自控课件28-1概述

1、:状态空间基Input(输入)：由外部施加到系统上的全部激励Output(输出)：能从外部量测到的来自系统的信息。Se(状态)：所谓状态，是指系统过去、现在和将来的状况，可以认为是信息的集合。Sevariable(状态变量状态变量是指能确定系统运动状态的最少数目的一组变量。一个用n阶微分方程描述的系统就有n个独立:状态空间基Input(输入)：由外部施加到系统上的全部激励Output(输出)：能从外部量测到的来自系统的信息。Se(状态)：所谓状态，是指系统过去、现在和将来的状况，可以认为是信息的集合。Sevariable(状态变量状态变量是指能确定系统运动状态的最少数目的一组变量。一个用n阶微

2、分方程描述的系统就有n个独立的变当这了。因此，由阶微分方程描述的系统就有个状态变量。状态变量具有非唯一性，因为不同的状态变量也能表达同一个系统的行为。要注意的是，状态变量不一定是物理上能观察的量，可以是一个纯数学量。3:状态空间基xn(t) Sevector(状态向量)：若以n个状态变量向量x(t)的分量，则x(t)称为状态向量。阶数为n，:状态空间基xn(t) Sevector(状态向量)：若以n个状态变量向量x(t)的分量，则x(t)称为状态向量。阶数为n，也即特征方程的阶数。x1(t),x2,xnSespace(状态空间)：以状态变量的n，称为状态空间。系统在任意时刻的状态向量x(t)

3、是状态空间中的一个点。系统随时间的变化过程，使 在状态空间中描绘出一条轨迹称为状态轨迹etrajectory)4x1(t)x1x x x(t) 2 x n:状态空间基Continuous-time system (连续时间系统)：:状态空间基Continuous-time system (连续时间系统)：x(t) 的定义域为某时间y(t)g(x(t),u(t),Discrete-time system (离散时间系统)x(t) 的自变量 t 只能取到某t0t内的一切实数数域内的离散值。y(tk ) g(x(tk ),u(tk ),tk Linearsystem（线性系统）状态空间表达式中，fg

4、均为线性数, 若它们与时间无关，则称是线性时不变系统（Lineartime- invariable system）。5x(tk1) f(x(tk),u(tk),tk:状态空间基Sevariablesion(状态空间表达式)：将反映系统动态过程的n阶微分方程，转换成一阶微分方程组的形式，并:状态空间基Sevariablesion(状态空间表达式)：将反映系统动态过程的n阶微分方程，转换成一阶微分方程组的形式，并利用矩阵和向量来表示，这就是状态方程。将状态方程与描述系统状态变量与系统输出变量之间关系的输出方程一起了状态空间表达式（或称状态空间模型）。下面就是状态空间表达式的标准描述x(t) Ax(

5、t) y(t) SeContinuous-time OutputDiscrete-time x(t),式中分别为状态向量及其一阶导数,u(t),y(t)分别为系统的输入变量和输出变量, C,D分别为具有一定维数的系统矩阵。6x(k1) Ax(k)y(k) Cx(k) :状态空间基状态方程输出方程状态空间模型传递函数模型状态空间模型方框图若初始x0令：1:状态空间基状态方程输出方程状态空间模型传递函数模型状态空间模型方框图若初始x0令：1(s) (sI 17x(t)Ax(t) sX(s)X(0)AX(s)X(s) (sI XY YX(s) C(sI A)1 C X X(s) X Y(s) G(s

6、)C(sI A)1BD U(s)C1(s)B X(s)(sIA)1B (s)B U(s)Y(s) Xx(t) Ax(t)y(t) Cx(t) :状态空间基对系统状态的描述通常采用三种方式表达：物理变量, 相变量和正则变量.物理变量法基于系统的立的状态变量是指它们不能用其他定义的状态变量来表示8:状态空间基对系统状态的描述通常采用三种方式表达：物理变量, 相变量和正则变量.物理变量法基于系统的立的状态变量是指它们不能用其他定义的状态变量来表示8:系统的状态空间模,义状态变量只有一个储能元件, 电感L, 因此只有一个状态变量定输入 u=e, 由回路方程可以得到状态方程Rba+Rx e11L_u表示

