自适应波束成形算法LMS、RLS、VSSLMS分解

1、传统的通信系统中，基站天线通常是全向天线，此时， 基站在向某一个用户发射或接收信号时，不仅会造成发射功率的浪费，还会对处于其他方位的用户产生干扰。然而， 虽然阵列天线的方向图是全向的，但是通过一定技术对阵列的输出进行适当的加权后，可以使阵列天线对特定的一个或多个空间目标产生方向性波束，即“波束成形”，且波束的方向性可控。波束成形技术可以使发射和接收信号的波束指向所需要用户，提高频谱利用率，降低干扰。传统的波束成形算法通常是根据用户信号波达方向（DOA）的估计值构造阵列天线的加权向量，且用户信号DOA在一定时间内不发生改变。然而，在移动通信系统中，用户的空间位置是时变的，此时，波束成形权向量需要

2、根据用户当前位置进行实时更新。自适应波束成形算法可以满足上述要求。本毕业设计将对阵列信号处理中的波束成形技术进行研究，重点研究自适应波束成形技术。要求理解掌握波束成形的基本原理，掌握几种典型的自适应波束成形算法，熟练使用MATLAB 仿真软件，并使用MA TLAB 仿真软件对所研究的算法进行仿真和分析，评估算法性能。（一）波束成形：波束成形，源于自适应天线的一个概念。接收端的信号处理，可以通过对多天线阵元接收到的各路信号进行加权合成，形成所需的理想信号。从天线方向图（pattern） 视角来看，这样做相当于形成了规定指向上的波束。例如， 将原来全方位的接收方向图转换成了有零点、有最大指向的波瓣

3、方向图。同样原理也适用用于发射端。对天线阵元馈电进行幅度和相位调整，可形成所需形状的方向图。波束成形技术属于阵列信号处理的主要问题：使阵列方向图的主瓣指向所需的方向。在阵列信号处理的范畴内，波束形成就是从传感器阵列重构源信号。虽然阵列天线的方向图是全方向的，但阵列的输出经过加权求和后，却可以被调整到阵列接收的方向增益聚集在一个方向上，相当于形成了一个“波束”。波束形成技术的基本思想是：通过将各阵元输出进行加权求和，在一时间内将天线阵列波束 “导向” 到一个方向上，对期望信号得到最大输出功率的导向位置即给出波达方向估计。“导向” 作用是通过调整加权系数完成的。对于不同的权向量，上式对来自不同方向

4、的电波便有不同的响应，从而形成不同方向的空间波束。波束成形的工作过程是怎样的？以热点为例，基站给客户端周期性发送声信号，客户端将信道信息反馈给基站，于是基站可根据信道状态发送导向数据包给客户端。高速的数据计算处理，给出了复形的指示，客户端方向上的增益得以加强，方向图随之整型，相应方向的传输距离也有所增加。AP如果用4组发射天线4x4三组空间流，便能在多天线得到的增益基础上，获取较大的空间分集增益。(资料搜集自：百度百科、通信信号处理第十一章)(二)波束形成器：1.Bartlett 波束形成器Bartlett 波束形成器是经典Fourier 分析，对传感器阵列数据的一种自然推广。思想：使波束形成

5、的输出功率相对于某个输入信号为最大。当存在多个信源时，波束形成的问题等价于加性噪声中的谐波频率估计。设我们希望来自方向 的输出功率为最大，则该最大化的问题可表示为：WH RxxW argmaxEWH X (n)X H (n)WargmaxWHEX(n) XH (n)WargmaxE|d(t)|2|WHa( )|22 |W |22在白噪声方差一定的情况下，权向量的范数|W| 不影响输出信噪比。故取|W|=1 ，用 Lagrange 乘子法容易求得上述最大化问题的解为：a( )WBFHa ( )a( )加权向量WBF 可以解释为一空间滤波器，它与照射到阵列上的信号匹配。直观上，阵列加权使该信号在各

6、阵元上产生的延迟(还可能是衰减)均衡，以便使它们各自的贡献最大限度的综合在一起。空间波束：BF( ) WBHFa( )特点：最优权和所需信号匹配，而无法抑制干扰。分辨能力i取决于阵列的几何结构和信噪比。2.Capon 波束形成器Bartlett 波束形成器不是自适应的，不能适应不同的干扰环境。为了针对不同的环境做自适应处理，波束形成器必须自动对消干扰信号，具有自适应功能。Capon 波束形成器的数学描述为：Hmin WHRWSt WHa( ) 1思想： 使来自非 方向的任何干扰所贡献的功率为最小，但又能保持在观测方向 上的信号功率不变。最优权矢量可以用Lagrange 乘子法求解。WCAPWC

