A题 蜘蛛网模型

1、 11/11A题 蜘蛛网模型 数学建模网络挑战赛 承诺书 我们仔细阅读了第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的 数学建模网络挑战赛 编号专用页 参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：1491 竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）： 竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）： 2012年第五届“认证杯”数

2、学中国 数学建模网络挑战赛 题目蜘蛛网的最优结构 关键词蛛网结构；捕食区面积；捕丝间距；Matalb 英文 1 问题的重述 一、背景知识 1.蜘蛛的简介 蜘蛛是节肢动物门(Arthropoda)、蛛形纲(Arachnida)、蜘蛛目(Araneida 或Araneae)所有种的通称。在现生种中只有不到1的种类蜘蛛是终生群居或是亚群居的，其它种类均为寡居种，但是无论是群居种类还是寡居种类都要经历群居生活阶段，这种群居生活经历的长短随种类不同而异。 对于结网型蜘蛛而言，网不仅是捕食工具，有时也可作为防御天敌的工具和繁殖场所，其生活史各阶段与网都有着密切联系。因此，对蛛网结构和性能的研究是了解蜘蛛分

3、类和生活史的重要手段。作为结网型蜘蛛的捕食工具，蛛网结构影响着蜘蛛捕捉效率，反映了蜘蛛的捕食投入，也反映了蜘蛛在不同条件下的捕食策略,小型蜘蛛更偏爱于小型猎物，随着其个体的增大将更偏爱于大型猎物。在不同的内外环境条件影响下，蜘蛛会通过蛛网结构性能上的相应变化来调整捕食策略和维持网结构的稳定性。 2.蜘蛛丝介绍 蜘蛛的肚子里有许多丝浆，它的尾端有很小的孔眼。结网的时候，蜘蛛便将这些丝浆喷出去。丝浆一遇到空气，就凝结成有粘性，无论什么飞虫，一撞到网上就别想再跑掉。而蜘蛛的身上和脚上经常分泌出一层油质，粘丝是不粘油的。但是，一般飞虫是没有这层油质的，所以，蜘蛛网能牢牢地粘住飞虫却粘不住蜘蛛。而且一束

4、由蜘蛛丝组成的绳子比同样粗细的不锈钢钢筋还要坚强有力。它能够承受比钢筋还多5倍的重量而不会被折断。虽然一些蜘蛛丝细如头发，但你可别轻视它的能力和作用！蜘蛛丝非常富有弹性，一条直径只有万分之一毫米的蜘蛛丝，可以伸长两倍以上才会拉断。 3.蛛网的构建过程 蜘蛛在织造这种网时，需要先在高处，比如在一根树枝上，找到一个合适的位置，然后向空中吐出一根长长的丝线。如果运气好的话，自由飘动的丝线的一头就会措上另一个树枝。当蜘蛛感觉丝线已经抓住了对面的物体时，就会将丝线缠紧，并将这根线固定下来。接着，蜘蛛爬到这根丝线上，吐出一根更柔软的丝线，并将丝线两头系紧。随后，它爬到软线的中间部位，这样软线就会下垂，形

5、成一个V字形。蜘蛛从这根V字形丝线的下端再引出一根线，并拖着这根线垂直向下跌落，于是就形成了一个Y字形，这个结构就是网的中心部位。蜘蛛通过它的锯齿状脚爪和带倒钩的腿毛，能轻易抓牢非常细的丝线。它沿着丝线一边行走，一边在各个锚点之间吐出更多的框架线。然后，它从网的中心部位开始构造辐射线。当所有的辐射线都建好后，蜘蛛就会吐出大量的非黏性线，以构筑一个辅助性螺形网， 这根网线从中心部位一直延伸到网的边缘部分。最后，蜘蛛将辅助性螺形网作为一个参照物，在网上做螺旋式行走，边走边吐出黏性丝线，同时吃掉原来的辅助性螺形网。这样，除了辐射线是非黏性线外，其他的线都是黏性很强的丝线。当所有的工作完成后，一个优美

