三次函数的所有题型

1、【变式】【变式】：设函数f(x)=3x3-x2-3x+1,f(x)在0,4啲满足f(x)c恒成立，求c的取值范围。【变式3】：设函数f(x)=3x3+mx2+x+1在x已(-8,+oo)为单调函数，求m的取值范围。三次函数的基本题型由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a丰0)其导函数为二次函数:f/(x)二3ax2+2bx+c(a丰),判别式为：=4b2-12ac二4(b2-3ac),设f/(x)二0的两根为xx2，结合函数草图易得：(1)若b2-3ac0，且f(xi)-

2、f(x2)0，则f(x)=0恰有一个实根；若b2-3ac0，且f(xi)-f(x2)=0，则f(x)=0有两个不相等的实根；(4)若b2-3ac0，且f(xi)-f(x2)0，则f(x)=0有三个不相等的实根.说明：(1)(2)f(x)=0含有一个实根的充要条件是曲线y=f(x)与x轴只相交一次，即f(x)在R上为单调函数(或两极值同号)，所以b2-3ac0,且f(x)-f(x)0);f(x)=0有两个相异实根的充要条件是曲线y=f(x)与x轴有两个公共点且其中之一为切点，所以b2-3ac0，且f(xi)-f(x2)=0;f(x)=0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=f(x)与x轴有三个公

3、共点，即f(x)有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以b2-3ac0且f(x)-f(x)0),g(x)=x3+bx。当a二3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围。【例题4】：设函数f(x)=3x3-x2-3x+1,f(x)在0,4啲满足f(x)0.求f(x)在区间2,3上的最小值.【例题5】：【2014高考北京文第20题改编】已知函数f(x)二2x3-3x.若过点P(l,t)存在3条直线与曲线y-f(x)相切，求t的取值范围；【变式】已知函数f(x)二2x3-3x.若过点P(1,t)存在2条直线与y二f(x)相切，求t的取值范围；已知函数f(

4、x)二2x3-3x.若过点P(1,t)存在1条直线与y二f(x)相切，求t的取值范围(3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y二f(x)相切？【变式】：已知函数f(x)=3x3-ax2+b在x=-2处有极值.(I)求函数f(x)的单调区间；(口)若函数f(x)在区间-3,3上有且仅有一个零点，求b的取值范围。【例题6】：设f(x)=x3-3(a+1)x2+3ax+1.若函数f(x)在区间(1,4)内单调递减，求a的取值范围；2【变式】已知函数f(x)=3x3+mx2一3m2x+1(m0).若函数f(x)在区间(2m一1,m+1)上单调递增，求实数m的取值范

5、围.【例题7】已知函数f(x)二3x3一ax2+(a2一1)x+b(a,beR)当a丰0时，若f(x)在区间(-1,1)上不单调，求a的取值范围.112【例题8】f(x)=-x3+-x2+2ax若f(x)在(亍+8)上存在单调递增区间，求a的取值范围；32，32答案：1【例题】：设函数f(x)=3x3+x2-3x+1，求函数f(x)的单调区间。解析：f(x)的定义域为R,f(x)=x2+2x-3f(x)=x2+2x-30dxW(-W-3)或(1,+8)，此时为f(x)的单调递增区间；f(x)=x2+2x-30dxw(-8-3)或(1,+8)，此时为f(x)的单调递增区间；f(x)=x2+2x-

6、30dxe(-3,1)，此时为f(x)的单调递减区间。【老吴帮你解后反思】：变式1与例题的区别在于把三次函数的常数项换成参数m,但是不影响函数的单调性。1【变式2】：设函数f(x)=3x3+x2+mx+1，求函数f(x)的单调区间。解析：依题意可得f(x)=x2+2x+m当A=4-4m1时,x2+2x+m0恒成立，故f(x)0，所以函数f(x)在R上单调递增;当A二44m0即m1时,2、；44mx1yj1m11f(x)x2+2x+m0有两个相异实根12x2_一+xm，且x0dxG(1畀一m)或丘(1+dm,+Q，此时为f(x)的12单调递增区间；f(x)二x2+2x+m1时，函数f(x)在R上

