模型算法第06章排队论

1、排队论模排队1909年丹工程师A.的工作，他通话拥挤进行了研究。1917 年，排队论模排队1909年丹工程师A.的工作，他通话拥挤进行了研究。1917 年，排队论（QueuingTheory）也称随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展1 基本概念1.1 排队过程的一般表示1 排队模型凡要求服务的对象统称为顾客，为务的人或物称为服务员，由顾客和服-1.2.2 排队规则（i）损失制1.2.3 服务过程（i） 服务机构。主要有以下几1.2.2 排队规则（i）损失制1.2.3 服务过程（i） 服务机构。主要有以下几种类型：单服务台；多服务台并联（每个服务台（ii） 服务规则。按为1.3 排队模型的

2、符号表示XYZABC。第一X 表示顾客到达流或顾客到达间隔时间的分布；第二个符号Y 表示服务时间的分布第三Z 表示服务台数目；第四个符A 是系统容量限制第五个符号B 是顾客源数目；第六个符号C 是服务规则，如先到先服务 FCFS，后到先服务 LCFS 如略去后三X Y Z FCFS的情形M指数分布（MMarkov头，因为指数分布具有无；D 确定型（Deterministic；只先到先服务 Ekk MM/1表示相继到达间隔时间为指数分布、服务时间为指数分布、单服务台、等待制系DMc表示确定的到达时间、服务时间为指数分c个平行1.4 排队系统的运行指标-数学期望，记作 Ls。平均排队长:指系统内等

3、待服务的顾客数的数学期望，记作 Lq 时间）的数学期望，记作Ws。平均等待时间：指一个顾客在排队系数学期望，记作 Ls。平均排队长:指系统内等待服务的顾客数的数学期望，记作 Lq 时间）的数学期望，记作Ws。平均等待时间：指一个顾客在排队系统中排队等待时间的数学期望Wq构再次空闲止的时间）长度的数学期望，记为Tb。如果系统中有n 个顾客就说系统的状态是n ，它的可能值是Nn 0,1,LN 务台个数是cn 0,1,Lc（iii） 损tt n Pn(t表示。稳态时系统状态为n 的概Pn 表示2 输入过程与服务时间的分布2.1 泊松流与指数分布N(t表示在时间区间0t内到达的顾客数（t 0Pn(t1

4、t2表示在时间区间t1t2t2 t1内有n( 0) 个顾客到达的概率，即Pn(t1,t2) PN(t2) N(t1) (t2 t1,nPn(t1,t2合于下列三个条件时对充分小的t ，在时间区间tt t内有一个顾客到达的概率与t 约与区间长t P1(t,tt)t其中o(t，当t0时，是关于t的高阶无穷小。 0是常数，它表示对于充分小的t，在时间区间tt tPn(t,t t) n-在上述条件下研究顾客到达数的概率分布 nnP0(tt) P0(t)P0在上述条件下研究顾客到达数的概率分布 nnP0(tt) P0(t)P0nPn(tt) Pnk(t)PknkP (t) o(t) 0Pn(tt)Pn(

5、t) o(t) P (t)n在以上两式中，取t趋于零的极限，当假设所涉及的函数可导时，得到以下微分方程P (t)0P (t)n 1,2,Lnn取初值 P0 (0)1 ， Pn (0)0(n 1,2,L) 容易解出 P0(tet Pn(tUn (t)et ，可以得到U0(t及其它Un(tdUn nnU0(t) 1，Un(t) 0(t) et n 1,2,L说量N(t) N(st) N(s)服从泊松PnEN(t t VarN(t t当输入过程是泊松流时，那么顾客相继到达的时间间隔T PT t P0,t内呼叫次数为零 P0(t 1t t PT t F(t)f(t) ett 0-1 G(t)1et，g

6、(t) lim PT t1 G(t)1et，g(t) lim PT tt|T t lim PtT tt tPTtt这表明，在任何小的时间间隔ttt内一个顾客被服务完了（离去）的概率是1to(t。 表示（i）均匀分区间(a, b) 内的均匀分布记作U (a, b) 。服从U (0,1) 分布的量又称为随X为U(0,1分布，则YabaX U(ab（ii） 正态分2 N(,2 。正态分布的应用十分广泛。（iii） 指数分指数分布是单参数f (t) 的非对称分布，记作Exp() ，概率密度函数为t t 它的数学期望为1，方差1PX ts|X t PX s，在排队论、可靠性分析中有广泛应用（iv）Gam

