的期望是ABCD【答案】B【分析】列出实验次数的分布列，根据数学期望的数学计算公式即可求解【解析】由题意可得，每次实验成功的概率为，则失败的概率为，则实验次数的分布列如下：所以此人实验次数的期望是故选B.2随机变量X的分布列如表，若E(X)=2，则D(X)=X124PABCD【答案】D【分析】根据随机分布列的性质以及数学期望可得出关于实数，的方程组，解出，的值，再利用方差公式可求出的值【解析】由分布列的性质以

2、及期望公式可得，解得，所以，故选D.3多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分若选项中有（其中）个选项符合题目要求，随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量（其中），则有ABCD【答案】B【分析】分别求出、时，再一一判断即可；【解析】当时，的可能情况为0，3，5选择的情况共有：种；，所以当时，的可能情况为0，3，5选择的情况共有：种；，所以当时，的可能情况为3，5选择的情况共有：种；，所以对于AB：，所以，故A错误，B正确；对于CD：，所以，故CD错误；故选B.4已知离散型随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，且，若的

3、数学期望，则A19B16CD【答案】A【解析】由题知，设，则，因此，解得，因此离散型随机变量的分布列如下：0123则，因此故选A5已知随机变量的分布列为设，则的数学期望的值是-101ABCD【答案】C【解析】由题意，根据分布列的性质，可得，解得，所以随机变量的期望为，又由，所以随机变量的期望为，故选C6已知随机变量满足，其中若，则ABCD【答案】B【分析】先求出分布列，即可根据和概率和为1求出，进而求出方差【解析】根据题意可得分布列如下：01，解得，解得，故选B7已知随机变量X的分布列如下：若随机变量Y满足，则Y的方差013ABCD【答案】D【分析】利用分布列的性质，求得，结合公式求得随机变量

4、的期望与方差，进而求得随机变量的方差，得到答案【解析】由分布列的性质，可得，解得，则，所以，因为，所以故选D8已知随机变量X的分布列如下：013若随机变量Y满足，则Y的方差ABCD【答案】D【分析】先根据离散型随机变量分布列概率和为“1”的性质求出的值，然后计算的期望值和方差，最后利用公式，则求出的值【解析】由题意可知，则，则，又，所以故选D【名师点睛】分布列的概率和为1，利用概率和为1先求出里面参数的值或关系9若随机变量X的分布列如下所示X1012P0.2ab0.3且E(X)0.8，则a、b的值分别是A0.4，0.1B0.1，0.4C0.3，0.2D0.2，0.3【答案】B【分析】由随机变量

5、X的分布列概率之和为1得到，再结合E(X)0.8求解【解析】由随机变量X的分布列得，所以，因为，解得，所以，故选B.10已知离散型随机变量的概率分布如下，则其数学期望1350.50.2A1B0.6C244D24【答案】D【解析】因为分布列中所有的概率之和等于1，所以随机变量的数学期望故选D11随机变量的分布列如表：若，则ABCD【答案】A【分析】根据随机分布列的性质以及数学期望可得出关于实数、的方程组，解出、的值，再利用方差公式可取得的值【解析】由分布列的性质以及期望公式可得，解得故选A12设，随机变量X的分布列是X012Pab则的取值范围是ABCD【答案】C【分析】利用分布列的性质求出，进而

6、求得，利用期望公式求得，从而可得答案【解析】由分布列的性质可得，且，可得，由，所以，因为，所以，故选C【名师点睛】求解一般的随机变量的期望的基本方法是先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望的公式计算注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解13已知实数，成等差数列，随机变量X的分布列是012当增大时A增大B减小C先增大后减小D先减小后增大【答案】B【分析】由等差数列及分布列的性质可得，再由期望的公式可得，即可得解【解析】因为实数，成等差数列，所以，又由分布列的性质可得，

7、所以，所以，所以所以当增大时，减小故选B【名师点睛】本题考查了等差数列、分布列性质的应用及数学期望的求解，考查了运算求解能力，属于基础题14某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望，则y的值为A0.1B0.2C0.3D0.4【答案】D【分析】利用概率之和等于，由分布列求出期望，列出方程组，解方程组即可【解析】由概率之和等于得，即，由可得，故选D【名师点睛】本题主要考查了概率的性质，考查了由分布列求数学期望，属于中档题15已知离散型随机变量的分布列为123缺失数据则随机变量的期望为ABCD【答案】C【分析】利用分布列的性质求出缺失数据，然后求解期望即可【解析】由分布