7、单调递增；当m0，所以要、W0【变式4】：设函数f(x)=-x3+(m+1)x2+mx+1，求函数f(x)的单调区间。32解析：依题意可得f(x)=x2+(m+1)x+m=(x+m)(x+1)，令f(x)=0，-二m，&=T，(1)m1,xx，即(_8,_m)或(_1，8)为单调递增，(-m，-1)为单调递减；21m=1,x=x,即f(x)三0，所以函数f(x)在R上单调递增；21m1,x1,m,1)或(-,+x)(1,)mx,m单调递减，m单调递增;21(8,)或(-1,+s)(,1)0m1，x,1)或(-,+x)(1,)m1,xx,m单调递增，m单调递减;21综上可知，m综上可知，m0ZT

8、)或讣切单调递减，+)单调递增;m=0,(，T)单调递减，在(-1，+Q单调递增;0m0m1尸1)或m+8)单调递增，(1,m)单调递减;老吴帮你解后反思】：这道题目与【变式4】区别在于，最高次前边的系数不能确定，所以讨论的第一个分界点为m=0,然后在讨论两个根的大小，但是一定注意导函数图像的开口方向，这是易错点。【变式6】：设函数f(x)=1mx3+丄x2+x+c，求函数f(x)的单调区间。32提示：求导后，分析二次函数的最高幕系数不确定，所以要讨论m与0的关系，在m右)的情况下，讨论A的正负。例题2】：设函数f例题2】：设函数f(x)=X3一X2-3x+13，求f（x）的极值。解析：定义域

9、为xeR，依据题意可知广（x）=x2-2x一3，令广（x）=x2-2x一3=0,一1，叮二3X-1X-1(-1,3)3(3,+Qf(x)f(x)00f(x)0f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增f(-1)=8f=-8f（X）=-X3-X2-3X+1、【例题3】：设函数3，求f（x）在0,4啲最值。解析：定义域为xeR，依据题意可知=x2-2x-3，令广（x）=x2-2x-3=0Xi=一1(舍)3=3x0(,3)3(3,4)4八x)f(x)0f(x)f()=1单调递减极小值f=-8单调递增7f=-3通过表格可以发现，最大值为f（）=1，最小值f（3）=一8【变式1】：【2005高考北京文

10、第19题改编】已知函数f(x)=-X3+3x2+9x+a,若f(x)在区间-2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值解析：依据题意，f，(x解析：依据题意，f，(x)=_3x2+6x+90 x=1,x=312舍)x-2(2,1)-1(-1,2)2f(x)f(x)0f(x)/(-2)=2+a单调递减f(1)=5+a单调递增f(2)=22+a由表可知f(x)的最大值为f=22+a=20,所以a=-2.f(x)的最小值为f(1)一5+a=-7.【变式2】:【2012高考北京文第19题改编】已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx。当当a二3,b=-9时，若函数f(x)+g(x

11、)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围。解析：依据题意,h(x)二f(x)+g(x)二x3+3x2一9x+1h(x)二3x2+6x一9,h(x)二0,珥二1,=一3x(-卩-3)-3(-3,1)-1(-1,2)2八x)f(x)00f(x)0f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增f=3f(-3)=28f(-1)=12结合函数单调性可知，要使h(x)最大值为28，必须使k-3。【老吴帮你解后反思】：在解决函数问题时，一定要结合函数的单调区间及极值大致绘出函数图像(如下图)，通过图像一目了然就可以观察出k一32X【例题4】：设函数fW2X【例题4】：设函数fWX3一X2-3x+13f(

12、x)在0,4啲满足/(x)c恒成立，求c的取值范围。解析：定义域为解析：定义域为xeR，依据题意可知f3=x2-2x-3，令广（x）=x2-2x-3=0曽T（舍）3=3X0(,3)3(3,4)4f(x)f(x)0f(x)f()=1单调递减极小值f=-8单调递增7f一3通过表格可以发现，最大值为f（）=1，最小值f（3）=-8在0,4啲满足f（x）1.变式】：设函数fx1变式】：设函数fx1X3一X2一3X+1f（x）在0,4的满足f（x）c恒成立，求c的取值范围。解析：定义域为xeR，依据题意可知f，（x）=x2-2x一3，令f，（x）=x2-2x一3=Xi=-1(舍)X2=3x0(,3)3(

