线性代数二次型讲义课件

1、线 性 代 数 通识教育平台数学课程系列教材线 性 代 数 通识教育平台数学课程系列教材第五章 二次型第一节 二次型及其标准形 第二节 正交变换法化二次型为标准形第三节 化二次型为标准形的其他方法第四节 二次型的分类 第五节 二次型在直角坐标系下的分类 第五章 二次型第一节 二次型及其标准形 第二节 正交变换法1了解二次型及其矩阵表示。2会用正交变换法化二次型为标准形。知道化二次型为标准形的配方法。3知道惯性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。本章学习要求：对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟

2、练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。1了解二次型及其矩阵表示。本章学习要求： 二次型就是二次多项式. 在解析几何中讨论的有心二次曲线, 当中心与坐标原点重合时, 其一般方程是 ax2+2bxy+cy2=f (1) 方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于研究这个二次曲线的几何性质, 通过基变换(坐标变换), 把方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程 ax2+cy2=f (2)在二次曲面的研究中也有类似的问题. 二次型就是二次多项式. 在解析几何中讨论的有心考察：方程表示 x y 平面上一条怎样的曲线？图形如何？将 x y 坐标系逆时针旋转/4，即令则得此曲线在新的

3、u v 坐标系下的方程考察：方程表示 x y 平面上一条怎样的曲线？图形如何？将 上述问题从几何上看，就是通过坐标轴旋转，消去式子中的交叉项，使之成为标准方程.而其中坐标轴的旋转所表示的线性变换是正交变换.综上所述，从代数学的角度看，上述过程是通过正交变换将一个二次齐次多项式化为只含有平方项的二次多项式.二次型就是二次齐次多项式.上述问题从几何上看，就是通过坐标轴旋转，消去式子而其中坐标轴定义第七章 二次型与二次曲面二次齐次多项式f (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz称为实二次型. 其中aij 为实常数.

4、一、二次型的矩阵表示1、二次型及其标准形 取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 ,从而, 2a12xy = a12xy + a21yx , 2a13xz = a13xz + a31zx ,2a23yz = a23yz + a32zy .f = a11x2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y2 + a23yz + a31zx + a32zy + a33z2 = x (a11x + a12y + a13z)+ y (a21x + a22y + a23z)+ z (a31x + a32y + a33z)定义第七章 二次型与二次曲面二次齐次多

5、项式f (x, y, 第七章 二次型与二次曲面1、二次型及其标准形= XT AX .称 A 为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵.三元实二 次型 f三阶实对称矩阵 A一一对应AX第七章 二次型与二次曲面1、二次型及其标准形= XT AX例 2 第七章 二次型与二次曲面例 11251111解上一页 ,例 2 第七章 二次型与二次曲面例 11251111解上一页例 2 第七章 二次型与二次曲面上一页例 2若二次型 f 的矩阵为试写出 f .解例 2 第七章 二次型与二次曲面上一页例 2若二次型 f 的例 2 第七章 二次型与二次曲面练习1341010解上一页 ,例 2 第七章 二次型与二次曲面练

6、习1341010解上一页 例 2 第七章 二次型与二次曲面上一页练习若二次型 f 的矩阵为试写出 f .解例 2 第七章 二次型与二次曲面上一页练习若二次型 f 的矩定义1第七章 二次型与二次曲面1、二次型及其标准形n 元二次型及其矩阵表示称 n 元实二次齐次式为 n 元实二次型. 记 aij = aji, 则记 X = ( x1, x2, , xn)T, A =( aij )nn , 则f ( x1, x2, , xn) = X TAX ,其中 A 称为二次型的矩阵，A 的秩称为二次型的秩.定义1第七章 二次型与二次曲面1、二次型及其标准形n 元二第七章 二次型与二次曲面 由于aij = a