7、APR 1a( )aH( )R 1a( )空间波束：BF( ) WCHAP a( )特点：自适应干扰对消。对消干扰数受阵列几何结构的限制。分辨能力取决于阵列几何 结构和信噪比。(三)自适应波束形成算法自适应波束形成是智能天线的关键技术，其核心是通过一些自适应波束形成算法获得天线阵列的最佳权重，并最终最后调整主瓣专注于所需信号的到达方向, 以及抑制干扰信号,通过这些方式, 天线可以有效接收所需信号。在实际应用中, 收敛性 , 复杂性和鲁棒性的速度是在选择自适应波束形成算法时要考虑的主要因素。智能天线是一种基于自适应天线原理的移动通信新技术，它结合了自适应天线技术的优点， 利用天线阵列对波束的汇成

8、和指向的控制，产生多个独立的波束，可以自适应的调整其波束图以跟踪信号的变化。接受时， 每个阵元的输入被自适应性的加权调整，并与其他的信号相加已达到从混合的接收信号中解调出期望得到的信号并抑制干扰信号的目的，它对干扰信号调零，以减少或是抵消干扰信号。发射时，根据从接收信号获知的用户设备信号方位，通过自适应性的调整每个辐射阵元输出的幅度和相位，使得他们的输出在空间叠加，产生指向目标用户设备的赋形波束，智能天线的特点是能够以较低的代价换取天线的覆盖范围、系统容量、业务质量、抗阻塞和抗掉话等性能的提高。常用的自适应波束成形算法有以下几种：取样协方差矩阵的直接求逆DMI算法LMS最小均方算法、RLS递推

9、最小二乘算法（ 基于参考信号的自适应波束形成的算法）SCB标准CAPON波束形成算法（基于波达角估计的自适应波束形成的算法）Buss gang 自适应均衡算法clear,clcm=8;clear,clcm=8;n=2;theta=0 20;d=0.3;N=500;L=100;Meann=0;varn=1;% sensors% sources% in angle% 1/2 lambada% samples% resolution in -90 90% mean of noise% variance of noiseSNR=10;INR=10;% signal-to-noise ratioSNR=

10、10;INR=10;% interference-to-noise ratiorvar1=sqrt(varn) * 10(SNR/20);rvar2=sqrt(varn) * 10(INR/20);% variance of signal% variance of interference% variance of signal% variance of interferences=rvar1*exp(j*2*pi*50*0.001*0:N-1)rvar2*exp(j*2*pi*(100*0.001*0:N-1+rand);% generate the A matrixA=exp(-j*2*p

11、i*d*0:m-1.*sin(theta*pi/180);% generate the noise componente=sqrt(varn/2)*(randn(m,N)+j*randn(m,N);% generate the ULA dataY=A*s+e;% initialize weight matrix and associated parameters for LMS predictor de =s(1, :);mu=1e-3;w = zeros(m, 1);for k = 1:N% predict next sample and errory(k) = w*Y(:, k);e(k)

12、 = de(k) - y(k);% adapt weight matrix and step sizew = w + mu * Y(:,k)*conj(e(k);end% beamforming using the LMS methodbeam=zeros(1,L);for i = 1 : La=exp(-j*2*pi*d*0:m-1.*sin(-pi/2 + pi*(i-1)/L);beam(i)=20*log10(abs(w*a);end% plotting command followedfigureangle=-90:180/L:(90-180/L);plot(angle,beam);

13、xlabel(方向角(度);ylabel(幅度响应/( dB) );figurefor k = 1:Nen(k)=(abs(e(k).2;endsemilogy(en);xlabel( 迭代次数n);ylabel(e2(n);波束形成器的本质是一个乘加器。波束形成器在时间九时的输出伽)是此时M个阵元输出数据的线 性组合加)=%q5)(3-1)式中,犷=”(6),川2伊),%(西7称为加权向量。加权向量的每一个元素都是复数，其模表示对阵元输出信号的 幅度加权，其相位角表示对阵元输出信号的相位延迟。波束形成器 的输出功率为尸秘=司伏)2 二 Mx()X()= VRJF(3-2)式中，仆=矶入(/(

