静电场恒定电流场习题

1、第一章一、判断题（正确划“静电场恒定电流场 习题错误码划“”）1磨擦起电只能发生在绝缘体上（）r越小，作用力就越大，当r趋2、根据库仑定理，当两电荷的电量一定时，它们之间距离 于零 时，作用力将无限大（） 3、试探电荷的电量r越小，作用力就越大，当r趋P点单独产生的场强的矢量4、一对量值相等的正负点电荷总可以看作是电偶极（）5、A、B两个金属球分别带电，P点的场强等于这两个带电球在 和6、电场线如图所示，P点电势比6、电场线如图所示，P点电势比Q点电势低（7、在实际工作中，常把仪器的机壳作为电势零点所以人站在地上可以接触机壳（8、在静电场中，任何电荷仅在静电力作用下不能处于稳定平衡状态（） 9

2、、在偶极子的电势能公式 W - -P E中包括偶极子正负电荷间的相互作能（R和P2,方向如图所示，它们之间的作用不满足牛顿10、两个电偶极子它们的电矩分别为第三定律（）P211、如果库仑定律公式分母中r的指数不是2,而是其它数，则高斯定理不成立（12、内必无电荷（如果高斯面上12、内必无电荷（电荷沿等势面移动时，电场力永远不作功（）在静电场中，电子沿着电力线的方向移动时，电场力作负功，电势能增加（15、由公式015、由公式点场强仅由该点附近的导体上的面上的面电荷产生的。一部分电)X如图所示，根据静电平衡时电荷面密度按()X曲率分布的规)V18、孤立带电导体圆盘上的电荷应均匀分布在圆盘的两个圆面

3、上。16一部分电)X如图所示，根据静电平衡时电荷面密度按()X曲率分布的规)V18、孤立带电导体圆盘上的电荷应均匀分布在圆盘的两个圆面上。19、对于一个孤立带电导体，当达到静电平衡时，面电荷的相对分布与导体表面的曲率成正20、一个接地的导体空腔，使外界电荷产生的场强不能进入腔内，也使内部电荷产生的场不进入腔外。（）X TOC o 1-5 h z 21、若电荷间的相互作用不满足平方反比律，导体的屏蔽效应仍然存在。（）X22、用一个带电的导体小球于一个不带电的绝缘大导体球相接触，小球上的电荷会全部传到大球上去。（）X带电体的固有能在数值上等于该带电体从不带电到带电过程中外力反抗电力作的功。）V、静

4、电平衡时，某导体表面的电荷在该导体内部产生的场强处处必为零。、25、两个带有同种电荷的金属球，一定相斥。26、真空中有一中性的导体球壳，在球中心处置一点电荷q,则壳外距球心为r处的场强为e q_q,24AX or,当点电荷q偏离中心时，则r处的场强仍为27、接地的导体腔，腔内、外导体的电荷分布，场强分布和电势分布都不影响。（ ）V1SA及28、两个导体A、B构成的带电系的静即（|自为A 7b B）则式中的22qB B分别表示A和B的自能。（29、两个半径相同的金属球，其中一个是实心的，一个是空心的，通常空心球比实心球的电容大。（）X二选择题1在静电场中，下列说法正确的是：A、若场的分布不具有对

5、称性，则高斯定理不成立B、 点电荷在电场力作用下，一定沿电力线运动C、两点电荷间的作用力为F,当第三个点电荷移近时，间的作用力仍为FD、有限长均匀带电直线的场强具有轴对称性，因此可以用高斯定理求出空间各点的场强2在静电场中通过高斯面的通量为零，则：S内必无电荷内必无净电荷外必无电荷上处处为零通过闭合曲面的总通量仅由面内电荷决定通过闭合曲面的总通量为正时，面内？定没有负电荷闭合曲面上各点的场强仅由面内电荷决定闭合曲面上各点的场强为零时，面内 定没有电荷3高斯定理E? dS 3高斯定理E? dS 二乞二1可以说明以下几点4关于静电场下列说法中正确的是：电场和试探电荷同时存在同时消失；由E=F/q知

