金融中的数学分析方法

1、金融中的数学分析方法陈 勇一、金融与数学 金融学是一门年轻的学科，最早起源于西方的会计学和法律。二十世纪七十年代以来逐渐发展成为一门相对独立的学科，具有特定的研究对象、研究方法和研究思路。一、金融与数学资产组合理论与资本资产定价模型基本假设：投资者是风险厌恶的。数学方法：概率论、均值方差理论期权定价模型基本假设：投资者是风险中性的。数学方法：布朗运动、伊藤公式、 随机偏微分方程一、金融与数学美式期权定价与复杂期权基本假设：投资者是风险中性的。数学方法：计算机技术（Rocket Science)、 蒙特卡洛模拟、数值分析、人工智能（遗传算法）、鞅、测度理论。一、金融与数学信息理论：基本假设：市场

2、价格能反映所有的信息； 价格波动符合随机游走假设。数学方法：时间序列数据分析、人工智能 （神经网络技术）、概率理论、 小波分析。一、金融与数学时间序列分析跨时序分析与经济建模计算机金融二、时间序列分析时间序列的平稳性时间序列的自相关性时间序列的异方差现象二、时间序列分析以下是我国1986年至2005年的国民生产总值和人口数，回归结果为：GDP=-74.15+6.7AP。回归合理吗？怎么解决？二、时间序列分析实际上，GDP、AP都是随时间递增的，都不是平稳的时间序列数据，因此导致了伪回归。二、时间序列分析平稳时间序列：二、时间序列分析 平稳时间序列：均值不随时间变化而变化的数据。 实际生活当中，

3、平稳时间序列是很少见的。如果对具有共同趋势的非平稳时间序列采用经典的回归分析方法来进行分析，就会产生伪回归，亦即不存在的、虚假的关系。比如，用你的年龄与我国的GDP回归。二、时间序列分析解决办法：一阶差分、二阶差分或三阶差分， 或考察两者的增长率的关系。二、时间序列分析结论：我国GDP与人口数都随时间递增，但两者的增长率与时间没有显著的线性关系。二、时间序列分析以下是一只股票A的收益率，你能找出它的波动规律并决定在适当的时候买入和卖出吗？二、时间序列分析 股票A的收益率服从以零为期望值、方差为1的正态分布。由于在每一个时间段的期望值、方差点不变，因此是平稳过程。 二、时间序列分析时间序列相关的

4、类型分为：自回归过程(AR)移动平均过程(MA) 二、时间序列分析当p=1且Alpha=1时，自回归过程AR就服从布朗运动。二、时间序列分析自相关过程p=1，Alpha=1 （布朗运动）。二、时间序列分析移动平均过程(MA)：加入移动平均趋势的一阶自相关过程。二、时间序列分析自相关移动平均过程ARIMA（1，0，1）：二、时间序列分析同方差的时间序列：二、时间序列分析异方差的时间序列数据ARCH(3)：二、时间序列分析时间序列的平稳性：时间序列的自相关性： AR时间序列的异方差现象：ARCH三、跨时序分析与经济建模跨时序分析(Inter-temporal Model) -消费者效用最大化的跨时

5、序列分析 定义1：效用是指个人通过消费商品获得的满足程度, 是所消费商品量的函数，即三、消费者效用跨时序分析假设1：消费函数是一个递增的凹函数，即UC三、消费者效用跨时序分析我们考察两个时期内个人的消费决策问题。设个人在第1期和第2期消费的商品分别为 和 ，则个人得到的效用为：其中Beta是个人偏好贴现因子，且 三、消费者效用跨时序分析设个人在第1期和第2期的收入水平分别为 、 ，r表示第1期资本市场的借贷利率，则个人的消费预算必须满足以下约束条件： 三、消费者效用跨时序分析个人的消费行为可以表示为： 三、消费者效用跨时序分析当上式取等号时（假设个人的寿命为2）。个人效用最大化行为必须满足一阶

6、条件（Euler Equilibrium)：四、计算机金融确定性过程 随机过程可微分不可微分四、计算机金融确定性函数四、计算机金融布朗运动四、计算机金融从概率论到测度论从正态分布到布朗运动计算 随机计算 微分 Ito 微分 积分 Ito 积分概率统计 随机过程 密度分布 测度 概率 对应概率 四、计算机金融布朗运动性质、伊藤公式马尔珂夫链和鞅过程（Martingale）四、计算机金融布莱克斯克尔斯期权定价公式从二叉树模型到布莱克斯克尔斯公式无套利均衡模型条件期望模型四、计算机金融二叉树模型美式期权与自由边界问题二叉树模型Binomial model VS Black-Scholes model

7、 四、计算机金融蒙特卡洛模拟 有限差分法 Idea: Idea:产生伪随机数 泰勒公式近似地 表示微分项 四、计算机金融蒙特卡洛模拟(Monte Carlo Simulation)四、计算机金融蒙特卡洛模拟(Monte-Carlo Simulation)蒙特卡洛模拟的算法及其实现Monte Carlo VS Black-Scholes model蒙特卡洛减方差技巧的算法及其实现基于LSM的美式期权定价方法四、计算机金融有限差分法 显性法：Crank-Nicholson算法 隐性法：Alternative Direction Implicit Scheme算法五、集合1.集合的运算2.集合及其扩

8、展序列、映射、数域六、矩阵及其运算1.矩阵及其运算矩阵的运算矩阵的秩、矩阵的逆、正定矩阵七、概率无条件概率与条件概率联合概率七、概率期望与方差七、概率协相关与相关系数七、概率练习1. 如果硬币的正面=2，反面=10，同时掷两个硬币，硬币点数的和的方差是多少？练习2. 未来的经济可以分为三种状态，以下是A、B两支股票的收益率，计算它们的协方差。事件事件发生的概率经济膨胀0.30.200.30正常0.50.120.10经济衰退0.20.050.00七、概率贝叶斯公式七、概率已知：P(Iu)=0.3, P(Id)=0.7, P(Ru|Iu)=0.6,P(Ru|Id)=0.4。求P（Iu|Ru)IIuIdRuRdRuRd八、概率分布二项式分布期望值与方差、