6、、对称的蛛网就织成了。个体大的蜘蛛倾向于选择大型猎物。 蜘蛛网的半截面结构如下图1所示： 图1 蜘蛛网的半截面结构图 二、相关试验数据 1. 1.关于蜘蛛大小分别与蛛网半径丝根数、上下捕丝长度的比值、蛛网捕丝长度等之间的数据关系（见正文问题一中：表一）； 2.模型求解运行程序（见附录一）。 三、要解决的问题 蜘蛛网的结构最优化就是期望使其捕捉效率最优，而蜘蛛网的捕捉效率就是通过蛛网的面积和捕丝间距来体现的。因此要构造合理的蛛网模型，就不得不考虑蛛网的面积与捕丝间距的最优分别对捕捉效率的影响，而且更应该考虑优先因子的不同，当然，环境的不同对蛛网的结构也有着重要影响，所以，亦需要考虑到环境对蛛网结

7、构的影响。为了更好的讨论蛛网结构的最优化问题，需要自行搜集相关数据，并解决以下问题： 问题：建立模型定性分析评估蛛网面积对蛛网结构的影响； 问题：建立模型定性分析评估蛛网捕丝间距对蛛网结构的影响。 2 问题的分析 一、相关背景知识的介绍 1.蛛网的介绍 蛛网的进化经历了绊丝、片网和圆网阶段，并在圆网的基础上，继续进化形成其他类型的网。蛛网是自然界绝无仅有的能够进行测量的行为结果，因而蜘蛛织网行为及蛛网在生物进化和生物对环境的适应性研究领域具有重要的价值和举足轻重的地位。 2.蜘蛛丝介绍 蜘蛛丝是一种天然动物蛋白纤维，它的韧度很强以至于能承受的住比蜘蛛自身体重要多几倍的承重力，它是由丝腺中液态的

8、可溶性丝蛋白经导管和纺管变成固态不溶性的丝蛋白纤维。蜘蛛丝具有优良的机械性能，是包括蚕丝在内的天然和合成纤维所不能比拟的，它还是是一种新兴的生物高分子材料,具有极其广阔的应用前景。但蜘蛛丝是为蜘蛛的生活策略所设讨，使用期短，产量低。蜘蛛丝的这些性能和特点与蜘蛛的生态策略、生活史及蛛丝蛛网的结构和功能密切相关。 3. 蛛网模型介绍 蛛网模型（Cobweb model) 运用弹性原理解释某些生产周期较长的商品在失去均衡时发生的不同波动情况的一种动态分析理论。西方经济学家认为，蛛网模型解释了某些生产周期较长的商品的产量和价格的波动的情况，是一个有意义的动态分析模型。 二、对问题的初步分析 1.对问题

9、的分析： 问题要求我们分析、评估蛛网面积对蛛网结构最优化的影响，这就反映了蛛网面积对于蜘蛛的捕捉效率影响的作用，在这里，我们通过五个指标（蜘蛛的大小、蛛网捕食面面积、蛛网捕丝长度、半径丝根数和上下捕丝长度的比值）的多组数据来建立合理科学的数学模型来综合分析、评估蛛网面积对蛛网结构的影响大小。 2.对问题的分析： 对于问题我们要求分析、评估捕丝间距对蛛网结构的影响，从而反映了不同捕丝间距对于蜘蛛的捕捉效率的影响，我们可以通过四个指针（蛛网上半面半径、蛛网下半面半径、蛛网面积、蛛网捕丝长度）的多组数据来建立合理科学的数学模型来综合分析、评估蛛网捕丝间距对蛛网结构的影响。 3 模型的假设 1.不考虑

10、蜘蛛在织网过程中的浪费的蛛丝长度； 2.不考虑支持带对蛛网上捕食区的影响； 3.蛛网与水平面夹角为90度； 4.设蛛网所处环境均为最优条件，可忽略环境的影响； 5.所有数据均为原始数据，来源真实可靠。 4 名词解释与符号说明 一、名词解释 1.捕捉效率：一定时间内捕捉到的猎物的数量； 2.稠密度：两条相邻的半径丝之间所包括的捕丝的条数； 3.最优化：是应用数学的一个分支，主要研究以下形式的问题：给定一个 函数，寻找一个元素使得对于所有A中的（最小化）或者（最大化）； 4.蛛网结构最优模型和：使得蜘蛛拥有最大捕捉效率的蛛网结构模型； 5.半径丝：从蜘蛛网中心向外辐射出的蛛丝； 6.捕丝：蜘蛛网上

