任意角弧度制三角函数定义-老师用

1、 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、角的有关概念从运动的角度看，可分为正角、负角和零角.从终边位置来看，可分为象限角和轴线角.若a与B角的终边相同，则B用a表示为B=a+2kn（kZ）.易误提醒（1）容易把“小于90的角”等同于“锐角”，把“090的角”等同于“第一象限的角”.其实锐角的集合是a|00a90,第一象限角的集合为a|2kna2kn+g,kZ.乙终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等.例题:1.若a=k360+0B=m3600(k,1.若a=k360+0终边的位置关系是（）A.重合B.A.重合C.关于C.关于x轴对称D.关于y轴对称解析：角

2、&解析：角&与0终边相同B与一0终边相同.又角0与一0的终边关于x轴对称.角&与B的终边关于x轴对称.答案：C二、弧度的概念与公式在半径为r的圆中分类定义（公式）1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad表示.角a的弧度数公式|a|r（弧长用l表示）角度与弧度的换算n(180A1=onrad;1rad=180in)弧长公式弧长l=ar扇形的面积公式Slr2la|,r2乙乙易误提醒角度制与弧度制可利用180=nrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.例题：3.弧长为3n,圆心角为4n的扇形半径为，面积为.3l解析：弧长l=3n,圆心角&=4兀

3、，由弧长公式1=|&|,得丫=口=注=4,面积S=1lr=6n.324n答案：46n三、任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么y叫作a的正弦，记作sinaX叫作a的余弦，记作cosay-叫作a的正X切，记作tana各象限符号I正正正II正负负III负负正W负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦例题：.若sina0,则a是（）A.第一象限角B.第二象限角口第三象限角D.第四象限角解析：由sina0,a在第三象限.答案：C.已知角0的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P（4,丫）是角0终边上一点，且sin0=，,则丫=.y解析：由三

4、角函数的定义，sin0=.1i6y，又sin0=-2550,cosa0,cosa0,所以a为第二象限角,2knan+2kn,+2kn,kZ,则;+kn1an+kn,JL乙乙kZ.当k为偶数时，1a为第一象限乙角；当女角；当女为奇数时，1a乙为第三象限角，故选C.答案：C3.在一7200范围内所有与45终边相同的角为解析：所有与45有相同终边的角可表示为：B=45+kX360(kZ),则令一720W45+kX3600,得一得一765WkX360一4576545，解得一丽、0时，r=、/10k,，10sina，10sina+cos3-a=-31+W1o=0；当k0时，r=-a/10k,Asina=

5、-3k=L,一；10k：101/1QkcosakA10sinaA10sina+=3四-3巫=0.3综上,1Qsina+cosF=0.用定义法求三角函数值的两种情况TOC o 1-5 h z(1)已知角a终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r,然后|用三角函数的定义求解.|(2)已知角a的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出|此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题.11.已知a是第二象限角，P(x,丐)为其终边上一点，且cosa=2x,则x=()BC-V2解析：依题意得由此解得BC-V2解析：依题意得由此解得x=%：3选D.答案：D考点三扇形的弧长及面积公式

6、(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解(1)设圆心角是9,半径是r,2r+r9=10r=4,J|r=1,入则%=4=1=8(舍),。斗故扇形圆心角为2.(2)设圆心角是9,半径是r,贝U2r+r9=40.S=29-r2=2r(40-2r)=r(20-r)=一(r10)2+100100,当且仅当r=10时，Smax=100，0=2.所以当r=10,0=2时，扇形面积最大.TOC o 1-5 h z|弧度制应用的两个关注点|I1i(1)弧度制下l=|a|r，S=51r，此时a为弧度.在角度制下，弧长lj：2：i=

7、，扇形面积s=nnr2，此时n为角度，它们之间有着必然的联系.：180360!I|(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形.|2已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是()A4B2C8D1解析：设半径为丫，圆心角的弧度数为0，由S=10r2，8=X0X4，,.0=4.答案：A3(1)满足cos&2的角a的集合为.乙(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，的坐标为.思路点拨(1)利用三角函数线可直观清晰地得出角a的范围.(2)点P

