信号处理第二章现代谱分析

1、第二章 现代谱分析本章主要内容一、概述二、ARMA谱分析(Auto-Regressive Moving Average Model) 自回归滑动平均模型1 ARMA模型2 ARMA模型的功率谱估计3 AR模型谱的性质4 AR模型的建立本章主要内容三、其他形式谱分析1 最大熵谱2 最大似然谱3 特征分解法 直接法（周期图法）经典谱分析 主要缺点：分辨率低，方差性能不好 （非参数化方法） 间接法（自相关法）谱分析（功率谱） ARMA谱分析 最大熵谱估计现代谱分析 最大似然谱估计 Pisarenko法（参数化方法） 特征分解法Prony法 MUSIC法经典谱分析法不足的主要原因方差性能差：不能求取定

2、义中的均值和极限值；分辨率低：计算数据（包括自相关函数）以外的值为零现代谱分析方法改善谱分析的性能代表的主要方法：ARMA谱分析2.1 ARMA模型ARMA模型定义 设x(n) 平稳、正态、零均值随机序列 式中 特例 (1)当称为AR模型 AR(n)比较简单，建模方便，工程运用广泛(2)当称为MA模型 MA(n)例 AR(1) 一阶AR模型 AR(5) 五阶AR模型 ARMA(3,2)从系统角度看系统输入 - 白噪声系统输出 h(n) - 系统单位抽样响应ARMA模型就是离散系统的一般差分方程对两式作 Z 变换，可得：（并假定 ）式中系统的差分方程，Z变换得到的系统模型：系统函数H(z)是输入

3、、输出等价原则ARMA模型：输出等价原则基于x(n)建立，没有利用系统输入的任何信息本质上它是将白噪声u(n)视为输入ARMA模型的适用范围要广泛得多对于ARMA(p,q)模型，用系统函数来表示可以证明，H(z)可以表示为 -一个有限阶的ARMA(p,q)模型无限高阶的AR()模型实用中一般采用足够高阶的AR模型来取代ARMA模型，以避免估计ARMA模型参数的困难。同样可证: -此外从系统的零极点分布上看AR(n)-全极点模型IIRMA(n) - 零点模型FIRARMA(p,q)-零极点模型IIR2.2 ARMA模型功率谱估计由随机信号的功率谱估计： 和白噪声有x(n)的功率谱:式中分别为AR

4、MA的模型参数 特别的，对AR模型 - AR谱 MA谱：离散谱：02等间隔抽样N点AR(n):如用 代入： FFT计算只要求出AR模型参数 ，k=1,2,n， 就可以求出x(n)的AR谱。2.3 AR模型谱的性质AR模型的谱要比经典法的谱平滑，这是由于AR模型具有滤波意义1、白化过程2、x(n)=-a1x(n-1)-a2x(n-2)-+(n) 白噪声3、a1, a2, ap实际：AR谱的分辨率经典法：抽样间隔，数据长度N，则频率分辨率:而AR的分辨率可以不受此限制，这是因为对给定的数据xN(n),n=0,1,N-1，虽然求模型参数时需估计出的自相关函数也是有限的，即m=-(N-1) (N-1)

5、，但实质上隐含着数据和自相关函数的外推，使其可能的长度超过给定的长度。AR谱实际上对应的是一个无穷长的自相关函数，若记为Ra(m)即由外推产生的自相关函数Ra(m)与真实的自相关函数Rx(m)有以下关系：经典法谱估计的自相关法:它是把|m|N-1以外的自相关函数都视为零，其分辨率当然不可避免地要受到窗函数宽度的限制。AR模型谱对应的自相关函数：在|m|p后并不等于零，它可以有上式外推，因此还避免了窗函数的影响。这就是AR模型谱的分辨率高的一个主要原因。AR谱的匹配性质对于x(n) n=0,1,功率谱：AR谱：Rx(m)与Ra(m)的关系由前面给出。若增大AR模型的阶数p，则等效的增加了Ra(m