11、的纬线部分； 7.捕食区：由捕丝在蜘蛛网上覆盖的区域。 二、符号说明 5 模型的建立与求解 从所要解决的问题和对问题所做的假设出发，我们在解决问题过程中建立蛛网面积模型和蛛网结构最优模型。 模型蛛网面积模型 (1)对问题的第一步分析 蛛网是蜘蛛的捕食工具，其面积反映了蜘蛛的捕食效率，不同大小的蜘蛛的捕食性与捕食面面积、蛛网捕丝长度、半径丝根数和上下捕丝长度的比值都有关，蜘蛛捕食的容量主要与捕食面积有关，此时不考虑环境对其的影响。 (2)模型的准备 设当蛛网面积最大时蜘蛛的捕食效率最大，建立函数 2 )(2 221R R S += 为了求得S 的最大值我们引入蜘蛛的大小分别与蛛网捕丝长度、半径丝

12、根数和上下捕丝长度的比值的关系，根据样本数据可求得。 再由得到的关系式迭代可求得蛛网面积与蛛网半径丝根数的关系，分析函数结构关系可确定最优半径丝根数时的最大面积。 (3) 模型的建立与求解 1）从表一中蜘蛛大小与蛛网半径丝根数的数据分析后可制成如下散点图，如图2； 图2 蜘蛛大小与蛛网半径丝根数的关系 图中给出了蛛网半径丝根数与蜘蛛个体大小的关系，从图中可以看出蛛网半径丝根数随蜘蛛体重的增加而减少，二者呈显著负相关，其中，当体重为148 mg 和283 mg 的2只蜘蛛所结的网半径丝根数最多，均为46根，而体重为7444 m 的个体所结的网半径丝根数最少，仅具有16根半径丝，蛛网半径丝根数的这

13、种变化趋势可能直接影响蛛网稳定性的稳定性，这在模型二中研究。 化简后的得到蛛网半径丝根数与蜘蛛大小的关系式： 157 .03806.1n e x -= 2）从表一中蜘蛛大小与蛛网上下捕丝长度比值的数据分析后可制成如下散 点图如下图3： 图3蜘蛛大小与蛛网上下捕丝长度比值的关系随着蜘蛛体重的增加，捕丝在蛛网上、下半面的分布不对称性也会加强，我们利用捕丝在蛛网上、下半面的不对称性，即蛛网上、下半面捕丝长度的比值来反映这种布局变化。比较网上、下半面的捕丝长度，可以发现，在体重小于200 mg 的个体中，随着蜘蛛体重的增加，网上、下部捕丝长度的比值越来越小，二者呈显著负相关；但是在体重大于200 mg

14、的蜘蛛个体中，蜘蛛体重与网上、下部捕丝的长度比之间的相关性却并不显著。 图中可得蜘蛛大小与蛛网上下面长度比值的关系式： - =x a 3806 .0+ 157 .1 ln 3）从表一中蜘蛛大小与蛛网捕丝长度的数据分析后可制成如下散点图，如图4； 图4蜘蛛大小与蛛网捕丝长度的关系 由图4可以看出，体重相近的个体，所结网的捕丝长度差异也较大。从图2中还可以看出，体重小于200mg 的个体，所结蛛网的捕丝长度和体重呈显著正相关；但在体重大于200 mg 的个体，却并没有出现这种增长趋势。 且从图中可得出蜘蛛大小与蛛网捕丝长度的关系式： 由上述所有数据和关系式分析可得到以下 ? ?+=+-=) (22