7、ma分Gamma的非对称分布，记作G(，期望是。1时蜕化为指数分布。 n个相互独立、同分布（）的指数分布之和是 Gamma （v）Weibull分Weibull 分布是双参数 的非对称分布，记作W() 。 1时蜕化为指数（vi）Beta分-Beta分布是区间(0,1) 内的双参数、非均匀分布B(, ) 2.2.2 常用的离散型概率分布Bernoulli 分布是 x Beta分布是区间(0,1) 内的双参数、非均匀分布B(, ) 2.2.2 常用的离散型概率分布Bernoulli 分布是 x 1,0处取值的概率分别是 p 和1 p 的两点分布，记作) K时间内到达k kePkk ,记作Poiss

8、on(。泊松分布在排队服务、产品检验、生物与医学统计、天次数 K 服从二项分布，即发生k 次的概率为P C p (1 k k 0,1,L,n 当nkB(npN(npnp(1p；当np且np约为常数B(np近似于Poisson(3 生灭过程N(t时刻t系统中的顾客数，则N(tt 0 1 设N(tt0N(tN(t) n，则从时刻t n 0,1,2,L则称N (t), t 0 为一个生灭过程。N(tpn(tPN(tn（n0,1,2,L）是比较因此通常是求当系统到达平衡后的状态分布，记为 pn, n 0,1,2,L 。为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假了一段时间内系统进入态n 和离开状态

9、n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数- 入流出”原理。根据这一原理到任一状态下的平衡方程如下1p100p02p2 (11)1p13p3 (2 2)Mn1pn1 n1pn1 (n n)M012MnM pp101 入流出”原理。根据这一原理到任一状态下的平衡方程如下1p100p02p2 (11)1p13p3 (2 2)Mn1pn1 n1pn1 (n n)M012MnM pp1011p1 (1p1 0p0) p2 p 12222 210 p 1 ( p p )p p2 322 1 203333 2 MnM n ) n p nn1 1 p ppn n1 nn0n1 MM记n1

10、n2，nCnn Cnp0，n有1Cn 1p 01C C n-4 M M s4.1 单服务台模型 1，服务时间V服从参数为4.1.1 队长的分布pnPN n（n0,1,2,4 M M s4.1 单服务台模型 1，服务时间V服从参数为4.1.1 队长的分布pnPN n（n0,1,2,L）N的概率分布，则由式（4）（6，并注意到n n 0,1,2,Ln n 0,1,2,L。记 Cn ，npn n p ，n0故1n 1p0 11p (1) ，nnn4.1.2 几个主要数量指标长Ls npn n(1)(2233L)(2 23 34 2 3 L 1平均排队Lq-Lq (n1)pn L(1 p0) L (

11、的复指数分布，PT teLq (n1)pn L(1 p0) L ( 的复指数分布，PT te()t，t1W s因为，顾客在系统中的逗留时间为等待时间Tq和接受服务时间V T Tq 1W E(T) s平均等待时间Wq W ( 从式（9）和式（11，可发现平均队长 Ls 与平均逗留时间Ws 具有关Ls 同样，从式（10）和式（13，可发现平均排队长 Lq 与平均等待时间Wq 具有关Lq 4.1.3 忙期和闲期 BI 1 ，即B 11B 1 1 与式（11）比较，发现平均逗留时间（Ws）平均忙期（B-4.2LINGO源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。34.2LINGO源的 Po

12、isson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。34本例可看成一个M/M /1/排队问题，其4， 1 10， p0 1 10.4 333PN11 p0 L 0.67（人1s 0.67(h) WsLq Ls 1 10.4 0.267（人W 0.267(h)q410(11 e1 6 :m-4.3 多服务台模型（M M sspn PN n（n0,1,2,L）来 n ，n和n 1,2,L,s,n s,s4.3 多服务台模型（M M sspn PN n（n0,1,2,L）来 n ，n和n 1,2,L,s,n s,sn记s (/n 1,2,L,Cn (/) (/s n,s故 n 1,2,L,p0pn p0n

13、 s!(1 )s c(s,)ps!(1 0)ss pLq (ns)p (n 0n-p0p0sd n ss!(1 s s或 c(s, L1qs s1 ns npn spn p 0ps!(1 0)sp0p0sd n ss!(1 s s或 c(s, L1qs s1 ns npn spn p 0ps!(1 0)s p 0 (s1)!(1 s)(n Ls由式（24Ls 平均排队长正在接受服务的顾客的平均数 Lq ，W Wsqs例 某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 流，平均到达率为0.9人min；服务（售票）0.4人min。M / M / s / 系统，其中s3， 2.25， 2.25 s到p0 0.

