离心率的五种求法

1、离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现椭圆的离心率0 e 1，抛物线的离心率e = 1.一、直接求出a,c,求解e已知标准方程或a,c易求时，可利用离心率公式e = c来求解。a例1.过双曲线C： X2四=1（b 0）的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的 b2两条渐近线分别相交于点B、C，且| AB| = |BC|，则双曲线M的离心率是（）A. v10 B. 0, b 0）的一条渐近线方程为 -4 X，则双曲线的 a 2 b 23离心率为（）A. 5 B. 4 C. 5 D.。3342分析：本题已知b = 4，不能直接求出a、C，可用整体代入套用公式

2、。 a 3山、，斗，一、，一 、，4，解：因为双曲线的一条渐近线方程为2 = 3x，所以b=4，则3a 3e - = 1 + （3）2 - 3，从而选 A。X 22 21.设双曲线一-： = 1 （a0,b0）的渐近线与抛物线y - X2 +1相切，则该双曲线的离 a 2 b 2心率等于（C ）B.2解由题双曲线三-苔=i（a。，b）的一条渐近线方程为,=bx，代入抛物线方程整理得ax2 -bx + a = 0，因渐近线与抛物线相切，所以b2 -物2 = 0，即b b 2 =4 . . e a 2x 2 y 22.过双曲线方-F1（a b 0）的右顶点A作斜率为T的直线该直线与双曲线的两条渐近

3、线的交点分别为B, C .若ab =1BC，则双曲线的离心率是（）2【解析】对于A （【解析】对于A （a,0 ）,则直线方程为x + y-a = 0，直线与两渐近线的交点为B，C，I a + I a + ba + b JC (与 a - baba b，:.e =1 + = 1 + :.e =1 + = b 0）的左焦点F作x轴的垂线交椭圆于点P , F2为右焦点，11D.一31C. 一2b 23b 2 - 小 c，故选B【解析】因为P（一G + ），再由ZF1 PF = 60有斗=2a,即竺=|从而可得，故选B三、构造a、C的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的

4、关系（特别是齐二次式），进而 得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。例3已知椭圆兰+辛=1（ a b0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且 a 2 b 2BF x轴，直线AB交y轴于点P .若AP = 2PB，则椭圆的离心率是（）B显 B显 D.21C.31D.2【解析】对于椭圆，因为 AP = 2PB，则 OA 2OF,二 a = 2c, . e =【解析】对于椭圆，X 2y 21.设F和F为双曲线 = 1（ a 0, b 0）的两个焦点，若F，F , P （0,2 b）是正三12a 2 b 212角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A.B. 2D. 3【解析】兀 -由tan 6

5、 2bC A.B. 2D. 3【解析】兀 -由tan 6 2bC = 3有3c2 4b2 4(c2 a2)，则 e = - 2，故选 B.2b 32双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F、F , ZFMF = 1200，则双曲线的 1212离心率为（）A 0,b 0）， a 2 b2则一个焦点为F（c,0）, B（0,b）一条渐近线斜率为：b一条渐近线斜率为：b，直线FB的斜率为:a. b (- b) = -1，b2 = ac ac/ cc 2 一 a 2 一 ac = 0，解得 e = a5.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2 为等腰直角三角形

6、，则椭圆的离心率是（D ）1A. *B. .-1C. 2 一克 D. 0, b 0）的左、右焦点分别是F，%，过作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若忤垂直于x轴，则双曲线的离心率为（B ）A.柜 B.寸3C.技 D.技3X 2 V 2设F，F分别是双曲线- 的左、右焦点，若双曲线上存在点A，/FAF = 9012a 2 b 21 2且|AF| = 3|AF|，则双曲线的离心率为（B ） 0,b 0 ）的两个焦点，A和B是 L以0为圆心，以OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且速AB是等边三 角形，则双曲线的离心率为（6.解析：连接AF1，匕AF2F1=30 , |AF1|=c , |

7、AF2|f 3c，二 2a = (“3- 1)c , TOC o 1-5 h z 双曲线的离心率为1 +，选D。设F1、F2分别是椭圆三+ bl = 1 （ a b 0 ）的左、右焦点，P是其右准线上纵 坐标为口c（ c为半焦距）的点，且k： |=|F2p，则椭圆的离心率是（）A q-1 B 1 C 非-1 D 皂2222设双曲线2 - bl = 1 （ 0 a b ）的半焦距为c，直线L过（a,0），G,b）两点.已 知原点到直线的距离为笠c，则双曲线的离心率为（）4A. 2B. v3C.气D.樊33解：由已知，直线L的方程为bx + ay - ab = 0，由点到直线的距离公式，得ab3=

8、c，a 2 + b 24又c2 = a2 + b2，二 4ab = 0c2，两边平方，得 16a2 （2 - a2 ）= 3c4，整理得3e 4 - 16e 2 +16 = 0，缶 zLz c 4c2 a2 + b2 1 b2得 e 2 = 4 或 e 2 = 3，又 0 a 2，二 e 2 = 4，二e = 2，故选A11.知F、F是双曲线三-22 = 1（ a 0,b 0 ）的两焦点，以线段FF为边作正三角12a 2b 21 2形MFi F2，若边MFi的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. 4 + 2、的B. v 3 -1 C.十1D.再 +1=芋，即 P( -1,-解：如图，设=

9、芋，即 P( -1,-ZOF P = 600, PF = c,.七=把P点坐标代人双曲线方程，有竺-3C2 = 1 ， 4a 24b 2化简得e4 - 8e2 + 4 = 0解得e = 1+招或。= （舍），故选D四第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应 准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。例4：设椭圆 -三=1 （ a 0, b 0 ）的右焦点为F1，右准线为 于x轴的弦的长等于点F1到的距离，则椭圆的离心率 于x轴的弦,解：如图所示，AB是过于x轴的弦,1v AD 1 L于D ,. AD |为F1到准线的距离，根据椭圆的第二定义,

10、AF| 2 AB 11-=AD AD 21.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为5，焦点到相应准线的距离为1,则该 椭圆的离心率为三）-v2A 气2 B 2|AF | |AF | x/2 2 0, b 0 )的右焦点为F，若过点F且倾斜角为600 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是() A 1,2B G,2)C2,+8)D G,+3)两条准线与尤轴的交点分别为2 .椭圆兰+ b2 = 1 ( a b 0 )的焦点为匕、两条准线与尤轴的交点分别为22M、N，若MN 2|FF2I 0,b 0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双a 2 b 2曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率仑,a a，离心率 e2= OL = Ob N4 ,. e2,选 C椭圆三+ y = 1(a b 0)的焦点为F1 , F2，两条准线与x轴的交点分别为 TOC o 1-5 h z M, N，若IMN1= 2竺,I FF 1= 2c , MN 2IFF I，则四 U，选 D2 已知F、F是椭圆的两个焦点，满足MF - MF = 0的点m总在椭圆