生化高数第五节极限运算法

1、定义:常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理)证例3解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意例4解解错二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节极限运算法则时, 有一、 无穷小运算法则定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证: 考虑两个无穷小的和 .设当时 , 有当时 , 有取则当因此这说明当时,为无穷小量 .说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如，类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设又设即当时,

2、有取则当时 , 就有故即是时的无穷小 .推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .二、 极限的四则运算法则则有定理 3 . 若( B0 )推论 1 .( C 为常数 )推论 2 .( n 为正整数 )定理4 . 若则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理5: 若且则 x = 3 时分母为 0 !例4.例5 . 求解: x = 1 时分母 = 0 , 分子0 ,但因例6 . 求解: 时,分子分子分母同除以则分母“ 抓大头”原式一般有如下结果：为非负常数 )三、 复合函数的极限运算法则二、 两个重要极限 一、极限存在准则第六节极限存在准则 两个重要

3、极限夹逼准则重要极限(1)例3解2.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:定义例4解例5解1.7无穷小的比较二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 第八节函数的连续性与间断点 一、函数的连续性1.函数的增量2.连续的定义例1证由定义知3.单侧连续定理例. 证明函数在内连续 .证: 即这说明在内连续 .同样可证: 函数在内连续 .在在二、 函数的间断点(1) 函数(2) 函数不存在;(3) 函数存在 ,但 不连续 :设在点的某去心邻域内有定义 ,则下列情形这样的点之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点 . 在无定义 ;为其无穷间断点 .为其振荡间断点 .

4、为可去间断点 .例如:显然为其可去间断点 .(4)(5) 为其跳跃间断点 .间断点分类:第一类间断点:及均存在 ,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在 ,称若其中有一个为振荡 ,称若其中有一个为为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点 .为振荡间断点 .连续函数的运算法则定理1例如,二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例2. 求解:原式例3. 求解: 令则原式说明: 当时, 有例4. 求解:原式(一)最大值和最小值定理定义:例如,闭区间上连续函数的性质 定理1(有界性与最大值最小值定理) 在闭区间上连续的函数有界且一定能取得他的最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.例如,无最大值和最小值 也无最大值