15、12157189.760759.02R R L x x L ? ? ? ? ? ?+=+-=+-=+= -由此推出)(223806.1ln 157.012157189.760759.02)(21212157.03806.12221R R L R R a x a x x L e x R R S n ? ? ? ? ?+-+-+-=-+-+-= -+-=+2 2 )25(100()12157)25 2034 2594)(10001574000867(40310003)(5001572000867(22500 15720008671000 15775.2161000314335.4210001577

16、5.2161000 314335.41)157)2588(100()58)10102759(10001574000867()500 11000)(5014983(15752.312157)76.336.81()003.0075.0(99)7.1028.1()001.0002.0(n n n n n n n n n n e e n n n e n e n S n e n e n R n n e n e n R 2 )25 2034 2594)(10001574000867( )40 3 10003)(5001572000867( 1000 157* 2 )10 1027 59)(10001574

17、0000867( )500 1 1000)(5001572000867( 500 15720008671000 157* 8)10102759)(10001574000867()500 11000)(5001572000867()25 88(501000 157500 15725 94)25 88(50157 )25 88(50) 5014983 1000157(500 1571000 )5 9( 5014983(1572 )12157)252034 2594)(10001574000867( )40310003)(5001572000867(- - - + - - + - + -+-=-+-

18、 + +-n e e e n n e e e e e e n S n n n n n n n n n n n n n n n n n e n n e 求解过程见附录一 当0=S 时求得n 的值即为蛛网半径丝根数，此时蛛网的捕食面积最大。 关系可作图5： 02468101214161820 20 40 60 80 100 120 可求得n 为多少时S 的最大值，同时就可以求得,21L R R 得出结论： 1.由图2分析得到图中蛛网半径丝根数与蜘蛛个体大小的关系，从图中可以看出蛛网半径丝根数随蜘蛛体重的增加而减少，二者呈显著负相关。 2.由图3中分析得到在蜘蛛体重小于200 mg 的个体中，随着蜘

19、蛛体重的增加，蛛网上、下捕丝长度的比值越来越小，二者呈显著负相关；但是在体重大于200 mg 的蜘蛛个体中，蜘蛛体重与蛛网上、下部捕丝的长度比之间的相关性却并不显著。 3.由图4中分析得到在蜘蛛体重小于200mg 的个体，所结蛛网的捕丝长度和体重呈显著正相关；但在体重大于200 mg 的个体，却并没有出现这种增长趋势。 4.由综合分析图2，3，4结合各种关系式得到S 与n 之间的关系，S 对n 的导数函数关系知，S 随n 的增大先增加后减小，故可以求得S 的最大面积，从而与之相关的数皆可以求出。 5.但在实际生活中，对于大型蜘蛛偏爱于大型猎物，此时猎物的体长较大，蛛网的面积对蜘蛛捕捉效率的影响

20、要明显高于蛛网的捕丝间距对蜘蛛 1捕捉效率的影响，所以我们需优先考虑面积最大的情况。 模型 蛛网结构最优模型 （1) 问题的第二步分析 在问题的第一阶段分析中，我们知道了蜘蛛网的最优捕捉面积，现在我们考虑蜘蛛网的结果 ，而蛛网的稳定性又直接影响着蛛网的结构，由模型一知道蛛网半径丝的根数与蛛网的稳定性有关，同时稳定性又与蛛丝的稠密度有 关，接下来我们建立模型求解。 （2) 模型的准备 1）递推结构模型的建立，由三角形相似和三角关系面积求解建立函数 sin 2 1 ab s = 为了求得最优捕丝间距，我们引进新的变量，由模型已经可以求得 L S R R ;,21 在这里我们直接使用。 2）分析最终

21、m 与的关系式，由关系式进行分析总结建立模型 （3）模型的建立与求解 研究的半径为1R 的小三角形面积：2 2 1111142sin cos sin 21m R S m R a m R b ab S =? ? ? ?= 由此可得出： ? ? ? ?= =42sin sin 21 .42sin 9sin 3321 2sin sin 2221 2 12 2 132 2 12R m am b S m R b a S m R b a S m 4 2sin )(42sin 42sin 2) (22 22122212 1 2 1 R R R R L S S S S S L S R R R R m m m