8、列的概率的和为1，可得缺失数据：所以随机变量的期望为故选【名师点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的性质以及期望的求法，属于基础题16已知，随机变量的分布列如下：0当取最大值时，A1BC3D【答案】A【分析】解法一：由分布列的性质得，进而得，再根据基本不等式即可得，当且仅当时取等号，再根据方程公式计算即可得答案解法二：由分布列的性质得，进而得，令，根据三角换元得，当且仅当，即时取等号，再求随机变量的分布列，进而根据公式计算即可【解析】解法一：根据随机变量分布列的性质，得，所以，所以，当且仅当时取等号，此时随机变量的分布列为0所以故选A解法二：根据随机变量分布列的性质，得，所以，所以令，则，所以

9、，当且仅当，即时取等号，此时随机变量的分布列为028故，所以故选A【名师点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布列，期望，方程的求解，考查运算求解能力，是中档题值得指出的是在求解与离散型随机变量的数学期望和方差有关的问题时，考生若能熟练掌握公式，能大大降低运算量，起到事半功倍的效果17已知随机变量的分布列如下：12Pnm则的最大值ABCD【答案】C【分析】先根据概率分布列性质得，进而求得，再根据方差的计算公式得，最后结合二次函数性质即可得答案【解析】有题得，即，所以，故，因为，故，所以由二次函数性质得，当，的最大值故选C【名师点睛】本题考查概率分布列的期望，方差等求解，解题的关键是计算出，进而根

10、据二次函数性质求解考查运算求解能力，是中档题18设，若随机变量的分布列如下：02Pa则下列方差值中最大的是ABCD【答案】C【分析】由概率分布列求出参数，然后求出均值和方差再比较【解析】由题意，其中最大故选C【名师点睛】求随机变量的期望和方差的基本方法如下：（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算19已知随机变量的分布列如下表，若，则的最小值等于ABCD【答案】A【分析】根据

11、分布列的性质可得，由可得出，再由二次函数的基本性质可求得的最小值【解析】由分布列的性质可得，所以，则，因此，的最小值为故选A【名师点睛】本题考查利用随机分布列的性质解题，同时也考查了方差最值的计算，考查计算能力，属于中等题20已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c3，2，1，0，1，2，3，在这些抛物线中，记随机变量“|ab|的取值”，则的数学期望E()为ABCD【答案】A【解析】由于对称轴在轴左侧，故，故同号，基本事件有的可能性有三种，故期望值为故选二、多选题1设离散型随机变量的分布列如下表：123450.10.20.3若离散型随机变量，且，则ABCD【答案】B

12、C【分析】先由可得，再由概率和为1得，从而可求出的值，再利用期望和方差公式求，即可，从而可得答案【解析】由得，又由得，从而得，故A选项错误，B选项正确；，故C选项正确；因为，所以，故D选项错误，故选BC2已知X的分布列为X101Pa则下列说法正确的有AP(X0)BE(X)CD(X)DP(X1)【答案】ABD【分析】根据概率分布列求得参数，然后计算出期望、方差，及概率判断各选项【解析】由分布列的性质可知1，即a所以P(X0)，故A正确；E(X)，故B正确；D(X)，故C错误；P(X1)P(X0)P(X1)，故D正确故选ABD3已知，分别从集合，中各随机取一个数，得到平面上一个点，事件“点恰好落在

13、直线上”对应的随机变量为，的数学期望和方差分别为，则ABCD【答案】BCD【分析】由已知得X的值可以为2，3，4，5，6；而从A、B中分别任取1个数，共有9种情况，分别可求得随机变量取每一值所得的概率，再运用期望和方差的计算公式，可判断得选项【解析】因为，点恰好落在直线上，所以X的值可以为2，3，4，5，6；而从A、B中分别任取1个数，共有9种情况，所以，对于A：，故A不正确；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D正确；故选BCD4一盒中有8个乒乓球，其中6个未使用过，2个已使用过现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是AX的所

14、有可能取值是3，4，5BX最有可能的取值是5CX等于3的概率为DX的数学期望是【答案】ACD【分析】记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B，任取3个球的所有可能是1A2B，2A1B，3A；A使用后成为B，故X的所有可能取值是3，4，5，然后求出其对应的概率，从而可求出数学期望，进而可得结果【解析】记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B，任取3个球的所有可能是1A2B，2A1B，3A；A使用后成为B，故X的所有可能取值是3，4，5；，又X最有可能的取值是4，故选ACD【名师点睛】此题考查离散型随机变量的概率和数学期望的求法，属于基础题5设随机变量的分布列为，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论