8、转动的弧长是本题的关键，可在圆中作三角形寻找P点坐标和三角形边长的关系.解析(1)作直线x=1交单位圆于C,D两点，连接OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角a终边的范围，故满足条件的角a的集合为a2kn+3nWaW2kn+gn,kZ.(2)如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A,过P作x轴的垂线n2,与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2,n2,以劣弧而=2,即圆心角NPCA=2,则NPCB=2所以|PB|=sin12一；=-cos2,127|CB|=cos2-；=sin2,127所以Xp=2|CB|=2sin2,yp=1+|PB|=1cos2,所以0P=(2

9、sin2,1cos2).答案2kn+3na答案2kn+3naW2kn4n,3kez(2)(2sin2,1cos2)思想点评(1)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置；(2)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系.解析：(1).sin跟踪练习函数y=ln(sin解析：(1).sin,作直线y=平交单位圆于A,B两点，连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角a的终边的范围，故满足条件的角a的集合为，x角a的集合为，x2kn4n,三x2kn32n飞-,kezlTOC o 1-5 h z.、(,n

10、2n答案：2kn+,2kn+y-(kZ)k33/练习1.已知MP、OM、AT分别为角0才0方的正弦线、余弦线、正切线，则k42）一定有（）MPMPOMATOMATMPATATOMMPOMMPATnAA.2nAA.2C.sin1解析：如图所示，MP、OM、AT分别为角0-40y）正弦线、余弦线、正切线，由于W02,所以OMMP，由图可以看出MPAT,故可得OMMPAT,故选D.答案：D.已知sina0,cos&0,则角a的终边所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限口第三象限D.第四象限解析：由sin&0得角a的终边在第三或第四象限，由cosa0得角a的终边在第二或第三象限，所以满足sina0,

11、cosa1的必要不充分条件是（）xgB.xVn6nnC.不x2,x（0,2n）得知小乂二,可以推得nxn；反过来，由2x1,66662n5n一111n如取不x=o2的必要不充分条件是石京兀，故选B.答案：B5.点P从（一1,0）出发，沿单位圆顺时针方向运动7n弧长到达点Q，则点Q3的坐标为（A.C.2，r12，一斗B.解析：设点A（i,o），点p从（一1,0）出发，沿单位圆顺时针方向运动7n弧3长到达点Q，则NAOQ=W2n=n（。为坐标原点），所以NxOQ=2，cos2n3333=-2，sin；：，所以点Q的坐标为一1答案：A6.如果角0的终边经过点16.如果角0的终边经过点1|句，那么ta

12、n0的值是解析：由定义知tan10=X整22n2n2n2n)=,cos33y，则a=TOC o 1-5 h zJ，则a=.已知角a(0Wa0,cos0可得角a的终边在第四象限，又由tana=-332nsin3,一、一111n（0邙0）,定义：sicos二工尹，称“sicos0”为“0的正余弦函数”，若sicos0=0解析：因为sicos0=0n以当0=2kn+,kez解析：因为sicos0=0n以当0=2kn+,kez时所以y0=x0,(nsin20一可V3y所以0的终边在直叫=乂上5当0=2kn+nT，,.Jn)keZ时，si203(,5nn)=si14knH-23n1=cosy=2.、，八

13、n）综上得$1,201二9答案：1.已知扇形0人8的圆心角a为120,半径长为6,(1)求AB的长；(2)求AB所在弓形的面积.解：(1)：a=120=卓，r=6,3，AB的长l=X6=4n.3扇形OAbW1-1义4nx6=12nS=1si11=1X62X=9-.,3,abo2322，S弓形=S扇形0AB”AB0=12nTa10.已知角。的终边上有一点P(x,1)(x=0),且tan0=x,求sin0+cos0的值.解：0的终边过点(x,1)(x/0),tan0=x,又tan0=x,x2=1,x=1.当x当x=1时，sin0金cos0乙因此sin0+cos0=0；当x=1时，sin2当x=1时

14、，sin2,cos2,因此sin0+cos0=一、,；2.综上sin0+cos0=0或一42练习2.已知角9的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos20=()解析：角e的终边在直线y=2x上，.tan9=2.35.八cos29sin2935.29=-5-=THncos29+sin291+tan29答案：B2.在平面直角坐标系中，点0(0,0),P(6,8),将向量OP绕点0按逆时针方向旋转3n后得向量0Q,则点0Q的坐标是()A.(8,6)B.(8,6)C.(6,8)D.(6,8)解析：|OP|=10,且设NxOP=9,63=10=5,sin5.设0Q=(x,y)