6、道，电场强度与试探电荷曾反比电场的存在与试探电荷无关电场是试探电荷和场源电荷共同产生的5 一个充电至电量为q,面积为S,板间距离为d的空气平行板电容器，用力将两极板慢慢 拉开，使板间距离 增至2d ,则外力F在拉开平板的过程中做的功为：a、 2a$b、 2痢$6空间有一非均匀电场，其电力线分布如题图所示，若电场中取一半径为的球面（面内无（面内无电荷），已知通过球面的电通量为，则通过球面其余部分的电通量为：C、ASC、一均匀带电的球形橡皮气球，在气球被吹大的过程中，场强不断变小的点是：A、始终在气球内部的点、 始终在气球外部的点、 气球表面上的点D、找不到这样的点8电场中一高斯面S内有电荷 匚、

7、匚，S面外有电荷 匚、，关于高斯定理：A心二，丫务的正确说法是：积分号E是匚、二共同激发的积分号E是匚、二、讥I共同激发的积分号E是匚、一”共同激发的以上说法都不对9同一束电力线穿过大小不等的两个平面和，如图所示，则两个平面的E通量和场强关系是A、= 一4二.匚:！：；：二jd、二: !10空间某处附近的正点电荷越多，则：位于该处的点电荷所受的力越大该处的场强越大若无限远处为电位零点，则该处的电位越高若无限远处为电位零点，则该处的电位能越大11无限大平板电容器的两板A、B带等量异种电荷，现将第三个不带电的导体板C插入AB之间，则：A .电容增加，电压增加B ?电容减少，电压减少C.电容增加，电

8、压减少D ?电容减少，电压增加12真空中有一带电导体，其中某一导体表面某处电荷面密度为，该表面附近的场强大小为二，贝US，那么二是：A .该处无穷小面元上电荷产生的场B ?该导体上全部电荷在该处产生的场C.所有导体表面的电荷在该处产生的场D .以上说法都不对13三个面积相同的平行金属板，板间距离如图所示，其中A、C板相连后接电源正极,板接负极、B板上总电荷量为110C ,则AB及BC间电场强度之比为：B. 3 : 8C. B. 3 : 8C. 1: 1D. 1 : 214有两个放在真空中的同心金属球壳，内壳的半径是 金属球壳之间的，外壳的半径为，这.对电容是：15 一均匀带电球面，若球内电场强

9、度处处为零，则球面上的带电量生的电场强度：15 一均匀带电球面，若球内电场强度处处为零，则球面上的带电量生的电场强度：(T d 口的面元在球面内产A.处处为零B.不一定为零C. 一定不为零D.是常数16两同心空心球壳半径分别为认和)所带的电量分别为16两同心空心球壳半径分别为认和)所带的电量分别为、二和二/ ,若某点与球心相距。当时，该点的电场强度某点与球心相距。当时，该点的电场强度E为:4 吒 *17题图中两个同心球形电容器的接法是a串联,b串联a并联,b并联a串联,b并联a并联,b串联(A)(A)18关于带电导体球中的电场和电位，下列叙述中哪个是正确的A.导体内的电场大小和电位均为零B.导

10、体内的电场大小不为零，电位为零C.导体内的电位与导体表面的电位相等D.导体内的电位较表面电位为底19半径分别为R及r的两个球形导体（Rr）,用一根很长的细导线将它们连接起来（即两 球相距很 远），使两个导体带电，电位为 U,则两球表面电荷密度的比值b大球/ b为:B.r/ R20 一带电导体表面上某点的面电密度为b该点外侧附近场强为,如果将另一带A. R B.r/ R20 一带电导体表面上某点的面电密度为b该点外侧附近场强为,如果将另一带电体移近，则:E N A ?E-仍成立，但二改变* -仍成立，且c不变一不再疑立，但二不变 = -D. 不再成立，且改变21如图所示，平行板电容器中充满三种介

11、质,板面积为S,板间距离为d,左半部分充满1,右边上下部分分别充满2,电介质（已知1 2 3则三部分电容的关系为:A. C1C2C3B.C1C2,C2C3C.C1C2,C2C322 D= 0 E+P成立的条件是：22 D= 0 E+P成立的条件是：A.各向同性介质B.线性介质C.任何介质D.均匀介质23平行板电容器充电后与电源断开，然后将其中充满相对介电常数为的均匀介质，则电容C,两板间电位差U,场强E,电场能量W与充介质前相比变化情况是：A： - : BLTBcT然后将相24平板电容器，用电池将其充电后断开电源，这时在电容器中储存能量为然后将相对介电常数为卜的均匀电介质插入两极板之间，这时电