14、0748(2.25)32.25/3 L（人qL Lq 1.702.253.95（人W 1.70 1.89qW 3.95 4.39s-c(3,2.25)0.0748不 队，即可形成3队列。这时，原来的c(3,2.25)0.0748不 队，即可形成3队列。这时，原来的M / M 3 系统实际上变成了由3 M / M /1/ 子系统组成的排队系统，且每个系统的平均到达率为 0.9 0.3（人3MM33M M /1M M 3系 1 排队系统的指标值m:5 M M ss当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去5.1 损失制排队模型的基本参数时间内平均进入系统的顾客数（e e(1Plost-M /M /3/

15、3M M /10.25（每个子系统9（整个系统10（min） 7.5（3）系统的相对通过能力（Q ）与绝对通过能力（ A Q1AQ(1e系统时（3）系统的相对通过能力（Q ）与绝对通过能力（ A Q1AQ(1e系统时间内占用服务台（或服务员）的均值（即 Ls Ls e/ Ls/顾客在系统内平均逗留时间（即Ws Ws 1/ 在上述公式中，引入是十分重要的，因为尽管顾客以平均的速率到达服务是e ，它小于 。5.2 损失制排队模型计算实例5.2.1 s 1的情况（M M /1/131解 其参数为 S1， 0.6 m:5.2.2 s1的情况（M M ss例4平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3

16、min解 0.82002 160-12140601214060Plost M M sMM/1K是指：顾客的相继到达时间服从参数为的负指数分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 的负指数分布，系统的空间为 KK-Npn PN n，n0,1,2,L。由于所考虑的排队系统中最多只能容纳 K 个顾客（等待位置只有 K 1个），因而有 n 0,1,2,L,K nn n ，n 1,2,L,Npn PN n，n0,1,2,L。由于所考虑的排队系统中最多只能容纳 K 个顾客（等待位置只有 K 1个），因而有 n 0,1,2,L,K nn n ，n 1,2,L, nn 1,2,L, Cnn p ，n 1,

17、2,L,0故pn n 1 1Kp0 K ,1 1时，均队长 Ls 为：Ls npn p0nKK1K (1)KK (K 1)(1 11K1KK1KK2Ls npn n nnK KLq (n1)pn Ls (1 p0或 (1KK) 11KLq K(K 1) -服务。假设顾客的到达率时间内来到系统的顾客的平均数）为 ，则当系统K时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是1 pK。因此，e(1 pK)(1 p0时称e 为有效到达率，而 pK 也被称为顾客损失服务。假设顾客的到达率时间内来到系统的顾客的平均数）为 ，则当系统K时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是1 pK。因此，e(1 pK

18、)(1 p0时称e 为有效到达率，而 pK 也被称为顾客损失率，它表示了在来到系统的所有顾客中Little Ws(1 p ekW (1 p qeK1Ws Wq 111p ，p 01 L 1 (1 p )1e10Ls W seLq 0，Wq 解 该系统可看成是一个 M M /14 1, 1 0.8, 1.25,K 28，1 11.25 p011p4 4p0 1.254 0.122-e(1 p4)1(10.298)(41)2.44（台Ls11e(1 p4)1(10.298)(41)2.44（台Ls11LqLs1p02.4410.122)1.56（台W 3.48（分钟se 1W 3.482.23（分

19、钟m:se(i)|i #gt#1 #and# i #lt#e(i)|i #le#k:i*p(i); 6.2 多服务台混合制模型M M sK是指顾客的相继到达时间服从参数为的负指（4（6 n 0,1,2,L,K nn 0n s n n- 0n p0pn p0sn s(1Ks1) s ,s!(1 sp0 n s pnn 0n p0pn p0sn s(1Ks1) s ,s!(1 sp0 n s pnn 0,1,2,LK KLq (n s)p0s1(1 )(K s, K ss!(1 ssss(Ks)(K s1) , KKKLq (n s)pn npn sKnpn npn s1pn Ls (ns)pn

