隐函数及由参数方程所确定的函数的导数课件

1、2022/9/261第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数 第二章 三、相关变化率二、由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数四、小结与思考题2022/9/241第四节 隐函数及由参数方程 2022/9/262一、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）若由方程可确定 y 是 x 的函数 ,由表示的函数 , 称为显函数 .例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数 .则称此隐函数求导方法: 两边对 x 求导(含导数 的方程)2022/9/242一、隐函数的导数（Derivative 2022/9/263在

2、 x = 0 处的导数解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故确定的隐函数例1 求由方程2022/9/243在 x = 0 处的导数解: 方程两边2022/9/264在点处的切线方程.解: 椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即例2 求椭圆2022/9/244在点处的切线方程.解: 椭圆方程两边对2022/9/265的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式两边对 x 求导例3 求2022/9/245的导数 . 解: 两边取对数 , 化为2022/9/266 1) 对幂指函数可用对数求导法求导 :按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:说明:2022/9/246 1)

3、 对幂指函数可用对数求导法求导 :2022/9/267例如,两边取对数两边对 x 求导2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .2022/9/247例如,两边取对数两边对 x 求导2) 有2022/9/268对 x 求导两边取对数又如,2022/9/248对 x 求导两边取对数又如,2022/9/269二、由参数方程所确定的函数的导数（Derivative of Function Determined by Parametric Equation）若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导, 且则时, 有关系,时, 有(此时看成 x 是 y 的函数 )2022/9/249二、由参数方程所

4、确定的函数的导数（Der2022/9/2610二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得若上述参数方程中2022/9/2410二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导2022/9/2611点击图中任意点动画开始或暂停2022/9/2411点击图中任意点动画开始或暂停2022/9/2612解：2022/9/2412解：2022/9/2613而所以，于是所求切线方程为即2022/9/2413而所以，于是所求切线方程为即 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重损害的，全身性疾病，而且不少患者同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如下： 1、早期皮肌炎患者，还往往伴有全身不

5、适症状，如-全身肌肉酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉两腿费力；举手梳理头发时，举高手臂很吃力；抬头转头缓慢而费力。皮肌炎图片皮肌炎的症状表现 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重2022/9/2615解：2022/9/2415解：2022/9/2616确定函数求解: 方程组两边对 t 求导 , 得故例6 设由方程2022/9/2416确定函数求解: 方程组两边对 t 求2022/9/2617三、相关变化率（Related Rates of Change）为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知

6、的相关变化率2022/9/2417三、相关变化率（Related Rat2022/9/2618解：2022/9/2418解：2022/9/26192022/9/24192022/9/2620由(2)可得2022/9/2420由(2)可得2022/9/2621其速率为当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则两边对 t 求导已知 h = 500m 时,例8 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,2022/9/2421其速率为当气球高度为 500 m 时,2022/9/2622内容小结1. 隐函数求导法则直接对方

7、程两边求导2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3. 参数方程求导法4. 相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式2022/9/2422内容小结1. 隐函数求导法则直接对方程2022/9/2623课后练习习题2-4 1（2）（4）；3；5（2）（4）； 6（2）；7；10思考与练习求1. 设答案:2022/9/2423课后练习习题2-4 1（2022/9/2624由方程确定 , 解:方程两边对 x 求导,得再求导, 得当时,故由 得再代入 得 求2. 设2022/9/2424由方程确定 , 解:方程两边对 x 求2022/9/2625试求当容器内水 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,水的两边对 t 求导而