14、初为输入信号自相关矩阵。如何寻找到合适的加权矢量，使输出信号y(A)尽可能的接近于有用信号s(k),并 尽可能的去除干扰信号，是波束形成算法要完成的主要任务。估计误差e(k)=d(k)-y(k)(2.14)d伏)是参考信号，我们假设d(A)与有用信号式上)高度相关口与干扰信号 式)，由(口不相关。MMSE准则就是要使估计误差e(外的均方值MSE最小化， 故代价函数为J(w)=片|)|： = E 卜- wx叫= E|dg)卜 2w. + wR,w(2.15)(2.16)其中(2.16)r = Ed(k)x(k)Rxx=Ex(k)x(k)H(2.17)由(2.15)式看出，代价函数J(w)是权向量

15、w的二次函数。令J(w)的最小值时 听取的对应权向量就是最佳权向量。为使代价函数最小，对其关于w求导，并令 其为零，得= 2Rvxw-2r = 0(2.18)化解(2.18)得到MMSE准则下的最佳权向量为(219)3. 3. 1最小均方(LMS)算法这种方法不需要求相关矩阵，更不涉及矩阵求逆，其基本思路与梯度下降法是一致的， 不同之处仅在于计算中用梯度向量的估计Vwg(k)来代替了真实梯度上)，这就是应 用非常广泛的LMS算法。LMS算法是由梯度下降法导出的，是对梯度下降法的近似简 化，更符合实际应用。因为4=耳62仕),所以有飒Ee飒Ee2=2耳附小(3. 1)其中e(k)-d(k)-y(

16、k) = d(k)-x(k)(3. 2)所以e(k) = 7仕)(3. 3)dw式3.3代入式3.1,可得到梯度向量的表达式为隽化)= -2Ee x (3.4)如果用平方误差。2仕)代替均方误差EL?*),则可得到梯度向量的近似表达式为十常住)=_a伙*化)(3. 5)式3.5中包若仕)表示梯度向量的估计，实际上它是单个平方误差的序列的梯度，现 用它弋替多个平方误差序列统计平均的梯度器(2)，这就是LMS算法最核心的思想。可以看出，十常(2)是的无偏估计，因为十房(%)的均值等于真值苫住)。因为梯度的方向是g增长最快的方向，所以负梯度方向就是减少最快的方向。这 样，自然应采用如下的递推公式来调

17、整W以寻求其最优解：w(k +1)=叭七)+(3. 6)将梯度向量的估计式3.5代入式3.6可得到w(k +1)- w仕)+ 2fie(k)x(k)(3. 7)式3.7就是LMS算法的迭代公式。也就是说，LMS算法实际上是在每次迭代中使 用很粗略的估计值来代皆精确梯度。不难想象，权系数的调整路径不可能准确地沿着理 想的最速下降的路径，因而权系数的调整过程是有噪声的，或者说权向量咏)不再是确 定性函数而变成了随机变量，在迭代过程中存在随机波动。所以，LMS算法也称为随机梯度法或者噪声梯度法。LMS算法收敛的条件与最陡下降法相同，为Anax避免矩阵求逆的一种方法是最陡梯度法，最陡梯度法是一种递归的

18、算法，权值的 计算是一步一步迭代进行的。最陡下降法下的迭代公式可以写为 TOC o 1-5 h z ( + 1) =(3.5)W(左+ 1) = 0(左)+ /(Rvvw -r) = A+ x(左)d(左)一而(幻= 9(A)+e(A：)x(A)(3.6)4为正常数的收敛因子，必须选择合适的M值算法的收敛性才能得到保证。 为满足LMS算法的收敛性及稳定性，必须满足以下条件：0 / 1/Amax(3.7)其中4m为x(k)的自相关矩阵Rvx的特征值最大值。文献详细介绍了 值更 用/5)表示时刻的权向量，根据最陡梯度法，则时刻+ 1时 的权向量可用下面简单的迭代关系式求得%5 + 1)=% 5)