7、ji , 所以 A T= A , A中 aii 是 xi2 的系数, aij 是交叉项 xixj 系数的一半.注:n 元实二次型 fn 阶实对称矩阵 A一一对应定义2称只含平方项的二次型 为标准二次型.n 元标准二次型 fn 阶对角 矩 阵一一对应第七章 二次型与二次曲面 由于aij = aji , 第七章 二次型与二次曲面1、二次型及其标准形二、矩阵间的合同关系思考：二次型 f = X TAX 经过满秩线性变换 X = CY 后还是二次型吗?对于二次型 f = X TAX ，作满秩变换 X = CY ,则 f = X TAX = (CY )TA(CY) = Y T(C TAC ) Y .而

8、(C TAC )T = C TAT(C T )T = C TAC ,所以 f = Y T(C TAC ) Y 仍是关于新变量 Y 的二次型, 且二次型的矩阵为对称矩阵 B=C TAC .满秩变换 X = CYf = X TAXF = Y TBY B = C TAC第七章 二次型与二次曲面1、二次型及其标准形二、矩阵间的合定义3第七章 二次型与二次曲面对于 n 阶实对称矩阵 A 和 B ，若存在可逆矩阵 P 使P TAP = B则称 A 合同于B，记作 A B因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，其矩阵与原二次型的矩阵是合同的.上一页合同矩阵的性质：XTAXYTBY经满秩的线性变换 X=P

9、YAB左乘以PT且右乘以P定义3第七章 二次型与二次曲面对于 n 阶实对称矩阵 A 和定义如果满秩变换 X = CY 将二次型 f = X TAX 化成了标准二次型 的一个标准形.为 f = X TAX上一页1、二次型及其标准形三、二次型的标准形这样的矩阵 C 是否存在？定理1对任意的实二次型 f =XTAX, 一定存在满秩线性变换 X=CY, 使二次型化为标准形.推论 1任意给定一个实对称矩阵A, 一定存在可逆矩阵 C, 使得 CTAC 为对角矩阵.定义如果满秩变换 X = CY 将二次型 f = 定义2. 正交变换法化二次型为标准形回顾：正交变换的概念设 是 n 维欧氏空间 Rn 上的线性

10、变换，若对任意的 X, YRn, 有| (X) (Y ) | = | XY | , 则称 为 Rn 上的正交变换.第七章 二次型与二次曲面定理设 是欧氏空间 Rn 上的线性变换，则下列四个条件等价(互为充分必要条件) .(1) 为正交变换 .(2) 把 Rn 的标准正交基变为标准正交基 .(3) | ()| = |, Rn ( 保持向量长度不变 ) .(4) ( (X ), (Y ) = ( X, Y ) ( 保内积不变 ) .定义2. 正交变换法化二次型为标准形回顾：正交变换的概念设定义正交矩阵正交变换在标准正交基下所对应的矩阵称为正交矩阵.第七章 二次型与二次曲面定理 A 是正交矩阵 AT

11、A=E ( 或AAT = E ) .正交矩阵有如下性质：定理 定理 设 A 是正交矩阵 ，则(1) | A | = 1 .(2) A 1 =AT .设 A 是正交矩阵 A 的列(行)向量组为相互正交的单位向量组.定义正交矩阵正交变换在标准正交基下所对应的矩阵称为正交矩阵.2. 正交变换法化二次型为标准形一、实对称方阵的对角化定理 1实对称方阵的特征值都是实数 .证设 是实对称方阵 A 的特征值，X 是对应的特征向量，即将上式两边同时转置，由 A 的对称性，得而因此，2. 正交变换法化二次型为标准形一、实对称方阵的对角化定理定理 2实对称方阵的不同的特征值对应的特征向量必正交.证设 1,2 是实

12、对称方阵 A 的两个不同的特征值，X1, X2 是对应的特征向量，即因为 A 的对称性，得从而，因此，定理 2实对称方阵的不同的特征值对应的特征向量必正交.证设 定理 3 若 是 n 阶实对称方阵 A 的 k 重特征值，则 A 对应于 的线性无关特征向量的最大个数均为 k .实对称方阵相似于一 个对角阵吗？回答是肯定的！单击 此处 可查阅进一步内容定理 4对于任一个n 阶实对称方阵 A, 必存在一个正交方阵 P 使 PTAP 为对角形，且 PTAP 的对角线上的元素均为 A 的 n 个特征值( 重数计算在内), P 的列向量为相应于 n 个特征值的标准正交特征向量.证定理 3 若 是 n 阶实

