高等数学复习课件

1、医用高等数学知识概要医用高等数学知识概要1）函数的极限2）无穷小3）函数的连续性一、极限与连续1）函数的极限2）无穷小3）函数的连续性一、极限与连续左右极限求极限的常用方法极限存在的充要条件无穷小的比较数列极限函 数 极 限等价无穷小及其性质无穷小左右极限求极限的常用方法极限存在的无穷小的比较数列极限函 左极限右极限左极限右极限定义:无穷小的比较定义:无穷小的比较定理(等价无穷小替换定理)等价无穷小的性质定理(等价无穷小替换定理)等价无穷小的性质(1)(2)两个重要极限(1)(2)两个重要极限洛必达法则洛必达法则1)2)1)2)3)4)3)4)5)6)5)6)左右连续间断点定义连 续 定 义连

2、续的充要条件 振荡间断点 无穷间断点 跳跃间断点 可去间断点第一类 第二类左右连续间断点定义连 续 定 义连续的 振荡间断7)讨论在x0和x1处的连续性。7)讨论在x0和x1处的连续性。8)设要使f(x)在x0处连续，求a的值。8)设要使f(x)在x0处连续，求a的值。求 导 法 则基本公式导 数微 分关 系二阶导数函数的导数求 导 法 则基本公式导 数微 分关 系二阶导数函数的导数1、导数的定义1、导数的定义2.右导数:单侧导数1.左导数:2.右导数:单侧导数1.左导数:2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）3、求导法则(1) 函数的

3、和、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导法则3、求导法则(1) 函数的和、差、积、商的求导法则(2) 反(3) 复合函数的求导法则(4) 对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:(3) 复合函数的求导法则(4) 对数求导法先在方程两边取对5、导数与微分的关系定理6、 微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.5、导数与微分的关系定理6、 微分的求法求法:计算函数的导数基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 函数和、差、积、商的微分法则7、 微分的基本法则 微分形式的不变性 函数和、差、积、商的微分法则7、 微分的基本法则 微分形式典型例题例1

4、已知，求，存在，则在处可导 ？例2已知典型例题例1已知，求，存在，则在处可导 ？例2已知例3例3高等数学复习课件Lagrange中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘.导数的应用导数的应用Lagrange导数的应用导数的应用拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理导数的应用定理(1) 函数单调性的判定法导数的应用定理(1) 函数单调性的判定法定理(必要条件)定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.定理(必要条件)定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取定理(第

5、一充分条件)定理(第二充分条件)定理(第一充分条件)定理(第二充分条件)求极值的步骤:求极值的步骤:步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)(3) 最大值、最小值问题步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的实际问题求最值应注意:1)建立目标函数;2)求最值;(4) 曲线的凹凸与拐点定义实际问题求最值应注意:1)建立目标函数;2)求最值;(4) 高等数学复习课件定理1定理1利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步(5) 函数图形的

6、描绘利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步(5) 函数图形的描绘第三步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;第五步第三步第四步 确定函数图形的水平、铅例7解奇函数例7解奇函数高等数学复习课件列表如下:列表如下:极大值拐点极小值极大值拐点极小值作图作图积分法原 函 数基本积分表第一换元法 第二换元法直接积分法分部积分法不 定 积 分不定积分积分法原 函 数基第一换元法 直接分部不 定 积 分不定1、原函数定义原函数存在定理即：连续函数一定有原函数1、原函数定义原函数存在定理即：连续函数一定有原函数不定积分(1) 定义不定积分(1) 定义(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的

7、.(3) 不定积分的性质(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.(3) 不定积分3、基本积分表是常数)3、基本积分表是常数)高等数学复习课件5、第一类换元法4、直接积分法第一类换元公式（凑微分法）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.5、第一类换元法4、直接积分法第一类换元公式（凑微分法）由定常见类型:常见类型:6、第二类换元法第二类换元公式6、第二类换元法第二类换元公式常用代换:常用代换:7、分部积分法分部积分公式8.选择u的有效方法:LIATE选择法L-对数函数；I-反三角函数；A-代数函数；T-三角函数；E-指数函数； 哪个在前哪个选作u.7、分部积分法分部积分公式8

8、.选择u的有效方法:LIATE选9、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分定义两个多项式的商表示的函数称之.真分式化为部分分式之和的待定系数法9、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分定义两个多项式典型例题例1例2例3例4典型例题例1例2例3例4例5例8例7例6例5例8例7例6高等数学复习课件存在定理广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式定积分存在定理广义积分定积分定积分定积分的牛顿-莱布尼茨公式定积分变上限函数导数公式定理1变上限函数导数公式定理1定积分的计算法换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积分公式定积分的计算法换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积

9、分公定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积直角坐标情形定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积直角坐标情形广义积分(1)无穷限的广义积分广义积分(1)无穷限的广义积分例1典型例题例2已知求f（0）例1典型例题例2已知求f（0）例3例4设F(x)= ，其中是连续函数，则 例3例4设F(x)= ，其中是连续函数，则 例5求由曲线和所围平面图形的面积. 例5求由曲线和所围平面图形的面积. 微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题.微分方程微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;的方程,称为可分离变量的微分方程.1）可分离变量的微分方程的方程,称为

10、可分离变量的微分方程.1）可分离变量的微分方程例1. 求解微分方程解分离变量两端积分例1. 求解微分方程解分离变量两端积分一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.2）一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐齐次方程的通解为1. 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)齐次方程的通解为1. 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使解：1）先分离变量例22）两边积分解：1）先分离变量例22）两边积分解：1）先求 的通解例32）常数变异法，令3）代入原方程，得解：1）先求 概率的基本公式一、加法公式定理1. 设A; B 为任意两

11、个事件,则: P(A+B) = P(A) +P(B) P(AB) AB概率的基本公式一、加法公式定理1. 设A; B 为任意两个事二、乘法公式1.条件概率定义:事件A和B,若P(A)0,则下式称为在事件A 发生的条件下B发生的概率或BA二、乘法公式1.条件概率定义:事件A和B,若P(A)0,则三、全概率公式及Bayes公式完备事件组:事件A1 , A2 , , An两两互不相容,且全概率公式设事件A1 , A2 , , An为一完备事件组,则对任一事件B,都有:三、全概率公式及Bayes公式完备事件组:全概率公式Bayes公式（逆概率公式）另：Bayes公式（逆概率公式）另： 患结核病的人胸透

12、被诊断为结核病的概率为0.95，而未患病的人误诊的概率为0.002，又知某城镇居民的结核病患病率为0.001，现有一人经胸透被诊断为结核病，问确实患有结核病的概率？解：设A：被诊断为结核病；B：确实患有结核病 P(B|A)例1已知P(A|B)=0.95, =0.002,P(B)=0.001.求 患结核病的人胸透被诊断为结核病的概率为0.95，而未患病 某医院采用A、B、C、D四种方法医治某种癌症，在该癌症患者中采用这四种方案的百分比分别为0.1、0.2、0.25、0.45，其有效率分别为0.85、0.80、0.70、0.6.问:(1)到该医院接受治疗的患者, 治疗有效的概率为多少？（2）如果一患者经治疗而收效，最有可能接受了哪种方案的治疗？ 例2 某医院采用A、B、C、D四种方法医治某种癌症，在该癌为 X 的分布函数. 设 X 为 r.v., x 是任意实数,称函数随机变量的分布函数定义为 X 的分布函数. 设 X 为 r.v., x 是任意实连续型随机变量及其概率密度函数概率密度函数: 或者 连续型随机变量及其概率密度函数概率密度函数: 或 已知分布函数求:p(4); p(1)及密度函