12、容器储能量W为:人心飘c. JDk(1 +0明F将电容器的介质拉25F将电容器的介质拉A .都增加B .都减小C.前者增加后者减小D.前者减小后者增加26同心金属球壳内、外半径为 极，壳内充以均匀介质、，让球壳带电+q，介质表面化电荷面密度为：A.J - I 1B,3 q0 B 、Ua-Ub=0C、Ua-Ub八 ，当通有稳恒电流时，三种导体内场强在小的关系是：A、匕 A、匕 1 二B、下列四种表述中哪一种是正确的？A、沿电流线的方向电位必降低B、不含源支路中电流必从高电位到低电位C、含源支路中电流必从低电位到高电位D、支路两端电压为零时，支路电流必为零有两个灯泡分别有 220V50W , 22

13、0V500W ,两灯泡串220V的电路中，发现：A、220V500W 灯泡较亮B、标220V50W灯泡较亮C、两灯泡一样亮D、两灯泡都不发光有一电源，电动势是30V ,内阻为1 -】，将它与一盏额定电压为6V,额定功率为12V的小灯泡及一台线圈电阻是21的电动机串联成闭合电路，小灯泡刚好正常发光，则电动机输出功率是：A、50W B、95W C、45W D、36W对于在a,b两节点间的一段含源电路，下述说法中正确的是:A、若两端电位差为零，则电流必为0B、若两端有电位差，则电流必为0C、若电流为零，则两端必无电位差D、若电流从b,则两端电位差仍可能UbUc140两段不同金属导体电阻率之比横截面积

14、之比.一将它们串联在一起后，在两端加上电压U,则各段导体内场强之比40两段不同金属导体电阻率之比横截面积之比.一将它们串联在一起后，在两端加上电压U,则各段导体内场强之比为:A、2B、4C、1/2 D、1三计算题1有两个相距为1有两个相距为2a,电荷均为+q的点电荷。今在它们连线的垂直平分线上放置另一个点电荷q与连线相距为bo试求:(1) q所受的电场力;相距为bo试求:(1) q所受的电场力;(2 ) q放在哪一位置处，所受的电场力最大?解:解法一用直角系分解法求解。取直角坐标系，两q连接的中点为坐标原点 O,如图所示。i i ；:口riqq4吨(十护)F1和F2分别在X轴和Y轴上的投影为于

15、是电荷q所受的合力F在X轴方向的分量为F的为在丫轴方向的分量，大小为：因此，电荷q所受的合电力F的为在丫轴方向的分量，大小为：方向沿丫轴方向根据q所受的电力F=Fj,设式中b为变量，求F对变量b的极值，有=M【（/，严-（/二严-可得：二丹_口寸先（苗-加”门丽汽2丹_口寸先（苗-加”门丽汽2耐（/+护严所以，当q放在处时，所受的电场力最大解法二本题也可以直接用矢量合成法求解（1）根据库仑定律，q所受的电力F1和F2分别为fl有电场力叠加原理可知，q所受的合力gq p4科(/+沪)佰+护F为:此结果与解法一相同。如果选取的电荷q与q同号，F方向与丫轴同向；如果q与q异号，F此结果与解法一相同。

16、如果选取的电荷方向与Y轴反向。(2)同解法一(略)。q的点电荷。现在正方形对角线2如图所示，在边长为a的正方形的4q的点电荷。现在正方形对角线的交点上放置一个质量为m电量为qo(设q0与q同号)的自由点电荷。当将qO沿某一对角线移动一很小的距离时，试分析点电荷qO的运动情况。解：如图所示，取坐标轴0X原点0解：如图所示，取坐标轴0X原点0在正方形的中心，顶点上的点电荷到0电的距离为。沿X轴方向使qO有一小位移x(x?a),左右两个点电荷q对qO的作用力Fx(1)为:马4 需令(盂 + r) 4 g (r - X) 4-o-V肮、尸2)1+#)4r因为xa ,故x1r为两电荷元之间的距离。将dF

17、沿X、Y轴投影，得：dFx=dFcos0 ,dFy=dFsin 0A ATidxdyI 23、如图（a）所示，有一无限长均匀带电直线，其电荷密度为着一根长为L的均匀带电线AB,其线电荷密度为+入+入1A放置+入（1）另外，在垂直于它的方向（2）试求她们间的相互作用力根据对称性可得，为零。因此,F只沿X轴正向，即：解法二有电场强度定义求解。视为许多电荷元dq2的集合,则电场对每个电荷元的作用力为dF=Edq2，各电荷元的dF的矢量x处任取一电荷元带电直线L处于无限长带电直线产生的电场中，若把带电直线L和，即为带电直线L所受的电场力。如图（b）所示。在距无限长带电直线 dq2=入2dx ,由无限长

