级数的收敛精品课件

1、级数的收敛第1页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二 求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数) 时,时为数项级数;时为幂级数;第2页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二一、数项级数的审敛法1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分审敛法部分和极限第3页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二3. 任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz审敛法: 若且则交错级数收敛 ,概念:且余项

2、若收敛 ,称绝对收敛若发散 ,称条件收敛第4页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二例1. 若级数均收敛 , 且证明级数收敛 .证: 则由题设收敛收敛收敛练习题: P320 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5第5页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二解答提示:P320 题2. 判别下列级数的敛散性:提示: (1) 据比较审敛法的极限形式, 原级数发散 .第6页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二原级数发散 故原级数收敛发散,收敛,用洛必达法则, 原级数发散 第7页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二时收敛 ;时, 为 p 级

3、数时收敛;时发散.时发散.第8页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二P320 题3. 设正项级数和也收敛 .法1 由题设根据比较审敛法的极限形式知结论正确.都收敛, 证明级数法2 因 故存在 N 0,当n N 时从而 再利用比较法可得结论第9页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二P320 题4. 设级数收敛 , 且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛 .问级数提示: 对正项级数,由比较判别法可知级数收敛 ,收敛,级数发散 .例如, 取第10页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二P320 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性

4、:提示: (1) p 1 时, 绝对收敛 ;0 p1 时, 条件收敛 ;p0 时, 发散 .(2)故原级数绝对收敛.第11页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二因单调递减, 且但对所以原级数仅条件收敛 .由Leibniz审敛法知级数收敛 ;第12页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二因所以原级数绝对收敛 .第13页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R : 再讨论 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .P320 题7. 求下列级数的敛散域:练习:(自

5、证) 第14页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二解:当因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .故收敛域为第15页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二解: 因故收敛域为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散; 第16页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二例2.解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在 原级数 = 其收敛半径注意: 此题第17页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二 求部分和式极限三、幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分对和函数求积或求导难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求

6、和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和第18页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二例3. 求幂级数法1 易求出级数的收敛域为第19页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二法2先求出收敛区间则设和函数为第20页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二练习:解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为而在x0P320 题8. 求下列幂级数的和函数：级数发散,第21页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二(4)x0第22页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二显然

7、 x = 0 时, 级数收敛于0, 根据和函数的连续性 , 有x = 1 时,级数也收敛 . 即得又 第23页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二练习:解: 原式=的和 .P320 题9(2). 求级数注: 本题也可利用例3间接求和.例3 第24页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二四、函数的幂级数和傅式级数展开法 直接展开法 间接展开法练习:1) 将函数展开成 x 的幂级数. 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解:1. 函数的幂级数展开法第25页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二2) 设, 将 f (x)展开成x 的幂级数 ,

8、的和. ( 2001考研 )解:于是并求级数第26页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二第27页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二2. 函数的傅式级数展开法系数公式及计算技巧;收敛定理;延拓方法练习: 上的表达式为将其展为傅氏级数 .P321 题11. 设 f (x)是周期为2的函数, 它在解答提示第28页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二思考: 如何利用本题结果求级数根据傅式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有提示:第29页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二P320 6 (2); 7 (3); 8 (1), (3) ; 9(1) ; 10 (1) ; 12 作业第30页，共32页，2022年，5月20日，9点54分，星期二备用题 设幂级数满足解: 设