20、(ns)Ls Lq s p0由系统空间的有限性，必须考虑顾客的有效到达率e(1 pK。对多服务台系统 ，W Wsqsee平均被占用的服务台数（也是正在接受服务的顾客的平均数）s1 nKKs npn spn p0 sKK p0! K- (10)(1 pKps!sKLs Lq s Lq (1 pK6 某汽车 (10)(1 pKps!sKLs Lq s Lq (1 pK6 某汽车 2， 0.5， 4，s 2，K 421(4/p0 142!(14/ 45p5L 0.00842 (4/2)1(4/2)521 (14/2)(521)(4/2)52q2!(14/2.18（辆Ls Lq (1 p52.184(

21、10.512)4.13（辆W 4.23（分钟(1 p 2(1s5 W 4.2322.23（分钟sLs Lq 4.132.181.95（个LINGOm:e(i)|i#gt#1#and#i#lt#s:-e(i)|i#ge#s#and#i#lt#MM sK的sKpn p0 ，n 1,2,L,n sp0 ne(i)|i#ge#s#and#i#lt#MM sK的sKpn p0 ，n 1,2,L,n sp0 n s sB(s,) ps 对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）nsss npn p0n s s s (1B(s,Lss (1B(sLs 1B(s,) 平均逗留时间W s1

22、B(s,e其中e(1psA (1 ps时间内系统实际可完成的服务次数；用Q1ps表示系统（或通道利用率） s7 其它排队模型简介7.1 有限源排队模型-是有限的，如果有 m 个顾客。每个顾客来到系统中接受服务后仍回到原来的总体，还有可能再来，这类排队问题的典型例子是机器看管问题。如一个工人同时看管 m 台机的例子还有m 22 有限源排队系统情形下，必须按每一顾客来考虑。设每个顾客的到达率都是相同的，均为 （这里 e(mLs是有限的，如果有 m 个顾客。每个顾客来到系统中接受服务后仍回到原来的总体，还有可能再来，这类排队问题的典型例子是机器看管问题。如一个工人同时看管 m 台机的例子还有m 22

23、 有限源排队系统情形下，必须按每一顾客来考虑。设每个顾客的到达率都是相同的，均为 （这里 e(mLsN pn PN nn 0,1,2,Lm n (mn)，n 0,1,2,L, n 1,2,L,n s 1,L,n4，式6，有 n,n 1,2,L,(mnn s,L,s故npn 1,2,L,(m0np n s,L,0m n n(m(m-mLq (n s)Lsnpn Lq s(1pn或 L (mL L qsW ，W sqee特别，对单服务台（s1） np，nmLq (n s)Lsnpn Lq s(1pn或 L (mL L qsW ，W sqee特别，对单服务台（s1） np，n 1,2,L,pn0(m

24、 nmLq (n1)Ls Lq (1 p0或L m (1 p s0m 1 W (1 p sqse0系统的相对通过能力Q 1AeQ(mLs)(1 p0， 0.8，m11p 50 p 5!(0.8)5p 50-1L 5(10.00733.76（台sLq3.7610.0073)2.77（台5W 15 461L 5(10.00733.76（台sLq3.7610.0073)2.77（台5W 15 46（分钟s1(1Wq 461234（分钟1A(10.00730.083（台即该工人每小时可修理机器的平均台数为0.08360 4.96m:7.2面的各类排队模型的分析中，均假设顾客的到达率为常数 （它们均依赖

25、于系统所处的状态）可假设n (n，nn nb1，n 0 n s asn n s0-n bsn s1其中nn分别为系统处于状态n时的到达率和服务上述假设表明n同系统中已有顾客数 n 呈反比关系；服务率 n 同系统状态n 呈正比关系。4(0 /n bsn s1其中nn分别为系统处于状态n时的到达率和服务上述假设表明n同系统中已有顾客数 n 呈反比关系；服务率 n 同系统状态n 呈正比关系。4(0 /1)n n 1,2,L,Cn( / nn s,s 下面看一个简单的特例，考虑一个到达依赖状态的单服务台等待制系统M M /1，其参 ，nnnn ，n（6 pn p0，n ep0nL npn ps0Lq

26、(n1)pn Ls (1 p0) 有效到达率时间内实际进入系统的顾客的平均数 n (1eLs W s(1 ee W qse7.3 非生灭过程排队模型-PoissonPoisson7.3.1 M G/1MG/1Poisson1 PoissonPoisson7.3.1 M G/1MG/1Poisson1 p0 122 Lq2(1 Ls W q1W W 和服务时间的方差 2 ，而与分布的 从式（80）还不难发现，当服务率 给定后，当方差 2 减少时，平均队长和等待 8Poisson18 18 E(V180.050.9，2 0.01 20是 1820.0120.25（辆Lq2(1 Ls 20.250.