18、带电直线场强公式可知，dq2处的场强为：方向沿X轴正向。于是有dF = EdqA由于各电荷元所受力的方向均沿X轴正向，所以：一耳叮比处空In心J2 x 2霜毡a若问题中的 入1和入2异号，则F沿X轴负向。根据作用力和反作用力的关系可知，无限长带电 直线所受的作用力F,其大小与F相等，方向相反。4如图所示，在真空中有电量分别为+Q和-Q的A、B两带电平板相距为d （已知d很小），面积为So试分析两板间的相互作用力的大小。+ QA解对于两板间的相互作用力，有人说，根据库仑定律，则 -；又有人说，根据F=QE有题意可知A、B两板可近似认为是无限大带电板，于是，则实际上两种说法都不对。在第一种说法中，

19、因为 d很小，因此两带电板已不能看作是点电荷系统。因此，该问题不能直接用库仑定律求解。在第二种说法中，虽然F=QE是正确的，但对 E的理解有误。因为F=QE中的E是指Q所在处的场强，而在第二种说法却把两板的合场强看作为Q所在e_,e_,因此，A板上的电正确的解法是，A板上的电荷Q在B板Q产生的场中，其荷Q能受的电场力为同理这是一对作用力和反作用力5如图（a）所示，半径为 R的带电圆盘，其电荷面密度沿圆盘半径呈线形变化，为:一1。试求在圆盘直线上距圆盘中心O为x处的场强E解法一将圆盘分成为许多扇形面积，再把每一个扇形面积分成许多弧状带，如图（a）所示。有 一与圆点0相距r的弧状带，带宽为dr ,

20、扇形角为de其上带电量为：dq= bds= brd 0 dr,（在P点产生场强dE,如 图（a）所示。将dE分解为平行与X轴的dEx分量和垂直于X轴的dE，分量，由圆盘的对称性分析可知，点P的场强只有沿X轴方向的分量。因此，只需把全部电荷元再点P的场强dEP的x分量dEPx积分，即可求得圆盘上全部电荷在点P产生的场强。由于：解法二也可以把圆盘分成许多同轴圆环带，如图（b）所示。取一与原点 0相距为r,带宽为dr的圆环带，其上带电量为 dq= bds= b2n rc已知一均匀带电圆环，带电量为q,半径为r,在轴线上产生的场强：4阻(厂2 + ”严因此，如图(b)所示的圆环带在轴线上P点产生的场强

21、为ri对于整个带电圆盘来说，有(1-二网与解法一相同6如图所示,圆孔中心0,-无限大均匀带电平面，电荷面密度为+b,其上挖去一半径为 R4阻(厂2 + ”严因此，如图(b)所示的圆环带在轴线上P点产生的场强为ri对于整个带电圆盘来说，有(1-二网与解法一相同6如图所示,圆孔中心0,-无限大均匀带电平面，电荷面密度为+b,其上挖去一半径为 R低额圆孔。通过并垂直于平面的X轴上有一点P, 0P=x试求P点处的场强。解:本题可用取圆环带的方法请求解，也可用补偿法求解解法一其上带电量为取一细圆环带，其半径为r (rR),带宽为dr,则圆环带的面积为dS=2 n rdr,dq= bdS= b2n rd应

22、用已知带电细圆环在轴线上的场强公式,可得该圆环带在轴线上dE =t?2 求 dr x4 /a ( r + / 1P点产生电场的大小因此，该系统在P点产生总场强的大小为方向沿X轴正方向+ b和-b+ b和-b的两种电荷。若在圆孔上补一个半径为 R、电荷面密度为+b的圆盘，则P点处的场强可以看成是电荷面密度为+b的无限大均匀带电平面在 P点产生的场强E1和电荷面密度为-b半径为R的带电圆盘在P点产生的场强E2的矢量和，由于E1和E2方向均沿X轴方向，P点的总场强E的大小为：E 厂 E-色二一-一(1 -) = 金方向沿X轴正方向。b ,试求球心处的电7如图所示，一半径为 R的半球面，其上均匀地带有