13、对称方阵 A 的 k 重特征值证设实对称方阵 A 的特征值为（重根计算在内），则由定理3 知，证设实对称方阵 A 的特征值为（重根计算在内），则由定理3 记从而，记从而，定理 5任意一个 n 元实二次型都存在正交变换 X = QY 使得其中 1, 2, , n 就是 A 的全部特征值, Q 的 n 个列向量是 A 的对应于特征值1 , 2, , n 的标准正交特征向量.定理 5任意一个 n 元实二次型都存在正交变换 X = Q第七章 二次型与二次曲面例 1求正交矩阵 Q 使 QTAQ 成对角形矩阵，并求此对角形矩阵.其中 解= ( 2)(2 6 + 5 ) = 0 ,A 的特征值为 1 = 1

14、, 2 = 2, 3 = 5.1 = 1 时, 由 (EA)X = 0, 即上一页第七章 二次型与二次曲面例 1求正交矩阵 Q 使 QTAQ 第七章 二次型与二次曲面解得对应的特征向量为 1 = (0, 1, 1)T;2 = 2 时, 由 (2EA)X = 0, 解得对应的特征向量为 2 = (1, 0, 0)T ;3 = 5 时, 由 (5EA)X = 0, 解得对应的特征向量为 3 = (0, 1, 1)T.上一页将 1, 2, 3 单位化，得故所求的正交变换矩阵为第七章 二次型与二次曲面解得对应的特征向量为 1 = (Q =01000对应于特征值1对应于特征值2对应于特征值5且Q TAQ

15、 =第七章 二次型与二次曲面上一页Q =01000对应于特征值1对应于特征值2对应于特征值5且2. 正交变换法化二次型为标准形第七章 二次型与二次曲面二、正交变换法化二次型为标准形1. 写出二次型 f 的矩阵 A, 并求 A 的全部特征值 1, 2, , n ( 重数计算在内 ) . 2. 求出各特征值的特征向量；若 i 是 k 重根时，找出 i 的 k 个线性无关的特征向量，并用施特正交化方法将它们正交化.步骤：3. 将所得的 n 个正交向量再单位化，得 n 个两两正交的单位向量 P1, P2, , Pn , 记 P = P1, P2, , Pn .则 X = PY 为所求正交变换，f 的标

16、准形为2. 正交变换法化二次型为标准形第七章 二次型与二次曲面二例 1求一个正交变换 X=QY 化二次型成标准形.二次型的矩阵解A 的特征值是 1 = 2 = 3 = 1, 4 = -3.上一页例 1求一个正交变换 X=QY 化二次型成标准形.二次型的矩对于 4= -3,从而可取特征向量 1= ( 1, 1, 0, 0)T , 2= ( 0, 0, 1, 1)T 和 3 = ( 1, -1, 1, -1)T.上一页对于 1 = 2 = 3 = 1, 通过求齐次线性方程组 (A -E)X=0, 得到其基础解系并正交化: 对于 4= -3,从而可取特征向量 1= ( 1, 1,从而可取特征向量4

17、= ( 1, -1, -1, 1)T.将上述相互正交的特征向量单位化，得则在正交变换下，二次标准形为从而可取特征向量4 = ( 1, -1, -1, 1)T.第七章 二次型与二次曲面例 2求一个正交变换化二次型成标准形.二次型的矩阵解A 的特征多项式为A 的特征值是 1 = 2 = 0, 3 = 9.上一页第七章 二次型与二次曲面例 2求一个正交变换化二次型成标准形第七章 二次型与二次曲面对于 1= 2 = 0,从而可取特征向量 p 1= (0, 1, 1)T及与 p1 正交的另一特征向量 p2 = (4, 1, 1)T.上一页对于 3 = 9,取特征向量 p3 = (1, 2, 2)T.第七