27、921.15（辆W 21.15 1.175s-W 20.25 1.125q1.125 22.5倍（为顾客的时间损失系数例考虑定长服务时间M/D/1/模型这时，E(V) 1 ，W 20.25 1.125q1.125 22.5倍（为顾客的时间损失系数例考虑定长服务时间M/D/1/模型这时，E(V) 1 ，2 Var(V)02(1 2( (2L 2( 2(12( 1W W 正好是定长服务时间的2 倍。可以证明，在一般服务时间分布下得到的Lq 和Wq 中，k 阶Erlang 分布恰为k 对MEk/1k阶Erlang1 ，顾客先进入第k个位相，最后进入故系统的状态一般用(ninni表示正在接受服务的顾客

28、处在第i个位相，令 PN (n,则 到类似于（3）的差分方程组，从而在平稳分布存在的条件下得到平稳分布和各有关指标。由于本节已给出M / G /1/ 系统的主要结果，作为一个特例，可直接给M / Ek /1/ 的主要数量指标。k阶Erlang，t (k -E(E ) 1 ，Var(E ) 1k1kkk将 ，2（83 2(k(k1)2k(1) 1 2k(1L E(E ) 1 ，Var(E ) 1k1kkk将 ，2（83 2(k(k1)2k(1) 1 2k(1L L (k1)sq12k(1 )(k 1W 2k(1s (k 1)W(1 2k(1q1068钟，方差16分钟。直观上估计通话时间服从解 设

29、V 为通话时间，服从kErlang分布，管想知E(Vk Var(V8ME416 0.8。由式（89）(0.8)2(4 2（人Lq24(1W 2 0.33q8 排队系统的优化8.1 M M /1MM/1z为 时间服务成本与顾客在系统中逗留zcs其中cs 为服务一个顾客时-（9 z c sw令1(c c cw * （9 z c sw令1(c c cw * 位时间内到达并进入系统的平均顾客数为e (1pK)它也等时间内实际务机构的收入为G元，于是的期望值是(1 pK )G 元，故利润 z 为11Kz(1 p )Gc c Kss cs0，K1K (K 1) s (1G当给定K和cs 后，即可由（94）

30、式得到最优利润G114 的解 该系统为 M M /1KK K 4, 1，G 100,Cs Ls是队f 100(K Ls) LINGOm:* 1.799f* 31.49-12M M/1KK 31服务强度 （ ，T 为服务时间服从负指数分布12M M/1KK 31服务强度 （ ，T 为服务时间服从负指数分布其服务成本为每小时0.5 元T解 系统的损失率为 pK，则系统每小时服务的人数为(1pK，每小时运行成本为0.5 ，因此目标函数为f 2(1 pK)编写LINGO 程序如下：m: e(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k: 8.2 M M sM /M /s/系统，已知在平稳状态时

31、间内总费用（z csc 其中 s 为服务台数，c是每个服务时间内的费用，L是平均队长。由于c，c ssw 求使 z(s) 达到最小的 s* 。 析方法。根据 z(s* 应为最小的特点z(s*) z(s* z(s*) z(s* （96cs* c L(s*)c(s* 1)c L(s* swswcs* c L(s*)c(s* 1)c L(s* swsw-L(s )L(s 1) L(s 1)L(s s* L(s )L(s 1) L(s 1)L(s s* s落在哪个与s 有关的不等式中，即可定出最优s* 4，c 6， 48， 25解 已知1.92，设检验员数ssws1p0 (s1)!(sp0(s1)!(

32、s L L q4s 1,2,3,4,5 依次代入得到表2由0.67落在区间(0.582,21.845)6s z(s* z(3)27.87（元:m9 产生给定分布的随机数的方法-L(s)L(s1) L(s1)1234521.845数的一般方法，这些方法都以U (0,1) 分布的定理 设 X Fx设概率分布函数 Fx) 是严格单调增的， F 的反函数记作 F1 。先产生数的一般方法，这些方法都以U (0,1) 分布的定理 设 X Fx设概率分布函数 Fx) 是严格单调增的， F 的反函数记作 F1 。先产生 指数分布 Exp() 能够方便地用反变换法产生。由 Exp() 的分布函数F1(U)ln(1UX思有的书上用X 量Y之和，而Yn 个独立的Y1,Y2L,Yn ，再X Y1 L Yn 即可。因为 X 的分布函数Y1Y2 ,L,Yn 分布函数的卷积，故称为卷