23、正电荷，电荷面密度为 场强度b ,试求球心处的电解:取坐标轴0X,将带电半球面分成许多宽度极窄的半径不同的带电圆环其上任意一个圆环上的带电量为:-7为便于计算，可采用角量描述。因为T ,dl=Rd 0,所以dq= b2n R2sin 解:取坐标轴0X,将带电半球面分成许多宽度极窄的半径不同的带电圆环其上任意一个圆环上的带电量为:-7为便于计算，可采用角量描述。因为T ,dl=Rd 0,所以dq= b2n R2sin 0 c又带电圆环在轴线上一点的场强公式可得该带电圆环在P点产生场强dE曲 _ fA -兀）曲 _ cos Aiq的大小为：“一 ，由于dq为正，故dE方向沿X轴正方向。将dq带入上

24、式，可得:,为所有圆环在P点产生场强的矢量和，则整个半球面在球心P点处产生的场强的大小为方向沿X轴正方向8如图所示，一点电荷 Q处于边长为a正方形平面的中垂线上Q与平面中心0P点处产生的场强的大小为方向沿X轴正方向8如图所示，一点电荷 Q处于边长为a正方形平面的中垂线上Q与平面中心0点距a/2 试求通过正方形平面的电通量0解:以正方形为一面，取一个立方体状的闭合面由高斯定理可知，通过该闭合面的电通量为S将Q包围起来由于立方体的六个表面均相等，且对中心（即Q所在处）对称，所以9通过每一*面的电通量为 Q/6 eo ,也就是通过正方形面积的电通量。解:由于电荷分布具有球对称性，所以它所激发的电场也

25、具有球对称性，其场强的方向沿径向，而且在同一球面上场强处处相等。因此，可用如图所示求解Eo设球内任意点 P到球心O的距离为r,如图所示，在以0为中心，r为半径的球面上各点的场强数值相等，而方向均垂直于球面。因此可以选择此球面作为高斯面，根据高斯定理可得：E dS = SE 亡处（总 b = E A JT2 = qt由于电荷沿径向分布，所以4町品k代入上式得：4丹=1 .4础（1-百如）毡k理）=孚（1-尸）Q4存=，工的若球体半径为R,求解球外一点P的场强时，由高斯定理可知 ：卞此时工护二f竺二4,由-他（1弋占）一产）M KF10、如图（a）所示，在一电荷体密度为p e的均匀带电球体中，挖去

26、一个球体，形成一球形空腔，偏心距为a。试求腔内任一点的场强Eo解:可用补偿法求解。由题意可知，可以设想不带电的空腔等效于腔内有体密度相同的等值异号的两种电荷。这样本题就可归结为求解一个体电荷密度为pe的均匀带电大球体和一个体电荷密度为-pe的均匀带电小球体，在空腔内产生的场强叠加。设P点为空腔内任一点，大球 O的场强分布具有球对称性，小球 O的场强分布也具有 球对称性，于是可分别以O为球心，以r和r 为半径（均通过P点），作高斯面S和S。根据高斯定理，可求得大球在 P点产生的场强为A亍折4 jrra =同理，可求得小球在 p点产生的场强为如图（b）所示，由电场叠加原理可知，P点的总场强盘=四4

27、反竺（厂-尹）=么直=常矢量Zu为:C为:结果表明，空腔内的场强是均匀的，其大小为，其方向为平行于两球心的连线a,由0指向0,如图（b）所示。11、有一半径为R的均匀带电球体，电荷体密度为+ p,今沿球体直径挖一细隧道，设挖隧道前后其电场分布不变，如图所示。现在洞口处由静止释放一点电荷-q ,其质量为m重力在此忽略不计。试求点电荷在隧道内的运动规律。解:沿隧道取坐标轴0X,以球心为坐标原点 0,如图所示。若点电荷-q位于某位置x处时，以x为半径，可作一球形高斯面 S,由高斯定理可求出x处的场强大小为其方向沿X轴正方向。因此在此处点电荷-q受到的电场力为不难看出，F的方向始终是指向球心的。若令k