15、正确的是ABCD【答案】ABC【分析】利用分布列的性质求，而，根据期望、方差公式即可求、，进而可确定选项的正误【解析】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，解得，所以，A选项正确；，即有，B选项正确；，C选项正确，D选项不正确故选ABC【名师点睛】本题考查随机变量的分布列及其数学期望和方差的计算，考查运算求解能力数学运算核心素养三、填空题1已知的分布列如下表，若，则=_123P【答案】【分析】先根据分布列的性质求出，再求，进一步就可求出【解析】由分布列的性质有，得，从而，所以故答案为2若，则_【答案】【分析】根据两点分布概率可求得，根据数学期望的性质可求得结果【解析】由题意得，故答案为【

16、名师点睛】本题考查数学期望的性质应用，关键是明确，属于基础题3随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，若，则的值是_x-101pabc【答案】5【分析】由条件求出，然后算出，然后可得【解析】a，b，c成等差数列，又，且，联立以上三式解得，则，故答案为54从一副扑克牌中挑10张，其中2张红桃，8张黑桃现从这10张扑克牌中随机抽取3张，则抽取的3张扑克牌中红桃的个数的数学期望为_【答案】【分析】先根据题意得到的所有可能取值，并求出取每个值的概率，再利用数学期望的计算公式求数学期望即可【解析】由题意可知的所有可能取值为0，1，2，所以的分布列为012所以，故答案为5已知随机变量X的分布列如

17、下：013若随机变量Y满足，则Y的方差_【答案】9【分析】先根据分布列的性质，即概率和为1，求出的值，再分别计算出的数学期望与方差，然后根据，利用即可求出【解析】由分布列的性质可知，所以，所以数学期望，方差，因为，所以，故答案为96已知X的分布列如图所示，则（1），（2），（3），其中正确的个数为_X-101P0.20.3a【答案】1【分析】由分布列的性质，求得，再结合期望与方差的公式，即可求解【解析】由分布列的性质，可得，即，所以，综上可得（1）正确，（2）（3）错误，所以正确的个数是1故答案为17已知离散型随机变量的概率分布如下：则_【答案】【分析】由可求得的值，再利用随机变量的数学期望公

18、式可求得的值【解析】由随机变量分布列的性质可得，可得，因此，故答案为8已知离散型随机变量的取值为0，1，2，且，；若，则_【答案】【分析】根据概率的性质和分布列均值解出，再利用方差公式求解【解析】由题意知，解得，所以故答案为【名师点睛】本题主要考查离散型随机变量的均值与方差的计算，还考查了运算求解的运算能力，属于基础题9随机变量的分布列如下表：012其中，成等差数列，若，则的值是_【答案】【分析】利用概率分布列的性质、期望公式、等比数列的性质求出x，y，z，然后由方差公式求解【解析】因为，因为，成等差数列，所以所以，因为，所以所以，故答案为【名师点睛】本题主要考查概率分布列的性质数学期望以及等

19、差数列的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题10设随机变量的分布列为，为常数，则_【答案】3【分析】根据，由解得a，再利用期望公式结合性质求解【解析】因为，所以，所以，故故答案为3【名师点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望及其性质，属于基础题11一个口袋中有7个大小相同的球，其中红球3个，黄球2个，绿球2个现从该口袋中任取3个球，设取出红球的个数为，则_【答案】【分析】先确定随机变量的取值，再分别计算对应的概率，最后利用期望的计算公式即得结果【解析】依题意，设取出红球的个数为，则，而口袋中有红球3个，其他球4个，故，故故答案为【名师点睛】求离散型随机变量的期望的步骤：（1）先确定随机变

20、量的取值；（2）再计算每个变量所对应的概率；（3）利用公式，计算得到期望即可12随机变量的概率分布满足，则_【答案】【解析】由题意可得，则倒序：，故，则故答案为13游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为，停在不同区域的概率为，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为，若开始时指针停在红色区域，则_【答案】【解析】该游客转动指针三次的结果的树形图如下：则的分布列如下：0123故故答案为【名师点睛】本题考查概率的计算，随机变量的分布列和数学期望，解答的关键是画出树形图14已知随机变量的

