相似矩阵与方阵可对角化的条件课件

1、相似矩阵与方阵可对角化的条件 4.3相似矩阵与方阵可对角化的条件 4.34.3.1 相似矩阵的概念定义设 都是 阶方阵，若存在一个 阶可逆矩阵 使则称矩阵 与 相似或称 是 的相似矩阵，称 为由 到 的相似变换矩阵或过渡矩阵，运算 称为对 进行相似变换. 相似则等价，即相似关系是一种等价关系.4.3.1 相似矩阵的概念定义设 都是 例 设 可逆，令计算并判断 与它们是否相似.解例 设 可逆，令计算并判断 与它们是否相似.解由定义， 与 相似， 与 也相似.由此可知，与 相似的矩阵不是唯一的，也未必是对角阵，但可以适当选取 使 成为对角阵.由定义， 与 相似， 与 也相似.由此可知，相似矩阵的性

2、质（1）反身性： 与 相似.（3）传递性：若 与 相似， 与 相似，则 与 相似.（2）对称性：若 与 相似，则 与 相似.相似矩阵的性质（1）反身性： 与 相似.（3）传递性（4）若 与 相似，则（5）若 与 相似，且 可逆，则 也可逆，且 与 相似.（4）若 与 相似，则（5）若 与 相似，且（6）若 与 相似，则 与 相似， 的多项式也相似.则其中特别地，若 取对角矩阵（6）若 与 相似，则 与 相似， （7）若 与 相似，则 与 相似.定理相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同.（7）若 与 相似，则 与 推论 若 阶方阵 与对角阵相似，则 为 的 个特征值，且若是方阵 的特征多项式

3、，则有证明因为 与对角阵 相似，而 是的 个特征值，由定理， 的 个特征值也应该是同时，它们也是 的特征方程的解，因此有推论 若 阶方阵 与对角阵相似，则 由相似的定义，存在可逆矩阵 使即由相似矩阵的性质可知由相似的定义，存在可逆矩阵 使即由相似矩阵的性质可知4.3.2 方阵可对角化的充要条件证明可相似对角化.若方阵 可以与一个对角阵相似，则称定理 阶方阵 可对角化的充要条件是 有个线性无关的特征向量.必要性若方阵 可对角化，则存在可逆矩阵 使对角阵 则令4.3.2 方阵可对角化的充要条件证明可相似对角化.若方阵则 可写成从而有于是有则 可写成从而有于是有由于 可逆，知 线性无关，即 有 个线

4、性无关的特征向量必要性设 有 个线性无关的特征向量其对应的特征值分别为即取则 可逆且由于 可逆，知 线所以表明 与对角矩 相似.所以表明 与对角矩 相似.说明推论 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相同，则 与对角阵相似，即 可相似对角化.（1）当 可对角化时，使其与 相似的可逆矩阵 的列向量 是对角阵上的对角元素（特征值）的特征向量.说明推论 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相同，则（2）如果 的特征方程有重根，此时不一定有 还是能对角化对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能（2）如果 的特征方程有重根，此时不一定有 还是能对角化例 判断下列矩阵是否相

5、似于对角矩阵？解若相似，则求出可逆矩阵 使 是对角阵.（1）求特征值：例 判断下列矩阵是否相似于对角矩阵？解若相似，则求出可故 的特征值为且 不相似于对角矩阵. 若不然，如果 相似于对角阵 则有可逆阵 使就是单位阵，从而这显然是错误的，所以不相似于对角阵.故 的特征值为且 不相似于对角矩阵. 若不然，如果 （1）求特征值：故 的特征值为再求特征向量：当 时，解方程组 由（1）求特征值：故 的特征值为再求特征向量：当 得基础解系为特征向量为所以对应于 的全部取一个特征向量得基础解系为特征向量为所以对应于 的全部取当 时，解方程组 由所以对应于 的全部特征向量为得基础解系为（ 为不同时为零的实数）.当 时，解方程组 取两个特征向量由 线性无关，知 与