28、=q p /3 硼F为:F=-kx,这表明点电荷受的力隧道中谐振的圆-q在12半径为R的无限长圆柱体，柱内电荷体密度为常量。试求带电圆柱体内外电场分布隧道中谐振的圆-q在12半径为R的无限长圆柱体，柱内电荷体密度为常量。试求带电圆柱体内外电场分布解:因为电荷相对轴线呈对称分布，所以距轴线为r的场点的场强数值相等，足线形回复力的关系，则-q以0点为平衡位置作简谐振动。由简谐振动知识可知，点电荷频率为：p =ar-br2,r为某点到圆柱轴线的距离，a、b场强方向沿圆柱径向，因此可用高斯定理求解。S,由高斯定理可知：选取长为I ,半径为r,S,由高斯定理可知：当rR时，高斯面S内所包围电荷的代数和为

29、代入可得:13、三块面积均为S,且靠的很近的导体平面A、B、C分别带电Q1、Q2、Q3 ,如图所示。求(1)6个导体表面的电荷面密度bl,(T2(T6O (2)图中a,b,c三点的场强。ASriAASriA解：(1 )因3导体板靠的很近，可将6个导体表面视为6个无限大带电表面。导体表面电荷分因导布可认为是均匀的，且其间的场强方向垂直于导体表面。作如图虚线所示的圆柱型高斯面,因导体在到达静电平衡后内部场强为零,又导体外的场强方向与高斯面的侧面平行,故由高斯定理可得b 2体在到达静电平衡后内部场强为零,又导体外的场强方向与高斯面的侧面平行,故由高斯定理可得b 2b3, b 4b5,再由导体板 A内

30、d点场强为零，可知所以：b仁b,6故点a的场强为6个导体表面产生场强的矢量和AA/ V*| CP* EEo/w E宁逵|2 = _L（%+s +内+ g +屯+毛）2根据上述已知结果，可知2fts得:QiSi -Q2 -Ci6 = mt=-L7f =2 M 12gQ2 Q + 2 -s(2)a,b,c点的场强： y(2)a,b,c点的场强： yA-a2用4 -02- 22祸14、将一块两面总电荷面密度为bO14、将一块两面总电荷面密度为bO的无限大带电金属平板置于与板面垂直的匀强电场E0中,如图所示，试求金属板与电场垂直的两个面上电荷的分布以及金属板外的场强分布0acrPacrPE0中，金属板

31、E0方向如图所示，金属板在外电场中电荷的重新分布后,A、E0中，金属板E0方向如图所示，金属板在外电场中电荷的重新分布后,A、B两表面的电荷面密度分别为bA和(TBO根据无限大带电平面的场强分布公式可知，金属板A、 B两表面在空间激发电场的场强大小分别为rA/vJ解:金属板未放入外电场 E0中时，其两个面上的电荷均匀分布。将其放入外电场在外电场E0 的作用下产生静电感应，引起导体表面电荷的重新分布。设虹=4理=尘方向如图所示由静电平衡条件所知，金属板中任意点P处的场强为零，即方向如图所示由静电平衡条件所知，金属板中任意点P处的场强为零，即耳十尹-护=0又有电荷守恒定律，有b A+ b B= b

32、O迅4 = j 一莓Eq,巾=1+毡Eq联立求解上述关系式，得：可见，这时金属板与外场垂直 的两个表面上电荷面密度不相等由对称性分析可知，电场强度方向仍垂直于无限大平面,由场叠加原表面上电荷面密度不相等由对称性分析可知，电场强度方向仍垂直于无限大平面,由场叠加原理可琉+玛+ 尸+广=且。右边电场中的场强大小为：二吊,心工用知，金属板左边电场中的场强大小为：可见，静电场中放入金属板后，不仅是金属板上的电荷重新分布，而且板外电场的分布也相应改变，无限大带电平板的左方与右方分别为场强数值不同的均匀电场。15、已知点电荷q与一无限大接地导体相距为d,试求：1.导体板外附近一点 P处的场强EP, q与P

33、点相距为R ; 2.导体板面上的感应电荷qo解题意如图（a）所示。由于静电感应，导体板上有感应电荷q分布在导体板的表面。设P点附近导体板面元？ S的面电荷密度为由于P点靠近导体板，则该点的场强为EP= b P/ 0.如图（b）所示，根据导体静电平衡性质，在导体平面内与P点邻近的P点处的场强：EP =0由场叠加原理可知，P点的场强为点电荷q在P点产生的场强EP 1电荷面密度为/的面元？S产生的场强 EP 3的叠加，即EP=EP1 + EP2+EP3=0.E尸1其中:9E尸1其中:9不币衣（R0为q指向？S的单位向量）%=n/俞（n为平板外法向）EP 3沿平板的切向to因止匕EP 3又可写为：EP

