三角形三条高线交于一点证明剖析

1、三角形三条高线交于一点的证明证法一：运用同一法证三条高两两订交的交点是同一点。已知：ABC的两条高BE、CF订交于点O，第三条高AD交高BD于点Q，交高CF于点P。求证：P、Q、O三点重合证明：如图，BEAC，CFABAEB=AFC=90又BAE=CAFABEACFABAE，ACAFAFEPOQBDC即ABAF=ACAE又ADBCAEQADC，AFPADBAEAD，AFAPADAQADAB即ACAE=ADAQ，ABAF=ADAPABAF=ACAE，ACAE=ADAQ，ABAF=ADAPADAQ=ADAPAQ=AP点Q、P都在线段AD上点Q、P重合AD与BE、AD与CF交于同一点两条不平行的直线

2、只有一个交点BE与CF也交于此点点Q、P、O重合。1证法二：连结一极点和两高交点的线垂直于第三边，运用四点共圆性质。已知：ABC的两条高AD、BE订交于点O，第三条高CF交高AB于点F，连结CO交AB于点F。求证：CFAB。证明:ADBC于D，BEAC于EA、B、D、E四点共圆1ABEAEFO同理212ABE123BDCABE+BAC90，2+BAC90即CFAB。注：证法一和证法二是证明共点线的常用方法。2证法三：证明两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明。证明：如图6，以直线BC为x轴，高AD为y轴，建立直角坐标系，设A(0,a),B(b,0),C(c,0),由两条直线

3、垂直的条件kBE1c,kCF1bykACakABa则三条高的直线方程分别为：AD：x0(1)BE：yc(xb)(2)aCF：yb(xc)(3)aAFEDBOCx解（2）和（3）得c(xb)b(xc),(bc)x0aabc(b0,c0)x0这说明BE和CF得交点在AD上，所以三角形的三条高订交于一点。注：有时考虑直角坐标系这一有力的数形结合工具可以有效地解决问题。证法四：转变成证明另一个三角形的三条中垂线（或中线）交于一点。已知：AD、BE、CF是ABC的三条高。求证：AD、BE、CF订交于一点。证明：过点A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线ML、MN、NLAMBC，MBAC四边形AMBC是

4、平行四边形AMBCAMLE同理，ALBCFAMALBCDADMLAD是ML的垂直均分线N同理，BE、CF分别是MN、NL的垂直均分线3而三角形的三条垂直均分线订交于一点AD、BE、CF订交于一点。注：三角形的三条中线（可中垂线、角均分线）订交于一点，这事实学生容易理解，也不难证明，把证明三角形的三条垂线订交于一点的问题转变成另一三角形的三条中线（中垂线）订交于一点，这种化陌生为熟悉、化难为易的转变方法必定让学生理解掌握。证法五：运用锡瓦（Ceva）定理证明。已知：AD、BE、CF是ABC的三条高。求证：AD、BE、CF订交于一点。证明：如图，ADBC于E，BEAC于EABDCBFBDAB（1）BFCBAFEOBDC同理，由ADCBEC得CECB，（2）CDCA由AFCAEBAFAC（3）AEAB三式相乘得BDCEAFABCBAC1BFCDAECBCAAB即BDCEAF1DCEAFBAD、BE、CF订交于一点。注：锡瓦定理是证明共点线的有力工具，诚然中学不作要求，但对于学有余力的学生不如引导他们自己研究，激发他们的学习兴趣。锡瓦定理可以用梅涅劳（Mene