18、章 二次型与二次曲面对于 1= 2 = 0,从而可取第七章 二次型与二次曲面将上述相互正交的特征向量单位化，得属于特征值0属于特征值9则存在正交变换使二次型化为标准形上一页第七章 二次型与二次曲面将上述相互正交的特征向量单位化，得属练习解第七章 二次型与二次曲面 已知二次型通过正交变换化成标准形求参数 a 及有所用的正交变换矩阵.二次型 f 的矩阵特征方程为= (2)(26 + 9 a2) = 0 ,A 的特征值为 1 = 1, 2 = 2, 3 = 5 .练习解第七章 二次型与二次曲面 已知二次型通过正交变换第七章 二次型与二次曲面将 = 1 ( 或 = 5 ) 代入特征方程，得a2 4 =

19、 0, a = 2.因 a 0, 故取 a = 2 .这时， 1 = 1 时, 由 (EA)X = 0, 即解得对应的特征向量为 1 = (0, 1, 1)T, 2 = 2 时, 由 (2EA)X = 0 ,解得对应的特征向量为 2 = (1, 0, 0)T,第七章 二次型与二次曲面将 = 1 ( 或 = 5 第七章 二次型与二次曲面 3 = 5时, 由 (5EA)X = 0 ,解得对应的特征向量为 3 = (0, 1, 1)T.将 1, 2, 3 单位化，得故所求的正交变换矩阵为T =01000上一页第七章 二次型与二次曲面 3 = 5时, 由第七章 二次型与二次曲面练习解已知二次型的秩为

20、2, (1) 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值.(2) 指出方程 f (x1, x2, x3) = 1 表示何种二次曲面.(1)此二次型对应矩阵为因 r(A) = 2, 解得 c = 3.第七章 二次型与二次曲面练习解已知二次型的秩为 2, (1)第七章 二次型与二次曲面这时， = (4)(9),故所求特征值为 = 0, = 4, = 9.(2) 由上述特征值可知二次型 f 通过变换，可化为标准形为那么 f (x1, x2, x3) = 1 表示椭圆柱面.第七章 二次型与二次曲面这时， = (4)(9)2. 正交变换法化二次型为标准形三、正交变换法化二次型为标准形在几何方面的应用设 X

21、= (x, y, z ) T ，则三元二次型 XTAX 可以看作空间向量的函数，其中在标准基1，2，3下的坐标就是 X .作满秩线性变换 X = CY ，所得新的二次型 YTCTACY 就是关于空间向量在另一组基1，2，3下的坐标 同一空间曲面在不同空间直角坐标系中的方程2. 正交变换法化二次型为标准形三、正交变换法化二次型为标3. 化二次型为标准形的其他方法第七章 二次型与二次曲面当 n = 1 时，二次型已经是标准形.证一、配方法定理1对任意的实二次型 f =XTAX, 一定存在满秩线性变换 X=CY, 使二次型化为标准形.假设对n -1元的二次型，结论成立.考虑n元二次型当上面的二次型的

22、矩阵 A 为零矩阵时，结论成立.下面假定 A 不为零矩阵.分两种情形讨论：情形 I.A 的主对角元中至少有一个不为零，不妨设a11不为零. 这时3. 化二次型为标准形的其他方法第七章 二次型与二次曲面当其中，令或其中，令或显然上述变换为一个满秩的线性变换，将原二次型化为由归纳假定，对于n-1二次型存在满秩线性变换使之成为标准形，即显然上述变换为一个满秩的线性变换，将原二次型化为由归纳假定，于是满秩的线性变换将原二次型化为标准形，即情形 II.A 的主对角元全为零. 此时 A 中至少有一个元素 aij （i j）不为零，不妨设 a12 0.令于是满秩的线性变换将原二次型化为标准形，即情形 II.