19、+ 3川7(45)(3-16)其中，为控制收敛速度和稳定性的常数因子，通常称为收敛步长。 从式(3-4),有&() =-2 + 2RJ如)(3-17)将式(3T7)代入式(3T6)可得/5 + 1)=/5) + 匕一尺口力伽)，0J2(3-18)高斯牛顿算法（RLS） ：引入遗忘因子的作用是让离n 时刻较近的误差有较大的权重， 距离较远的拥有降低的权重，确保以前观测到的数据被渐渐“遗忘 ”， 从而使滤波器工作在一个平稳状态下。代价公式：代价公式：写成 wiener滤波器的形式：输入： u(i)n下面是算法推导：R(n) n iu(i )u H (i )i0n-1n i-1u(i)uH (i)

20、uH (n)* u(n) i0R(n-1) uH (n)* u(n)设： 则：令：设： 则：令：则：A R(n) B 1 R(n 1) C u(n) D 1A B 1 CD 1CHA1 B BC(D CHBC) 1CHB11 12R 1(n 1)u(n)uH(n)R1(n 1)R (n) R (n 1)1 H 111uH (n)R1(n 1)u(n)1HP(n) R (n) R( n ) R ( n 1 ) x ( n ) xP(n) 1P(n 1) k(n)uH (n) P(n 1)其中： k(n)为增益向量，又：P(n) (n)(n)R(n 1)(n) 其中： k(n)为增益向量，又：P(

21、n) (n)(n)R(n 1)(n) H (n)R 1(n 1) (n) (n)R 1(n 1) H(n)k(n)nr(n) n iu(i)d (i) r(n 1) d (n)u(n) i0P(n)1P(n 1) k(n)uH(n)P(n 1)所以：1w(n) R (n) r(n) P(n) r(n)P(n 1)r (n 1)1d*(n)P(n 1)u(n)k(n)uH (n)P(n 1)u(n) k(n)uH (n)P(n 1)r (n 1) w(n 1) d (n)k(n) k(n)u (n)w(n 1)化简得：w(n) w(n-1) k(n)e (n)(*)H式中： e(n) d(n)

22、w (n 1)u(n) 先验误差总结 RLS 算法的步骤。1、初始化：w(0)=0,R(0)= I,2、更新：对于n=1、 2 计算：H滤波： y(n) w (n 1)u(n)估计误差：e(n) d(n) y(n)更新 k(n)HP(n-1)u( n)u (n)P(n 1)u(n)更新权向量：w(n) w(n 1) k(n)e (n)1H更新 P(n) P(n 1) k(n)uH (n) P(n-1)希望相关矩阵初始值R(0)在R(n)中占很小的比重，因此设R(0)= I。 一般取0.001。RLS 算法对非平稳信号的适应性好。RLS 算法收敛速度快，估计精度高稳定性好。3、遗忘因子越大，越不

23、易遗忘，效果越好。RLS 算法计算复杂度高，不利于实时性处理。(3. (3. 18)(3. 19)(3. 16)r(o)- z - (d i)(3. 16)循环迭代(1)取输入的d), x(k)(2)田下式计算估计误差 e(kk-l)d(k)-xH(k)w(k-l)(3.17)(3)计算增益向量-*) xH(k)R-Xk-r)x(k)(4)计算权向量w(k) = w(k -1)+G k -1)(5)计算 T(n)丁)=T(k -1) -G伙)X”伙)7伙-1) p此循环结束，将上加1进入下一次循环。将式3.19进行变换可以得到w(A) = w(k-1) + RTx(k)x(k)e(k)将式3.

24、21与LMS算法的迭代公式式3.7相对照可以看出，RLS算法与LMS算法的差异在于，前者权向量校正项中出现了因子RT网)由于/?化)是自相关矩阵可必行工化)的一种度最，并且是随k变化的方阵，这表明在不同的时刻，w(k)每元素的调整量均随新进的数据以不同的补偿因子作调整，而不是像LMS算法那样统一地 用因子来调整，这体现了调整的精细性及新数据利用的充分性。也就是说，因子RT(k) 的出现使得RLS算法具有快速收敛的性质。付出的代价是，算法的运算量在2数量级, 这是RLS算法的主要负担，而LMS算法的运算量只在M数量级，M为天线阵元数目。RLS 算法设计及流程 TOC o 1-5 h z M =1

