大学一年级高数期末考试题及答案

1、第一学期高等数学期末考试试卷答案一计算题（本题满分35 分，共有5 道小题,每道小题7 分）,limxxcosx2x3x0sinx解:limxxcosx2x32limx1cosx123limx1cosx123x0sinxx0 xx0 xlimx e1 cosx 2311x lnecosx 21 limxln 1cosx23limlncosx22x0 xx0 x lncosxx0 x2x0 xlimsin x1 x0 cos x2x4设 0时， x2x3x 与是等价无穷小,203t dt 与Axk 等价无穷小，求常数k 与 A解:由于当 x3 x0时，t dt 与Axk 等价无穷小 ,所以3 x

2、flim0t 而0 x0Axk03 xft dtf3 x12x1x1332233lim0lim33 limf3 x3 3 xlim xxlim1x0Axx0Akxk 1x02x2Akxk 1x0 6Akx k x0 6 Akx k 1所以，lim11因此， kA1x0 6 Akxk 6x2axb3如果不定积分22x11x2dx中不含有对数函数，求常数a与b应满足的条件解:2xax22将22x11x化为部分分式，有2xax2222x11xABx1xCxD2,21x2x2axb2因此不定积分dx中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数2x11AC0 x2axb2即22x11xBDx1 21

3、x2B1x22x112x1x2所以，有x2axbB1x2D x1 2BDx22DxBD比较上式两端的系数，有1BD,a2D,bBD 所以,得b15计算定积分52min 1,0 x2dx解:minxx2x211x211x1x12x1x2x22x31x3所以，52min 0 x2dx1022x dx152x2 dx13228设曲线 C的极坐标方程为解：a sin 33，求曲线 C 的全长3asin3一周的定义域为330033因此曲线C的全长为32sr20da2sin6202a2sin33asin2033a2二本题满分45 分，共有5道小题每道小题9 分）,求出函数flimnsin12x22解：si

4、nxx1 21x1fxsinx22n12x1x1220 x12因此 x11 与 x2221是函数f2x 的间断点limflim0, limflimsin1，因此1是函数x的第一类可x1x1x1x122222去型间断点limflimsin1， limflim0 ,因此 x12是函数2fx的第一类可去型1111xxxx2222间断点设是函数farcsinx在区间b 上使用Lagrange(拉格朗日）中值定理中的中值,求极限 limb0 b解：fxarcsinx在区间b 上应用 Lagrange 中值定理，知存在0,，使得arcsinbarcsin01b0 12所以，212b因此，arcsinb2l

5、im21lim2barcsinb2limarcsinbb22222b0 bb0bb0arcsinb令tarcsinb，则有2lim2t 2limsin 22tlimsin2 t4b0 t0sintt0t2tlimsin32lim2cos21limcos2t21lim2sin1t04t1t06 t06 t02t3所以，limb0 b3设 f1 xey 01y dy，求0 x dx 解:1fx 01xfx 1xfx dx0在方程fx1 xey 20y dy 中，令 x1，得1 1f 1ey0y 0ey 20y dy0再在方程fx1 xey 20y 两端对 x求导，得fx1 x 2，1因此，f0 x

6、 dx1xfx 01xfx dx01x dx01xe10 x 2 1e0 x2 dx11 e x 221 e1 2研究方程exax2在区间,内实根的个数解：设函数 f2ax e1, fx2axe2ax eax xx e令 f0fx的驻点 0,x22由于a0，所以2xlimfxlimxax e1,limfxlimxax2e xx2a limxe2xa limx1xe2a limx11xe因此，得函数xfx 的性态,00222,fx00fx14ae 211 若 0,2e时，函数fax2 e x1,0 、 、 内各x有一个零点 ,即方程 ex42ax在,内有 3 个实根 若 10，即a时，函数f4a

7、x2e x1,0 、 0,内各有一个零点，即方程exax2在,内有 2 个实根 若 4ae 210,2e时函数 fax2 e x1x,0 有一个零点 即方程 exa x24在,内有 1个实根10设函数fx 可导，且满足fxxfx1 , f00试求函数fx的极值解:在方程 fxxf1 x，得 ftf1 ，即fxxfx1 在方程组fxxxfx中消去fxx , 得积分，注意f00，得 fxf0fxtt2x2xx21x2 dt 即01txfxtx1ln1arctanx 201t222022xx12xx22由 f1x得函数x 的驻点 0,x2而 f2,21x2f00, f102所以, f00是函数 fx

8、 极小值；f111ln2是函数4fx 极大值三应用题与证明题（本题满分20 分，共有2 道小题每道小题10 分11求曲线x 的一条切线，使得该曲线与切线l 及直线 0 2所围成的图形绕x轴旋转的旋转体的体积为最小 解:设切点坐标为t1可知曲线2tx 在 t,t处的切线方程为1yt2tt，或 1xt2t因此所求旋转体的体积为21Vxt02t2x8442t所以， dVdt4823t20得驻点 t2，舍去 t32由于3d 2Vtdt22t316t422t30因而函数 V 在t2处达到极小值， 而且也是最小值因此所求切线3方程为 y3 x14212fx 内可导，且2e f x0arctan1, f 102:至少存在一点:至少存在一点1 使得f121arctan解:因为 fx在闭区间1 上连续,所以由积分中值定理，知存在0,2,使得2e f xarctanxdx2 efarctan02由于ef xarctanxdx01，所以，22 efarctan1再由2f 10，得efarctan4e f 1arctan1作函数 g xe f