23、A 的则它是一个满秩线性变换，且使得原二次型化为这时，上式右端关于变量的二次型中的系数不为零，故可视为情形 I 处理. 定理得证.则它是一个满秩线性变换，且使得原二次型化为这时，上式右端关于第七章 二次型与二次曲面例 1化二次型因为标准形中只含有平方项. 因此逐个将变量配成一个完全平方的形式. 令解为标准形，并写出所作的满秩线性变换.则第七章 二次型与二次曲面例 1化二次型因为标准形中只含有平方所作的满秩线性变换为练习用配方法化二次型所作的满秩线性变换为练习用配方法化二次型第七章 二次型与二次曲面因 f 中含有 x 的平方项. 可将含 x 的项归到一起, 配成一个完全平方的形式. f = (x

24、2 + 2xy + 2xz) + 2y2 + 6z2 + 6yz= ( x2 + 2xy + 2xz + 2yz +y2 + z2 ) + ( 2y2 y2) + (6z2 z2) + (6yz 2yz) = ( x + y + z)2 + y2 + 5z2 + 4yz = ( x + y + z)2 + ( y2 + 4yz) + 5z2= ( x + y + z)2 + ( y + 2z )2 + z2 ,令解则第七章 二次型与二次曲面因 f 中含有 x 的平方项. 可将第七章 二次型与二次曲面例 2解用配方法化 f = 2xy + 2xz 6yz 为标准形.令再令上一页第七章 二次型与二

25、次曲面例 2解用配方法化 f = 2xy练习用配方法化二次型解令练习用配方法化二次型解令所用变换矩阵为所用变换矩阵为3. 化二次型为标准形的其他方法第七章 二次型与二次曲面二、初等变换法设 A 为 n 阶实对称矩阵，由第一节定理 1 知，存在可逆矩阵 C, 使得 CTAC 为对角阵，即而可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积，即因此，定理 1对任意实对称矩阵 A, 存在一系列初等矩阵 P1，P2, , Ps , 使3. 化二次型为标准形的其他方法第七章 二次型与二次曲面二由于说明，若矩阵 A 经过一系列合同变换 ( 进行初等列变换后再进行同样的初等行变换 ) 化为对角矩阵 D, 则单位矩阵 E

26、 经过相同的一系列列变换化为矩阵 C.这样，我们就得到利用矩阵初等变换化二次型为标准形的方法，即初等变换法.或者，若矩阵 A 经过一系列合同变换 ( 进行初等列变换后再进行同样的初等行变换 ) 化为对角矩阵 D, 则单位矩阵 E 经过相同的一系列行变换化为矩阵 CT.由于说明，若矩阵 A 经过一系列合同变换 ( 进行初等列变换例 3解例 3解故当 时，可使 故当 时，可使 例 4解例 4解所以，所以，第七章 二次型与二次曲面但是通过配方法将二次型 f 化成标准形后, 对应矩阵的秩不变, 即二次型 f 的秩就等于它的标准形的秩, 也就等于标准形中的项数.配方法不能保持 R3 中向量的长度, 从而

27、不能保持几何图形不变 .也就是变成了xy平面上一个半径为比如, xy 面上圆周 x2 + y2 =1, 在变换 x = x + y , y = x y 下, 变成 (x +y )2 + (x y )2 =1. 即上一页第七章 二次型与二次曲面但是通过配方法将二次型 f 化成比如, 第二节例题2中所给的二次型在正交变换下的标准形为 而用配方法得到故经过满秩线性变换可将二次型化为标准形注：同一个二次型有不同形式的标准形，但标准形的秩相同，即平方项的个数相同，并且正系数的平方项个数也相同！这就是所谓的惯性定理.比如, 第二节例题2中所给的二次型在正交变换下的标准形为 定义14 二次型的分类第七章 二

28、次型与二次曲面一、惯性定理和二次型的规范形定理1一个 n 元二次型 f = XTAX 经过不同的满秩线性变换化为标准形后，标准形中正平方项的项数 p 和负平方项的项数 q 都是由原二次型唯一确定的，且其中 r ( A ) 为矩阵 A 的秩.称二次型 f 的标准形中正平方项的项数 p 为二次型 f 的正惯性指数，负平方项的项数 q 为负惯性指数. 若二次型 f 的标准形为如下形式则称为规范标准形，简称规范形. 其中 r 为二次型的秩.（规范形是唯一的）定义14 二次型的分类第七章 二次型与二次曲面一、惯性定理定义2第七章 二次型与二次曲面对于两个 n 元二次型若它们的秩 r 相同，且正惯性指数