13、3,4)4f(x)f(x)0f(x)f()=1单调递减极小值f=-8单调递增7f一3通过表格可以发现，最大值为f（）=1，最小值f（3）=-8在0,4的满足f（x）c恒成立，必须使cC恒成立，满足fmin（X）C；f（X）C恒成立，满足fmax（x）c。【例题5】：【2014高考北京文第20题改编】已知函数f(x)二2x3-3x.若过点P(l,t)存在3条直线与曲线y-f(x)相切，求t的取值范围；方法一：(2)设过点.p(1,t)的直线与曲线p=相切于点区则J-.=2xJ-3x,且切线斜率杯二喝-3,所限切线右程为丁一出=3云-3(工-花)，因此-此,=(百云-3)1-兀)，整理得、4-6;

14、.-?-3:.小设=2E-齐则过点皿“存在条直箜打曲线y=/(x)相切等价于“菖有3牛不同零点.3g(x)=12*-12a-=12X-1)，(X)与g(x)的情况如下：X(兀X(兀0)0.-菖+0苕/t+3(空)1a+.Q.+、t+1/所以g(0)=-3是e(x)册极九值，=fT杲目()册极小值，当(0)=+30且莒(I”：0,即一3“：一1时,因两*TO莒=110,所以宮分别为区间T：0):0:1)和l:2j上恰有1牛零点.，由干e(x)在因间(-x:0)和(l:4-x)上单调，所以(乂)分别在区间i；-x:0)和l:-oc)上旨有1个索综上可知，当过点尸1卫存在3条直线与曲结-=f(x)相

15、切时，t的取值范围是-玄-1).方法二：C2)谩过点F厲“的直续与曲纯y丁(刈丰昌切于点.gH),则兀=2嘟-轨、且切翳率为k=6-3r馳切妹方程沟y旳=佃帚-3)仗-时Slb：.r-.v=i/.y:-3j11整理得乜-；_占少4x34x3-6x2+3=t00设g(x)=4x3-6x2+3h(x)=t，则“过点P(l,t)存在3条直线与曲线yy二f(x)相切等价于y二g(x)与歹二h(x)图像有三个交点。g(x)二12x2-12x二12x(x-1).当x变化时，g(变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下:x(-8,0)0g(x)+0g(x)单调递增3(0,1)1(1,+8)-0+单调递减1单

16、调递增所以，g(0)二3是g(x)的极大值，g二1是g(x)的极小值.结合图像知，当y=g(x)与y=h(x)有3个不同交点时，有1t3,即-3t-1或t0，得x0,令ff(x)0，得-2x0,f(x)的单调递增区间是(心，-2)和(0,+),单调递减区间是(-2,0)。(解法一：由知，f(x)=1x3+x2+b，4f(-2)=3+b为函数f(x)极大值，f(0)=b为极小值。函数f(x)在区间-3,3上有且仅有一个零点，.If(-3)0或If(-3)0或f(-2)=0或f(-3)01f(0)0f(-2)0f0f044即47c，-18b，即b的取值范围是-18,)。-+b0)若函数f(x)在区

17、间(2m-1,m+1)上单调递增，求实数m的取值范围.解析由于m0,f(x),f(x)的变化情况如下表：x(-8,-3m)-3m(-3m,m)m(m,+8)f(x)+00+f(x)单调增极大值单调减极小值单调增所以函数f(x)的单调递增区间是(-0-3m)和(m,+Q.要使孑(忙)在区间(2m-1,陀+1)上单调爲增，应有喘+1E-H觀或2喘一1王牌，解得用W扌或喘土1.又30且+12m-所LM2.目卩实数啲的取值范H制|2j.1【例题7】已知函数f(x)二3X3一ax2+(a2一1)x+b(a,beR)当a丰0时，若f(x)在区间(-1,1)上不单调，求a的取值范围.解析因为函数f(x)在区间(-1,1)不单调，所以函数f(x)在(-1,1)上存在零点.而f(x)=0的两根为a-1,a+1,区间长为2，二在区间(-1,1)上不可能有2个零点所以f(-1)f(1)0，即a2(a+2)(a-2)0,va20,，(a+2)(a-2)0,-2a0打在(刍呦上单调谨减2【例题9】已知函数f(x)=-x3-2x2+(2-a)x+1，其中a0.求f(x)在区间2,3上的最小值.解：方程f(x)=0的判别式人=8a