5.4.2正弦函数、余弦函数的性质教学设计

1、6/6【新教材】5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 教学设计（人教A版）本节课是正弦函数、余弦函数图像的继续，本课是正弦曲线、余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数、余弦函数的性质. 课程目标1.了解周期函数与最小正周期的意义;2.了解三角函数的周期性和奇偶性;3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;4.借助图象直观理解正、余弦函数在0,2上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等);5.能利用性质解决一些简单问题. 数学学科素养1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义； 2.逻辑推理： 求正弦、余弦形函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及

2、判断奇偶性.4.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质.重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质； 难点：应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性. 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。情景导入研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？我们知道从定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、称性等考虑，那么正余弦函数有哪些性质呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本201-205页，思考并完成以下问题1.

3、周期函数、周期、最小正周期等的含义？ 2. 怎样判断三角函数的周期性和奇偶性？ 3. 通过正弦曲线和余弦曲线得到正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或).2.值域 (1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是.(2)最值正弦函数当且仅当时,取得最大值当且仅当时,取得最小值余弦函数当且仅当时,取得最大值当且仅当时,取得最小值3.周期性定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.由此可知,都是这两

4、个函数的周期.对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.4.奇偶性()为奇函数,其图象关于原点对称()为偶函数,其图象关于轴对称5.对称性正弦函数的对称中心是,对称轴是直线;余弦函数的对称中心是,对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴(中轴线)的交点).6.单调性正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数

5、在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.四、典例分析、举一反三题型一 正、余弦函数的周期性例1 求下列三角函数的最小正周期: (1)y=3cos x,xR; (2)y=sin 2x,xR; (3)y=2sin( QUOTE 13 ),xR; (4)y=|cos x|,xR.【答案】(1) 2；(2)；(3) 4；(4).【解析】:(1)因为3cos(x+2)=3cos x,所以由周期函数的定义知,y=3cos x的最小正周期为2.(2)因为sin2(x+)=sin(2x+2)=sin2x,所以由周期函数的定义知,y=sin2x的最小正周期为.(3)因为,所以由周期函数的定义知,的最小正周期为

6、4.(4)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos x|的最小正周期为. 解题技巧：（求函数最小正周期的常用方法）(1)定义法，即利用周期函数的定义求解(2)公式法，对形如yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，A0，0)的函数，Teq f(2,|).(3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解跟踪训练一1.（1）函数y=2sin (3x+ QUOTE 6 ),xR的最小正周期是()(A) QUOTE 3 (B) QUOTE 23 (C) QUOTE 32 (D)(2)函数y=|sin

7、2x|(xR)的最小正周期为. 【答案】(1)B；(2) 【解析】(2)作出y=|sin 2x|(xR)的图象(如图所示).由图象可知,函数y=|sin 2x|(xR)的最小正周期为 QUOTE 2 .题型二 化简、求值例2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)= QUOTE 2 sin 2x;(2)f(x)=sin( QUOTE 3x4 + QUOTE 32 );(3)f(x)=sin |x|;(4)f(x)= QUOTE 1-cosx + QUOTE cosx-1 .【答案】(1) 奇函数;(2) 偶函数;(3) 偶函数;(4) 既是奇函数又是偶函数.【解析】(1)显然xR,f(-x)= Q

8、UOTE 2 sin(-2x)=- QUOTE 2 sin 2x=-f(x),所以f(x)= QUOTE 2 sin 2x是奇函数.(2)因为xR,f(x)=sin( QUOTE 3x4 + QUOTE 32 )=-cos QUOTE 3x4 ,所以f(-x)=-cos(- QUOTE 3x4 )=-cos QUOTE 3x4 =f(x),所以函数f(x)=sin( QUOTE 3x4 + QUOTE 32 )是偶函数.(3)显然xR,f(-x)=sin |-x|=sin |x|=f(x),所以函数f(x)=sin |x|是偶函数. (4)由 QUOTE 1-cosx0,cosx-10, 得c

9、os x=1,所以x=2k(kZ),关于原点对称,此时解题技巧：(判断函数奇偶性的方法)判断函数奇偶性的方法(1)利用定义判断一个函数f(x)的奇偶性,要考虑两方面:函数的定义域是否关于原点对称;f(-x)与f(x)的关系;(2)判断函数的奇偶性常用方法是:定义法;图象法. 跟踪训练二1.下列函数中,最小正周期为的奇函数是()(A)y=sin(2x+ QUOTE 2 ) (B)y=cos(2x+ QUOTE 2 ) (C)y=sin(2x+ QUOTE 4 ) (D)y= QUOTE 2 sin(x+ QUOTE 4 )【答案】B【解析】A中,y=sin(2x+ QUOTE 2 ),即y=co