7、输入函数（标准写法），也称之为控制变量。方程 (*)是系统其状态方程的标准形式:系统的状态空间模,义状态变量只有一个储能元件, 电感L, 因此只有一个状态变量定输入 u=e, 由回路方程可以得到状态方程Rba+Rx e11L_u表示输入函数（标准写法），也称之为控制变量。方程 (*)是系统其状态方程的标准形式. 定义一个输出y, 则输出方程可以用状态量和控制变量来表示. 例如：设vL=y, 则输出方程为 yvL eRiRx1 9 R 1iRLdiRiLDie dt:系统的状态空间模, 2个储能元件, L 和电容 x1=vc 定:系统的状态空间模, 2个储能元件, L 和电容 x1=vc 定义两

8、个状态变x2=i 。因此需要列写两个状态方程. e=uvL vR 又和1C:系统的状态空间模x12R 212LLR-L-电路的状态方程为n个一阶微分方程n为独立状态个数1C:系统的状态空间模x12R 212LLR-L-电路的状态方程为n个一阶微分方程n为独立状态个数可以表示为更一般的形式其和xn1的状态向量，本例A为nn矩阵称之为系数矩阵/系矩阵/状态矩阵1:x1C系统的状态空间模R 212LLb 称为控制向量(n1) （因为输入u是一维的其，在这种情况下b是一个控制向量u m维输入, i.e., (MI), B1:x1C系统的状态空间模R 212LLb 称为控制向量(n1) （因为输入u是一

9、维的其，在这种情况下b是一个控制向量u m维输入, i.e., (MI), Bnm 的控制矩阵y(t)vc 如果输出y(t)是流过电容的电压vc, 则系统输出方程为C为ln维lm维被称为输出矩阵/观测矩阵，D被称为前馈矩阵/入输出矩阵，本例中l=1 ，D 如果y为l1维, 则称之为输出向量(MO). 这里 y 是一维输出 :系统的状态空间模列x1=i1 ,x2=状态方程其i2 是系统输出. 定义状态变量为和 .则可以写出2路方程和1个节点方程 +L R3i2:系统的状态空间模列x1=i1 ,x2=状态方程其i2 是系统输出. 定义状态变量为和 .则可以写出2路方程和1个节点方程 +L R3i2

10、i1C节3_ 回回:系统的状态空间模系统状态方程，输入为电流源 i(t)，输出为电压列:系统的状态空间模系统状态方程，输入为电流源 i(t)，输出为电压列有5 个储能元件，状态变量数为 5？为4 下周二题常规设计方和本章设计方法别常规设计方法基于开环传递函数的分析，通过串级/反馈等得到一个好的闭环响应特性(根轨迹, 频域特性, 常规设计方和本章设计方法别常规设计方法基于开环传递函数的分析，通过串级/反馈等得到一个好的闭环响应特性(根轨迹, 频域特性, 反闭环零极点设计 (状态反馈基于零极点配置方法，获得期望的模型或者闭环特性。换句话说,用系统状态反馈的方法获得期望的系统特性r闭环零极点设计 (

11、状态反馈基于零极点配置方法，获得期望的模型或者闭环特性。换句话说,用系统状态反馈的方法获得期望的系统特性r本章所讲的基于状态空间的分析方法可以从SISO系统（实现系统的闭环极点配置）容易地应用至MIMO系统。对于高阶系统来说，可通过将状态方程转换为能控简化设计过程 Acx本章所讲的基于状态空间的分析方法可以从SISO系统（实现系统的闭环极点配置）容易地应用至MIMO系统。对于高阶系统来说，可通过将状态方程转换为能控简化设计过程 Acxbcu需要求取的是前页图中的状态反馈矩阵x Ax Buy Cx Dux Ax Buy Cx Du一个系统的状态空间模型可以表示为：采用状态控制系统的主要目的是除了