21、概率分布为，则_【答案】【分析】根据概率之和为1求得a，再分别求得，然后再利用期望和方差公式求解【解析】因为，所以，解得，所以，所以，故答案为.【名师点睛】本题主要考查随机变量的概率分布与期望和方差，还考查了运算求解的能力，属于中档题15对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题记X为解出该题的人数，则E(X)_【答案】【解析】，所以【名师点睛】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：（1）明确随机变量可能取哪些值（2）结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值（3）根据分布列和期望、方差公式求解注意：解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使

22、用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题四、双空题1一个盒子里有1个红1个绿4个黄六个相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为X（1）若取球过程是无放回的，则事件“”的概率为_；（2）若取球过程是有放回的，则_【答案】2【分析】（1）无放回取球时，利用组合计数求得总的取法数和其中黄球个数为2个的取法数，进而求得概率；（2）可以得到X服从二项分布，利用计算即可【解析】（1）无放回取球时，6个球任取三个，有种不同的取法，其中黄球个数为2个的取法有，故；（2）有放回取球时，每次取到黄球的概率都是，取到黄球的次数X服从二项分布，取到黄球的个数的期望值为，故答案为（1）；（2

23、）2【名师点睛】本题考查无放回取球和有放回取球的概率和概率分布的期望问题，利用组合计数可以求得（1），利用二项分布的期望公式可以得到（2）的结论2已知随机变量的分布列为（），其中为实常数，则_，_【答案】【分析】利用分布列的性质求得，进而求得，得到，最后利用数学期望的相关公式求解即可【解析】，由，即，得，则，所以，即故答案为，3某学校为普及垃圾分类知识，增强学生的垃圾分类意识，在全校范围内举办垃圾分类知识竞赛通过选拔，仅有甲、乙两名选手进入决赛决赛采用积分制，规则为抢答3道题，每题10分，答对得10分，答错自己不得分，对方得10分选手是否抢到试题是等可能的，且回答对错互不影响，得分高的获胜已知

24、甲、乙两名选手答对每道题的概率分别为，记甲选手的得分为（单位：分），则_，_【答案】 20 【分析】通过题意分析出的所有可能取值，分别求出每个取值对应的概率，再利用数学期望的计算公式求解即可【解析】由题意知，记“一次答题中甲选手得分”为事件，而事件包含甲抢到并答对和乙抢到并答错两种情况，故，则，故【名师点睛】本题关键在求出“一次答题中甲选手得分”的概率，再根据离散型随机变量的分布列的相关知识解题4某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个

25、数，若，_；若，则随机变量X的期望_【答案】【分析】根据独立事件的概率公式知，结合已知即可求p的值，写出时随机变量X分布列，根据随机变量X的分布列，求期望【解析】由题意知且，解得，若时，随机变量X分布列，如下：X0123P(X)所以，故答案为，【名师点睛】应用独立事件的概率公式求参数，以及利用随机变量分布列求期望5某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是_；记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的数学期望_【答案】【分析】先求出从9个球中任取3个球的方法数，再求出取出的3个球的标号之和能被3整除的方法数，最后利用古

26、典概型的概率计算公式即可求概率；先求出的所有可能取值，再求出，最后利用数学期望的计算公式求数学期望即可【解析】从9个球中任取3个球有种不同的方法，1-9中能被3整除的有3，6，9，除3余1的有1，4，7，除3余2的有2，5，8，故将1-9划分为以上三类，显然来自同一类的三个数和为3的倍数，每个类别抽1个的三个数和也为3的倍数（其余数为0+1+2=3为3的倍数），所以在其中取出的3个球的标号之和能被3整除的情况有种，所以取出的3个球的标号之和能被3整除的概率由题意知的所有可能取值为0，1，2，取出的3个球的标号之和被3除余1的情况有：标号被3除余数为1的球1个和标号被3整除的球2个；标号被3除余

27、数为1的球2个和标号被3除余数为2的球1个；标号被3除余数为2的球2个和标号被3整除的球1个则取出的3个球的标号之和被3除余2的情况有：标号被3除余数为1的球2个和标号被3整除的球1个；标号被3除余数为1的球1个和标号被3除余数为2的球2个；标号被3除余数为2的球1个和标号被3整除的球2个，则，所以故答案为；【名师点睛】本题是应用性题目，属于生活实践情境，以球的抽取为背景考查排列组合、古典概型、离散型随机变量的数学期望等知识考查了学生逻辑思维能力、数据处理能力五、解答题1甲乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率为外，其余每局甲队获胜的概率都是，假设