29、p 相同（从而负惯性指数也相同），则这两个二次型可以通过满秩线性变换相互转化. 也就可以归为一类. 参数 r 和 p 提供的分类的一个标准.设秩为 r 的 n 元二次型 f = X TAX 经满秩线性变换化为规范形则(2) 若 p = r 0 ;因 A 是正定阵, 存在可逆阵 P , 使PTAP = EX Rn , X 0, 而 P 可逆，即 A = (PT)1P1 , 故 X TAX = X T ( P T ) -1 P1 X= X T ( P 1)T P1 X= ( P 1 X )T ( P1 X ) 0 .故 PX 0, 同理 P1X 0, (1) A 是正定矩阵 ;(2) 对任意的非零

30、向量 X , 有 X TAX 0 .证(3) A 的所有特征值都大于零.正定二次型的规范形的矩阵显然是个单位矩阵. 即单位矩阵是正定矩阵. 那么，怎么判断正定矩阵？定理 2第七章 二次型与二次曲面若 A 是实对称矩阵，则下列第七章 二次型与二次曲面 若A有一个非正的特征值，不妨设 i 0, 存在正交阵P, 使得(2) 对任意的非零向量 X , 有 X TAX 0 ;(3) A 的所有特征值都大于零.令 X = P 1 , 其中 = ( 0, 0, , 0, 1, 0 , , 0 ), X TAX = ( P1 ) T A P 1则 的第 i 个分量是 1，其余分量全为 0. = i 0.= T

31、 (P1) T AP 1 = T 矛盾!= T P AP T 证上一页第七章 二次型与二次曲面 若A有一个非正的特征值，不妨设第七章 二次型与二次曲面因为 A 的全部特征值都大于 0 ， 则 A 所对应的二次型的规范形的正惯性指数就是 n , 故 A 是正定矩阵.(1) A 是正定矩阵(3) A 的所有特征值都大于零.证上一页例 1解f 的矩阵为所以 f 是正定二次型.第七章 二次型与二次曲面因为 A 的全部特征值都大于 0 ，第七章 二次型与二次曲面(1) 设证定理 3 若二次型 XTAX 正定，则上一页(2) 又因为A正定，故存在可逆矩阵C, 使 CTAC=E, 即第七章 二次型与二次曲面

32、(1) 设证定理 3 第七章 二次型与二次曲面例 2故 A, B, C, D 不是 正定矩阵.解上一页另外，C 的对角元第七章 二次型与二次曲面例 2故 A, B, C, D 不是第七章 二次型与二次曲面定理 4 n 元二次型 f = XTAX 正定的充要条件是 A 的各阶顺序主子式 |A k | 0, k =1, 2, , n .其中 ,上一页第七章 二次型与二次曲面定理 4 n 元二次型例 2解f 的矩阵为因为 A 的顺序主子式为所以，二次型 f 是正定的.例 2解f 的矩阵为因为 A 的顺序主子式为所以，二次型 f第七章 二次型与二次曲面练习f 的矩阵由于 A1 = 1 0, |A3 |

33、 = | A | = 3A2 = 3 0.故 f 正定.解上一页第七章 二次型与二次曲面练习f 的矩阵由于 A1 = 1定义34 二次型的分类第七章 二次型与二次曲面若 p = 0, r n 时, 则称 f 为半负定二次型，A 为半负定矩阵.(2) 若 p = 0, r = n 时, 则称 f 为负定二次型，A 为负定矩阵.(3) 若 0 p r n 时, 则称 f 为不定二次型，A 为不定矩阵.三、二次型的其他类型：设秩为 r 的 n 元二次型 f = X TAX 经满秩线性变换化为规范形定义34 二次型的分类第七章 二次型与二次曲面若 p = 定理 5设A是n阶实对称矩阵, 则下列命题等价:(i)