10、s 2x,为偶函数;C,D中,函数为非奇非偶函数;B中,y=cos(2x+ QUOTE 2 )=-sin 2x,是奇函数,T= QUOTE 22 =,故选B.2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为，且当xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)时，f(x)sin x，则f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)等于 ()Aeq f(1,2) B1 Ceq f(r(3),2) Deq f(r(3),2)【答案】D【解析】因为f(x)的最小正周期为T，所以f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)f eq blc(

11、rc)(avs4alco1(f(5,3)2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，又yf(x)是偶函数，所以f(x)f(x)所以f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)sineq f(,3)eq f(r(3),2).题型三 正、余弦函数的单调性例3 求函数y=sin(x+ QUOTE 3 )的单调区间.【解析】当- QUOTE 2 +2kx+ QUOTE 3 QUOTE 2 +2k(kZ)时函数单调递增,所以函数的单调递增区间为- QUOTE 5

12、24 + QUOTE k2 , QUOTE 24 +(kZ).当 QUOTE 2 +2kx+ QUOTE 3 QUOTE 32 +2k(kZ)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为 QUOTE 24 + QUOTE k2 , QUOTE 724 +(kZ).解题技巧：（求单调区间的步骤）(1)用“基本函数法”求函数yAsin(x)(A0，0)或yAcos(x)(A0，0)的单调区间的步骤：第一步：写出基本函数ysin x(或ycos x)的相应单调区间；第二步：将“x”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；第三步：解关于x的不等式(2)对于形如yAsin(x)的三角函数的

13、单调区间问题，当0时，可先用诱导公式转化为yAsin(x)，则yAsin(x)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间余弦函数yAcos(x)的单调性讨论同上另外，值得注意的是kZ这一条件不能省略跟踪训练三1求函数y2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x)的单调增区间【解析】y2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)，令zxeq f(,4)，则y2sin z，求y2sin z的增区间，即求ysin z的减区间，所以eq f(,2)2kzeq f(3,

14、2)2k(kZ)，即eq f(,2)2kxeq f(,4)eq f(3,2)2k(kZ)，解得eq f(3,4)2kxeq f(7,4)2k(kZ)，所以y2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x)的单调增区间是eq blcrc(avs4alco1(f(3,4)2k，f(7,4)2k)(kZ)题型四 正弦函数、余弦函数单调性的应用例4 比较下列各组中函数值的大小： （1）coseq blc(rc)(avs4alco1(f(23,5)与coseq blc(rc)(avs4alco1(f(17,4)；(2)sin 194与cos 160.【答案】（1）coseq blc(rc

15、)(avs4alco1(f(23,5)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(17,4)；（2）sin 194cos 160.【解析】（1）coseq blc(rc)(avs4alco1(f(23,5)coseq blc(rc)(avs4alco1(6f(7,5)coseq f(7,5)，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(17,4)coseq blc(rc)(avs4alco1(6f(7,4)coseq f(7,4)，eq f(7,5)eq f(7,4)2，且函数ycos x在，2上单调递增，coseq f(7,5)coseq f(7,4)，即coseq blc(

16、rc)(avs4alco1(f(23,5)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(17,4).(2)sin 194sin(18014)sin 14，cos 160cos(18020)cos 20sin 70.0147090，且函数ysin x在0 x90时单调递增，sin 14sin 70.从而sin 14sin 70，即sin 194cos 160.解题方法（比较两个三角函数值的大小） (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上(3)已知正

17、(余)弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解跟踪训练四1下列结论正确的是 ()Asin 400sin 50Bsin 220cos 200 Dcos(40)cos 310【答案】C.【解析】由cos 130cos(18050)cos 50，cos 200cos(18020)cos 20，因为当0 x90时，函数ycos x是减函数，所以cos 50cos 20，即cos 130cos 200.题型五 正、余弦函数的值域与最值问题例5 求下列函数的值域:(1)y=cos(x+ QUOTE 6 ),x0, QUOTE 2 ;(2)y=cos2x-4cos x+5. 【答案】（1）-

18、 QUOTE 12 , QUOTE 32 ；（2）2,10.【解析】(1)由x0, QUOTE 2 可得x+ QUOTE 6 QUOTE 6 , QUOTE 23 ,函数y=cos x在区间 QUOTE 6 , QUOTE 23 上单调递减,所以函数的值域为- QUOTE 12 , QUOTE 32 . (2)y=cos2x-4cos x+5,令t=cos x,则-1t1.y=t2-4t+5=(, 当t=-1时,函数取得t-2)2+1最大值10;t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为2,10. 解题方法（三角函数的值域问题解题思路） 三角函数的值域问题的两种类型,一是化为y=Asin(x+)+B的形式,这种类型的值域问题解决方法是利用区间上的单调性;二是与其他函数相复合,最为常见的是与二次函数复合,利用的是三角函数的有界性和二次函数区间的最值.其方法是换元法,把问题转化为二次函数求值域问题.跟踪训练五1. 函数y=2cos2x+5sin x-4的值域为. 【答案】-9