6、)中和Rx(m)相等的部分，这样表示谱意义上的匹配，而非时域上的匹配。 估计值AR模型所对应的H(z)是一个全极点模型易于表示谱峰不易表现谱谷因此在整频率范围内， 所表示的峰点要比所表示的谷点的精度(准确性)要好。AR谱的统计特征AR谱的方差反比与数据x(n)的长度N和信噪比SNR。AR谱的不足与模型本身有关与求解方法有关(建模算法)2.4 AR模型的建立建模 - 求解模型参数：由于ARMA和MA模型建模涉及到非线性方程，而AR模型建立相对简单，且可用,工程应用中一般采用AR模型。信号的预处理：采样：满足Naquist定理，数据长度应考虑频率分辨率数据特性的检验:)平稳性检验(有趋势项时应提取

7、); 均值、相关系数)正态性检验 三阶矩 四阶矩)零均值)标准化 最小二乘法 直接法 基于自相关函数的最小二乘法 解Yale-Walker U-C法AR模型参数估计方法 Levinson法 参数递推法 Burg法 Marple法 递推法 LUD法 矩阵递推法 BSMF发本课程介绍：最小二乘法基于自相关函数的最小二乘法解Yale-Walker法Levinson法模型的适用性检验AR(p)模型 数据x(1),x(2),x(N) Np由于只要求出 ai 就可由上式估计出 ，因此建模求： ai ，(i=1,2,3p) 最小二乘法 将序列x(n)直接代入AR模型，得下列方程组注：数据x(n)N个；模型参

8、数ai为p个，通常Np 用矩阵表示参数矩阵A的最小二乘估计为特点：算法简单，估计精度高，但计算量(次数)与NP2成正比。模型阶数P增高时，运算量急剧增加。基于自相关系数的最小二乘法对两边乘以 x(n-k) 并取均值，得: Eu(n)x(n-k)=0令 有分别令k=1,2,m,并注意R(-k)=R(k)=(-k)= (k)可得线性方程组:写成矩阵形式：A同前，用最小二乘法： - 不是由数据x(n)构成，而是由自相关系数 构成主要特点： 不易出病态，即矩阵中元素的绝对值可能相差悬殊。x(n)多次使用 (k),信息提取充分，数据利用率高。若上述方法中，取k=1,2,p，即方程个数等于参数个数，则=T

9、A - Yale-Walker方程T为P阶方阵，称为Toeplitz矩阵可方便求出A: 特点：算法简单，运算量小，但是精度低模型的适用性检验从理论上来说，ARMA模型成立的根本条件是(n)为白噪声。模型适用性的最根本的检验准则：检验(n)是否为白噪声实际检验中，往往得到的不是真值，只是估计值，与真值偏离往往很大，影响准确性，因此在实际应用中发展了一系列准则以检验模型的适用性。自相关系数准则计算(n)的自相关系数：满足上式，模型适合 - 白噪声准则残差平方和检验准则比较，的变化大小来判断模型是否合适。信息准则) )最小值 对应的) p 三、其他形式的谱分析1、最大熵谱(Maximum Entro

10、py Spectrum)最大熵谱是Burg与1967年提出熵的概念最大熵谱估计与AR谱关系设信源是由属于集合X=x1,x2,xM的M个事件所组成。信源产生事件xj的概率为P(xj),则定义在集合X中事件xj的信息量为: （单位nat）定义整个信源M个事件的平均信息量为：则称H(X)为信源X的熵熵的下界 - 对应于没有任何不确定性 上界 -对应于最大的不确定性若信源X是一个连续随机变量，其概率密度p(x)是连续函数。则熵定义为：与信源X熵的定义类似，定义随机信号X的功率谱 的熵为：可以证明H(x)正比于 ， 达到最大= H(x)最大使 达到最大的功率谱就称为最大熵谱Burg的最大熵谱法：求功率谱 ，使 在约束条件：下，利于Lagrange乘子法，使 最大。得到最大熵功率谱 ，即：式中 , a1, a2, ap 就是AR(p)模型参数上式表示：AR谱就是最大熵谱（对于高斯随机信号）2、最大似然谱也称Capon谱，由Capon与1969年提出基本思想：设计一组(理论上的无穷多个)窄带滤波器，每个滤波器只允许某单个频率的谐波分量通过，阻止其它频率分量通过，然后计算该频率输出信号的方差(即功率)，以此作为功率谱密度在该频率的估计值。窄带滤波器组在最小方差条件下求出ak- 窄带滤波器系数可以证明，最