12、使系统具有期望的性能外，还可以基于某个性能指标设计最优控制系统,而设计状态反馈系统的必要件是系统能控能观。为了获得所期望的闭环极点，系统满足能控性是必要的。一定要满足？能经典控制理论：常用传递函数描述系统的特性。输出即被控变量。只要系统稳定，系统输出量便可以受控，输出也总是认为可测的。闭环控制系统：多用 SISO 的分析、设计，不需要提出与分析能性与能包括连续时间系统与离散时间系统系统的性能：受闭环经典控制理论：常用传递函数描述系统的特性。输出即被控变量。只要系统稳定，系统输出量便可以受控，输出也总是认为可测的。闭环控制系统：多用 SISO 的分析、设计，不需要提出与分析能性与能包括连续时间系

13、统与离散时间系统系统的性能：受闭环传递函数的零极点影响，其中闭环极点在 S 面上的分布又起决定作用（1）随着系统的复杂化与多样化，系统设计不仅要解决其稳定性问题，还希望能达到最佳的动态响应在S 平面上任意配置闭使系统获得理想的响（2）SISO系统的设计方法不能满足越来越多的系（3）传递函数关注的是系统的外部特性，而人们越来越多关注系统的特现代控制理论：以状态空间表达式描述系统，揭示系统的与规律。状态是被控量，输出量仅是状态的线性组合。问题：（1）能否找到“使任意初始状态转移到任意终值”的控制量能控性问题（包括连续时间系统与离散时间系统（2）能否“由输出量来确定线性组合起来的各状态分量”能观性问

14、题（包括连续时间系统与离散时间系统特并非所有的状态都受输入的控制；有时只存在这样的控制，它使任意初态转移到某些确定的终态，而不是任意的终态。并非所有的状态分量都可被测量，也并非所有的状态分量都可由输出量的测量值来确定。现代控制理论：以状态空间表达式描述系统，揭示系统的与规律。状态是被控量，输出量仅是状态的线性组合。问题：（1）能否找到“使任意初始状态转移到任意终值”的控制量能控性问题（包括连续时间系统与离散时间系统（2）能否“由输出量来确定线性组合起来的各状态分量”能观性问题（包括连续时间系统与离散时间系统特并非所有的状态都受输入的控制；有时只存在这样的控制，它使任意初态转移到某些确定的终态，

15、而不是任意的终态。并非所有的状态分量都可被测量，也并非所有的状态分量都可由输出量的测量值来确定。1960年：在第一届大会（莫斯科（1）“论控制系统的一般理论”（提出能控性与能观性问题Pontryagin “最优过程控制理论中的极大值Bellman （以状态空间模型描述“最优”、“反馈”）并非所有的状态都受输入的控制；有时只存在这样的控制，它使任意初态转移到某些确定的终态，而不是任意的终态。并非所有的状态分量都可被测量，也并非所有的状态分量都可由输出量的测量值来确定。（3）能控性与能观性与稳定性类似，是系统固有的重特性。1960年：在第一届大会（莫斯科（1）“论控制系统的一般理论”（提出能控性与

16、能观性问题Pontryagin “最优过程控制理论中的极大值Bellman （以状态空间模型描述“最优”、“反馈”）并非所有的状态都受输入的控制；有时只存在这样的控制，它使任意初态转移到某些确定的终态，而不是任意的终态。并非所有的状态分量都可被测量，也并非所有的状态分量都可由输出量的测量值来确定。（3）能控性与能观性与稳定性类似，是系统固有的重特性。系统的能控性和能观性与系统的稳定性一样是控制系统的重要性质，是实现各种控制和状态估计的基础，在现代控制理论中起着核心的作用。uxy问题：状态能否被控制？能控性问题系统的能控性和能观性与系统的稳定性一样是控制系统的重要性质，是实现各种控制和状态估计的