34、 =EP nn+EP 由图（b）分析可知 EP n=OEP t=0.qd由此可知：细 2耐小EP垂直于平板指向下方，即-n方向。导体平板上的感应电荷是以垂足O为中心，成圆心对称分布的。取离0点为r处，宽度为dr的细宽环，面积元dS=2 n rdr ,如图（c）所示。DS上的带电量为：（川+斥）近rdr（川+斥）近则导体板上的感应电荷为16、如图所示一导体球原为中性，今在距球心为r0处放一电量为q的点电荷，试求：1.球上的感应电荷在球内P点上的场强EP和电势VP; 2.若将球接地，EP和电势VP的结果如何q和球面解（1）山扑电平衡条件和场叠加原理可知，Pq和球面感应电荷在该处产生的矢量和，且为零

35、，即所以:式取P点到点电荷q的距离。由电势叠加原所以:式取P点到点电荷q的距离。由电势叠加原yr由此，球面感应电荷在P点产生的电势为理可知，P点的电势为点电荷 q和球面感应电荷的总电量为0,所以感应 电荷在0点产生的电势为0,即J V 0=0,因此，上式为：(2)当球体接地后，球体电势为V=0 。由上述分析可知P点的电势：刃=(2)当球体接地后，球体电势为V=0 。由上述分析可知P点的电势：刃=?以：4 而EP仍满足静电平衡条件，即17如图所示，在一个接地导体球附近放一个点电荷离为a。试求导体表面上总的感应电荷q=0E?=所以：q,已知球的半径为日,点电荷q与球心的距解:根据静电感应规律，导体

36、是一个等势体。因导体接地，故令导体球的电势为零，球心0的电势也为零。接地后导体球表面的感应电荷q在球面上的分布是不均匀的，设感应电荷面密度为由电势叠加原理可知，球心0处的电势V0是点电荷q以及球面上感应电荷q共同产生的。点电荷 q在球心0处产生的电势为：因导体球上感应电荷q因导体球上感应电荷q在球面上的分布不均匀，各处b也不一样，所以感应电荷q在球心的电势由积分计算，为妁=竺乞=W肉=妁=竺乞=k 4辗务R 4耐R k4阻R所以，球心0处的总电势为:故q= Rq/a 故q= Rq/a (负号表示感应电荷与球外电荷q的符号相反)18?如图所示，一球形电容器内球壳的外半径为R1,外球壳的内半径为

37、R2,在两球壳间的一半空间里充满相对介电系数为& r的均匀电介质，另半空间里充满相对介电系数为& r2勺均匀电介质。试求此电容器的电容C解：解法一按照电容器的电容定义求解。设球形电容器充有电量Q0,且左半个电容器上充有电量为 Q01 ,右半个电容器上充有电量为Q02 ,由电荷守恒定律可知 ：Q0= Q01+ Q02,为确保电容器的内外两个球壳分别为等势体，两球间的电场强度E呈球面对称分布。由D= 0阿知，D的方向都沿球形电容器的径向，且每种介质中半球面上的电位移大小相等。由含介质时的高斯定理，可求出D1与Q01 , D2与Q02的关系。如图（b）虚线所示,在左、右球面中做高斯面。=对左半球来说

38、：所以：？：，同理，对右半球面来说，有由 D= e 0 rE 可知:E1=Q01/2 ne 0 r1r2,E2=Q02/2电荷守恒公式，得：Q厂2疔，表明D1与D2是不相等的。再001 -金口n 2r0, &由于E1= E2 ,得：冷】 今，将其代入Q厂一喷十 %于是有E =2磬奇（厚i + H根据电势的定义，电容器两极板间的电势差为AZ2临（冷+蒯）”2疗侧+Q尽R2（应卫 丘i） Qo2 （舸+弓I）尽&最后由电容定义式得严_ （2。_ 2他（翰+引焉&尹一Edldr解法二 本题也可用电容器的并联求解。已知充满一种介质的球形电容器的电容,所以半球形的电容器的电容为*2,由于此时电容器为两个