25、5;% 均衡滤波器阶数为2*M+1Lb=10;% 信道 b 长度为 L+1%Lb=2;% 信道 c 长度为 L+1%hb=0.407 0.815 0.407;% 离散时间信道chb=0.04 -0.05 0.07 -0.21 0.50 0.72 0.36 0.00 0.21 0.03 0.07; % 离散时间信道bHb=zeros(2*M+1,2*M+Lb+1);for k =1:2*M+1; % 信道 b 的信道矩阵Hb(k,k:1:k+Lb)=hb;end%产生伯努利序列和加性白噪声，构建均衡滤波器的输入数据矩阵sigma=1e-3; %加性白高斯噪声的方差N=2000;% 迭代次数s=r

26、andsrc(2*M+Lb+N,1); % 伯努利序列vn=sqrt(sigma)*randsrc(2*M+Lb+N,1);S=zeros(2*M+Lb+1,N); % 发射信号矩阵SV=zeros(2*M+1,N);% 加性白高斯噪声矩阵Vfor k=1:NS(:,k)=s(2*M+Lb+k:-1:k);V(:,k)=vn(2*M+k:-1:k);endUb=Hb*S+V;% 均衡滤波器输入数据矩阵Ub%RLS 迭代算法dn=S(M+Lb+1,:);% 期望信号lambda = 0.990; %RLS 遗忘因子 delta =0.004; %RLS 调整参数 wb_RLS =zeros(2*

27、M+1,N+1); wb_RLS(M+1,1)=1; % 权向量初始值 epsilon=zeros(N,1); % 先验估计误差 P1=eye(2*M+1)/delta; % 相关矩阵逆的初始值 for k=1:N %RLS 算法迭代过程PIn=P1*Ub(:,k);deno= lambda+Ub(:,k)*PIn kn=PIn/deno;epsilon(k)=dn(k)-wb_RLS(:,k)*Ub(:,k);wb_RLS(:,k+1)=wb_RLS(:,k)+kn*conj(epsilon(k); P1=P1/lambda-kn*Ub(:,k)*P1/lambda; endMSEB_RLS

28、 = abs(epsilon).2; % 单次实验均方误差MSEB_RLSn=1:2000; plot(n,MSEB_RLS) title(RLS 算法学习曲线)xlabel( 迭代次数n)ylabel(MSEB_RLS) axis(0 2000 1e-3 1e+2);变步长算法的基本思想：在初始收敛阶段或系统参数发生时变时，自适应系 统的权值与最优权值相距较远，为保证有较快的收敛速度及对时变系统的跟踪速 度，选取较大的步长；在算法接近收敛时，滤波系统的权使接近最优权值，选 取较小的步长，以减少算法的稳态误差。就目前所发展形成的变步长算法大概分为三大类：第一类是通过对前一时刻 的步长来修改当前

29、时刻的步长【约【26U33)；第二类是利用误差向量或者输入信号的 平方归化形式的某种函数关系来调整步长值的变化】均【沟；第三类是通过非线 性函数来调整步长445。4.3.1第一类变步长LMS算法这节主要分析第一类变步长LMS算法，分析其性能。文献25 Kwong R.H等 人提出的变步长克法中的步长调整是由瞬时估计误差的平方所控制，目的是当估 计误差较大时步长也较大可以提供较快的收敛速度，误差较小时步长也较小从而 产生的失调量也很小。权向量迭代公式为W(k + )=Wk+ Mk)e(k)X(k)(4.17)步长的迭代公式为(A + 1) = a/t(k)+ 拒(左)：(4.18)并且取值为皿和

30、max当C + D的值低于4mm或者高于max的界限值时，和 max的值要选取适当，。，7。然而该算法对于独立测量噪声的 存在比较敏感。这个算法已经成为这类VSSLMS算法的经典算法。文献26 Aboiilnasr T等人针对文献25容易受测量噪声引起的稳态误差提出 改进。川e(幻和e/-l)自相关时间均值来控制步长更新，相对于标准LMS算法引 入了：p(k) = Pp(k -1) + (1 P)e(k)ek -1)(4.19)+ 1) = ajLi(k)+ 9(左下(4.20)p(力的引入消除了权向量迭代时非相关噪声信号在的影响。a,夕，/因子 的选取都要满足一定的条件。文献33RaduC等人对文献25提出新的改进方法， 利用输出误差累加，提供了更快的收敛速率及更小的失调枇，其步长更新公式为：6 + 1)二(外+/ Xe：(4.21)由文献2526引申出了这一大类的关于变步长的算法,如文献313233.其中文献32详尽列举了这类各种变步长LMS克法,同时，也衍生出很多变步长 的NLMS兑