17、基础，在现代控制理论中起着核心的作用。uxy问题：状态能否被控制？能控性问题问题：（1）状态能否被控制？能，才可以进行控制器设计（2）状态全部能测量？能，才能实现控制器不能，能否由输出估计出状态能观性问题uxy状态观测器状态观测器状态反馈: 控制器输出方程y 问题：（1）状态能否被控制？能，才可以进行控制器设计（2）状态全部能测量？能，才能实现控制器不能，能否由输出估计出状态能观性问题uxy状态观测器状态观测器状态反馈: 控制器输出方程y Cx状态方程x Ax BuOutlineofChapterOutlineofChapter状态空间模型及状态空间模型及求状态方程输出方程状态空间模型及求状态

18、方程输出方程图系统的一般表示状态空间模型图状态空间模型及求解：齐次方程求状态方程的解是两部分之和，其中一部分是相应齐次方程的解，也就是解的暂态分量。首先考虑齐次状态方程，即输入变量 状态空间模型及求解：齐次方程求状态方程的解是两部分之和，其中一部分是相应齐次方程的解，也就是解的暂态分量。首先考虑齐次状态方程，即输入变量 如果 且初始条件为x(t=0)=x(0)，则状态方程为标量方程，表示了一个一阶系统。可以很容易地求得标量方程的解x(t)x(t)ea(tt0 )0状态空间模型及求解：标量方程求x(t)标量方程的解其中，eat1状态空间模型及求解：标量方程求x(t)标量方程的解其中，eat1请复

19、习幂级数ex的展开(-求解S 域内的解，有sX(s)x(0) x(t)L1(s比较通过不同方式求得的解，它们应该相等。于是有，状态空间模型及求解：状态转移矩x(t)状态空间模型及求解：状态转移矩x(t)x(t) eAt于其中，A 是方阵，是与 A 具有相同阶数的方阵。实际上，expAt是无穷级数，且该无穷级数收敛，具有闭合形式。称为系统的状态转移矩阵 e transition matrix, STM)，可记(t)eAt 状态空间模型及求解：状态转移矩1) 如果A 是对角阵，则expAt 也是对角阵diage1t,e2t状态空间模型及求解：状态转移矩1) 如果A 是对角阵，则expAt 也是对角

20、阵diage1t,e2t,ent A diag1,2,n3) 如果 t p 是相互独立的变量，则A I状态空间模型及求解：状态转移矩e总是非奇异矩阵，其逆矩阵为exp(At)1 状态空间模型及求解：状态转移矩e总是非奇异矩阵，其逆矩阵为exp(At)1 exp(At)exp(Bt) exp(A7) 对于任意非奇异矩阵T，exp(T1ATt)T1A I状态空间模型及求解：状态转移矩exp(A(t p)exp(At)(I At (At)2 )(I A状态空间模型及求解：状态转移矩exp(A(t p)exp(At)(I At (At)2 )(I Ap (Ap)2 eAt )ttIA(t p)A tp2)A 3t p22)(t Ak eA(tp)kexp(At)1 令 p=-t，利exp(At)exp(At) exp(A0) A I 状态空间模型及求解：状态转移矩(t2 t1(t1状态空间模型及求解：状态转移矩(t2 t1(t1 t0(t2 t0对任意t0 为非奇异阵（t为有限值对于线性时不变系统，(teAt 状态空间模型及求解：状态转移矩1)方法直接计2)方法利用斯变换(s)(sI状态空间模型及求解：状态转移矩1)方法直接计2)方法利用斯变换(s)(sI(t)eAt L1(sI 33- A 对角化diag ,12nA TT1,diag, , exp(At)exp(TT1t)n4) 方法