39、半球形的电容器的并联，所以:C=C 左（ r1 +C 右（ r2结果与解法一相同19. 一平行板电容器极板面积为 S,间距为d ,接在电源上弁保持电压为 V,若将极板 的距离拉开 倍，试求：（1）系统静电能的改变；（2）电场对电源做的功；（3）外力对极板做的功。解：（1）因电压V解：（1）因电压V不变，拉开前的静电能为Wx=-CA =，塑厂二曲匕拉后的静电能为2 拉后的静电能为2 2d Ad则系统静电能的改变为结果表明当极板拉开后。系统的静电能减少。史*Ad则系统静电能的改变为结果表明当极板拉开后。系统的静电能减少。史*Ad2d（2）当保持电压一定时，电场对电源做的功为荷的增量 （2）当保持电

40、压一定时，电场对电源做的功为荷的增量 Q为：Q = Q2 Q1 = C2V C1Vd拉开到 2d时，极板上一%一空空旷Q=一%一空空旷Q=结果表示当极板拉开后，在保持夕卜 力0V不变时，电场对电源作正功对极Ad，外力F对极（-至尸）+勺三尸=土板做的功，也可由功能关系获得:A = AW + A =20、偶极子的电矩为p,0点是它的中心，将一电量为q的点电荷从A沿着以O为圆心，R为半径的圆弧ACB移到B点，试求电场对电荷q所做的功。（设R l,l为偶极子的臂长） 解：由于静电力作功与路么无关，如图所示，所以带电荷q从A沿圆弧ACB移到B点，电场对它做的功等于点电荷q从A沿直径移到B点电场对它做的

41、功，又由于点电荷q在静电场中移动时，电场力做的功等于它的电势能能减少的值，所以Bw = .aE dl -q （- B）21、两个共轴均匀带电的细圆环，半径均为a,相距为b,把点电荷q从无穷远处移到各环中心所需作的功分别为A和A,试求两圆环上的电荷5和q2。解：设a、B圆环所带电量分别为5、q2,如图11所示，根据圆环轴线上的电势公式.R01 * 02:2 01 0q_2 Tqiq2把电荷q从无穷远处移到q114- ; 0 a2 b2 201、02克服电场力所需作的功分别为ATI qq24 二；oa2b2勺qi4 二；oa2b2o2q2联立、式得各环所带的电量分别为q2 = 4xa Ja2 +b

42、 2(A2 Ja2 +b 2 _ A a )qbqrJa2 +b 2(A*a 2 +b 2 _ A2a)qbx ,可得到01、02处电势分别为 解：以正方形的中心O为原点，-,求此平面中心的电势。正方形平面为xy平面，正方形由x、y轴和对角线分成八个相等的三角形，由对称性可知，每一个三角形上的电荷在中心O产生的电势相等,只须计算其中一个三角形所产生的电势即可，在三角形区域取面积元dxdy，则电荷元dqdxdy ,由点电荷电势公式得它在。点产生的电势为-dxdyx2y2三角形电势为4 二;dxdy+ y2CJ0dxln(y ,x2 y2 ) ; ,dxIn（1、2）dxln （ 1 2）平面中心

43、的电势为ln （1ln （123、半径分别为R23、半径分别为R1 间分划为三个区域，和R2的两个同心球面都均匀带电，带电量分别为求各区域的电势分布并画出Q1和Q2，两球面把空解：根据高斯定理站E dS得三个区域如图13-1所示，场强变化规律是Ei=0Eii1 Q1解：根据高斯定理站E dS得三个区域如图13-1所示，场强变化规律是Ei=0Eii1 Q14 二;0 r2Em1 Qi Q2根据电势与场强的积分关系式得RiR2II 111二 E dr E二 E dr E1dr,EzdrQ1Q2Q1-J-J-4gR2Q2R2r2 11Q1Q2Q1-J-J-4gR2Q2R2r2 11f E3drQ1iiiE drQ1电势分布曲线如图13-24 二；oQ1 Q24兀名or所示Qi Qi . Q2R24、真空三极管可理想化如下，一个平面（阴极）发射电子，其初速度可忽略不计。一个细金属丝制成的开孔栅极平行于阴极,且离阴极3mm ,其电势高出阴极18V ,第二块平板（阳金属丝制成的开孔栅极平行于阴极,极）在栅极外面12mm处，并处于高出阴极15V的电势，假定栅平面是一个等势面，且假 定阴极与栅极之 间、栅极与阳极之间的电势梯度都是均匀的，还假定栅极的孔径足够大，使电