22、m +=+=+?+=? 又)(22 221R R S += 2sin = L 又有m R b c sin sin 111= = =+=? ? ?=?m i i m R m R c m m R c m R c m R c R R R R 111113122sin sin sin . sin 3sin 21 1 1 1 当半径为2R 同理 L R mR R mR c c c m i i i R R =+= +=122112 sin sin sin sin )(21 1 2sin sin )(22 sin sin sin sin 2sin 212211-+=?+= R R m R m R R m R

23、 由模型已经求出21,R R ，所以此时m 的大小只与角度有关，故当 ,0中的某一数值时，得到能得到m 的最优值故此时蛛网的间距 ? ?=m R m R d cos ,cos min 21 (4)模型的结论 1.上述结果表示蜘蛛的捕捉效率与蛛网的面积成显著的正相关，与蛛网的捕丝间距成负相关。 2. 在实际生活中，对于不同大小的蜘蛛所对应的蛛网的结构不相同，对偏爱猎物的大小不同。当猎物的体长较大，蛛网的面积对蜘蛛捕捉效率的影响要明显高于蛛网的捕丝间距对蜘蛛捕捉效率的影响，所以我们需优先考虑面积最大的情况；对于体型小型蜘蛛而言，它更喜欢小型猎物，此时，猎物的体型较小，蛛网的捕丝间距对蜘蛛捕捉效率的

24、影响要明显高于蛛网的面积对蜘蛛捕捉效率的影响，所以需悠闲考虑蛛丝的捕丝间距最小的。 6.模型的误差分析、检验和进一步讨论 一、误差分析 一、误差分析 1.考虑影响因素的选取方面 在划分影响因素模型中，我们选取的因素都是直观的直接的，未考虑间接因素对的影响，但是间接因素并不能忽略，如环境的湿度系数，温度变化，所在空间大小它们都间接的就影响蜘蛛网的结构的柔韧程度、稳定性、蛛网面积，进而影响到蜘蛛网捕捉猎物能力。 2.考虑缺省值 模型中在数据选取上，通过实验资料获得的数据数量有限，并没有系统的全面的数据，在进行计算的时候，对其各因变量计算时可能出现数值计算误差，进而影响其结果的精确度。 3.考虑偶然

25、性 考虑我们所用数据在存在一定的偶然性，而且只有单一数据，我们用层次分析模型计算各因素相对生物多样性权重时存在一定的误差，需要在以后统计大量数据验证和研究时在进行修正。 二、模型的检验 本文在进行计算权重时运用一致性检验验证其合理性，在运用数据拟合模型是我们通过相应的软件和数学统计学公式检验其准确性。 三、模型的进一步讨论 在运用层次分析模型计算权重中可以考虑一些因素在生物多样性指数的权重中并不是占很大的权重，但考虑实际情况，这些因素的极端值可能对生物多样性有根本性影响，因此我们可以运用分段模型对因素的不同极端值进行换算，有利于更准确的反映实际情况，并且更具合理性科学性。 7 模型的评价与推广

26、 一、优缺点 1模型的优点 1）把两项用来体现蜘蛛网的捕捉效率的指标面积与捕丝间距，分开讨论，减小计算量，最终蜘蛛网结构的最优化也是用此两项指标来综合评定的； 2）利用EXCEL作图简便、直观、快捷，用MATLAB对数据进行处理，省去不必要的复杂计算； 3）化复杂问题简单化，单独考虑每一因素对蜘蛛网结构的影响，在实际生活中，可根据实际蜘蛛大小来确定一结构。 2.模型的缺点 1）未考虑环境变量对蜘蛛以及蜘蛛丝的影响，可能导致模型环境过于优化，有点与实际生活不吻合； 2)蜘蛛种类很多，所取的实验种类可能不具有很强的代表性，不同种类的蜘蛛的蜘蛛网结构不一定符合模型结论； 3)由于本文在数据上可能做出大量的收集，只是通过网上搜索，题目给予，在以后的实践检验中可能还需要进行一些更改变动。 二、模型的推广 全文的目的在于，通过对使得蜘蛛网结构最优化的两大条件的单独分析，全面综合了它们对蜘