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1、第六章机 器 人 动 力 学东北大学人工智能与机器人研究所2016.106.1 机器人动力学研究概述 本章将在机器人运动学的基础上考虑到力对具有一定质量或惯量的物体运动的影响，从而引入机器人动力学问题；机器人动力学研究机器人动态方程的建立，它是一组描述机器人动态特性的数学方程； 目前主要采用两种理论来建立数学模型： （1）动力学基本理论，包括牛顿欧拉方程 （2）拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程 如同运动学，动力学也有两个相反问题： （1）正问题 （2）逆问题动力学的两个相反问题动力学正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩，求各关节的位移、速度和加速度。动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹，几

2、个关节的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或力矩。动力学方程的一般形式： 式中 分别表示力矩、力、角位移和线位移。牛顿欧拉方程牛顿方程-面向平动：欧拉方程-面向转动：物体转动惯量：物体角速度：力矩式中：6.2 拉格朗日动力学方法6.2.1 用于保守系统的拉格朗日方程 在分析力学一书中Lagrange是用s个独立变量来描述力学体系的运动，这是一组二阶微分方程。通常把这一方程叫做Lagrange 方程，其基本形式为：其中，是所研究力学体系的广义坐标；是作用在此力学体系上的广义力；是系统总动能。6.2.2 用于非保守系统的拉格朗日方程 对于同时受到保守力和耗散力作用的、由n个关节部件组成的机

3、械系统，其Lagrange方程应为：其中，为广义坐标，表示为系统中的线位移或角位移的变量；为作用在系统上的广义力； 是系统总的动能、势能和耗散能，分别为：6.2.3 拉格朗日函数方法 对于具有外力作用的非保守机械系统，其拉格朗日动力函数L可定义为： L=T-V 式中：T系统总的动能；V系统总的势能。 若操作机的执行元件控制某个转动变量时，则执行元件的总力矩 应为： 若操作机的执行元件控制某个移动变量r 时，则施加在运动方向r上的力应为：6.2.4拉格朗日方程的特点 它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式，方程式的数目和系统的自由度数是一致的； 理想约束反力不出现在方程组中，因此建立运动方

4、程式时只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力； Lagrange 方程是以能量观点建立起来的运动方程式，为了列出系统的运动方程式，只需要从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量系统的动能和势能，另一个是表征主动力作用的动力学量广义力。因此用Lagrange方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。6.3 操作机的动力学分析6.3.1 操作机的动力学模型加上负载的 操作机操作机的物理学模型6.3.2 建立拉格朗日函数（1）求动能T先对 求 显然而于是由于根据动能的公，有：再对 求 由于有则得总动能为：（2）求势能V 根据势能的公式V=mgh，式中h为垂直高度，则：得总势能：（

5、3）求得拉格朗日函数L6.3.3 广义力的计算（1）求力矩绕转动执行元件施加的力矩由：可以推出：式中第一项为惯性项，第二项为哥氏项，第三项为重力项。（2）求移动力通过线运动执行元件施加的直线力由：可以推出：式中第一项为惯性项，第二项为向心项，第三项为重力项。6.3.4 应用实例分析例6-1 已知：对于 操作机 对于下面的三种工作情况，试估算力矩 。（1）手臂水平，并伸至全长，静止，（2）手臂水平，并伸至全长， 以最大速率运动，（3）手臂水平，并伸至全长，承受最大转动加速度，kgm52=解：（1）手臂水平，并伸至全长，静止， 由已知条件可得可以推出：（2）手臂水平，并伸至全长， 以最大速率运动，由已知条件可得可以推出：（3）手臂水平，并伸至全长，承受最大转动加速度，由已知条件可得：可以推出：结果分析： 为重力项，通常它远大于其它项； 当 时，即当手臂垂直时， ，可见 重力负载的变化