28、每局比赛结果相互独立（1）求甲队分别以获胜的概率；（2）若比赛结果为，胜方得3分，对方得0分，比赛结果为，胜方得3分，对方得1分，比赛结果为，胜方得3分，对方得2分，求甲队得分的分布列和数学期望【答案】（1）甲队分别以获胜的概率分别为；（2）分布列见解析；期望为【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）由题意知，随机变量的所有可能的取值，根据事件的互斥性计算概率值，从而写出的分布列，求出所对应的数学期望【解析】（1）甲乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，记“甲队以获胜”为事件，记“甲队以获胜”为事件，所以甲队分别以获胜的概率分别为（2）若甲队得3分，则甲胜，结果可以

29、为，若甲队得0分，1分，2分，则甲败，结果可以为，设甲队得分为则的可能取值为0、1、2、3，的分布列为0123甲队得分的数学期望.2从2020年1月起，我国爆发了以武汉为中心的新型冠状病毒肺炎疫情，湖北某市疫情监控机构统计了2月10日到15日每天新增病例的情况，统计数据如表（1）所示，其中2月11日这一天的25人中有男性15人，女性10人2月日101112131415新增病例人232526292831（1）工作人员根据疫情监控需要，对2月11日这一天的25人按性别分层抽取5人，再从这5人中抽取2人了解病毒传染情况，求抽取的这2人中至少有1名女性的概率；（2）2月10，11日这两天的48人中，最

30、多经过三个阶段的治疗都痊愈出院了，其中病症轻微的无需治疗仅凭自身免疫能力就能痊愈医院整理了48人各自经历的治疗次数，数据如表（2），以这48人治疗次数的频率代替1人治疗次数发生的概率从全省的新型冠状病毒肺炎患者中随机抽取2名患者，用表示抽取的2名总共需要的治疗次数，求治疗次数的分布列及数学期望治疗次数0123人数241284【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）由分层抽样和古典概型的概率公式，即可求出结果（2）设为治疗次数，求出治疗次数的概率，列出所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，根据相互独立事件发生的概率公式，求出概率，列出分布列，求出期望【解析】（1）由

31、题意知2月11日这一天新增的25人中有男性15人，女性10人，按性别分层抽取5名，则男性被抽取的人数为人，女性被抽取的人数为人，记3名男性分别为，2名女性为，则从这5人中抽取2人的情况有，一共10种情况2人中至少有1名女性的情况共有7种，设2人中至少有1名女性为事件A，则（2）设为治疗次数，则，所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，X0123456P所以3甲乙丙三名同学高考结束之后，一起报名参加了驾照考试，在科目一考试中，甲通过的概率为，甲乙丙三人都通过的概率为，甲乙丙三人都没通过的概率为，且在平时的训练中可以看出乙通过考试的概率比丙大（1）求乙，丙两人各自通过考试的概率；（2）令甲乙丙

32、三人中通过科目二考试的人数为随机变量，求的分布列及数学期望【答案】（1）乙：，丙：；（2）分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）设甲乙丙三人分别通过科目二考试的概率为，由题意得，解方程组可得结果；（2）由题意，随机变量的可能取值为，然后求出对应的概率，可列出分布列，进而可求出数学期望【解析】（1）设甲乙丙三人分别通过科目二考试的概率为，由题可知，解得，或，由于乙通过考试的概率比丙大，（2）由题意，随机变量的可能取值为，则，的分布列为.4甲，乙，丙三人组建团队参加学校元旦游园活动中的投篮比赛，比赛规则：按照甲乙丙的顺序进行投篮，每人至多投篮两次；选手投篮时，如果第一次投中，记1分，并再投篮一

33、次，若第二次命中，则再记2分，第二次没有命中，则记0分；如果第一次没有投中，记0分，换下一个选手进行投篮甲乙丙投篮的命中率分别为0.6，0.5，0.7（1）求甲乙丙三人一共投篮5次的概率；（2）设甲乙丙三人得分总和，若，则该团队无奖品；若，则该团队获得20元的奖品；若，则该团队获得50元的奖品；若，则该团队获得200元的奖品求该团队获得奖品价值的期望【答案】（1）0.44；（2）【分析】（1）分别求得有一人第一次没有投中的概率，再对所求的概率求和可得答案；（2）甲，乙，丙三人得分总和的取值为0，1，2，3，4，5，6，7，9分别求得，根据期望公式可求得答案【解析】（1）记“甲第一次投篮命中”为，“甲第二次投篮命中”为，“乙第一次投篮命中”为，“乙