专题2-3 函数性质3：幂指对函数图像与零点高考数学一轮复习题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

1、 专题2-3 函数性质3：幂指对函数图像与零点目录TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc15739 目录 PAGEREF _Toc15739 1一、热点题型归纳 HYPERLINK l _Toc23579 PAGEREF _Toc23579 1 HYPERLINK l _Toc5197 【题型一】图像基础1：奇偶性与“0+”处正负 PAGEREF _Toc5197 1 HYPERLINK l _Toc31923 【题型二】图像基础2：隐藏比较深的奇偶性 PAGEREF _Toc31923 4 HYPERLINK l _Toc26880 【题型三】图像基础3：奇偶性与“比值

2、判断法” PAGEREF _Toc26880 7 HYPERLINK l _Toc27214 【题型四】图像基础4：给解析式求图像 PAGEREF _Toc27214 9 HYPERLINK l _Toc12208 【题型五】利用函数图像性质解不等式 PAGEREF _Toc12208 12 HYPERLINK l _Toc28627 【题型六】利用函数图像恒成立（存在）求参数 PAGEREF _Toc28627 14 HYPERLINK l _Toc31235 【题型七】零点1：数形结合（直接法） PAGEREF _Toc31235 16 HYPERLINK l _Toc18780 【题型八

3、】零点2：分离常数型（水平线法） PAGEREF _Toc18780 18 HYPERLINK l _Toc26758 【题型九】零点3：切线型 PAGEREF _Toc26758 21 HYPERLINK l _Toc7831 【题型十】零点4：对数绝对值函数 PAGEREF _Toc7831 24 HYPERLINK l _Toc20514 二真题再现 PAGEREF _Toc20514 27 HYPERLINK l _Toc21755 三模拟检测 PAGEREF _Toc21755 31【题型一】图像基础1：奇偶性与“0+”处正负【典例分析】 函数上的大致图象为（）ABCD【答案】A【分

4、析】探讨函数的奇偶性，排除两个选项，再分析上值的符号即可判断作答.【详解】依题意，即函数为奇函数，选项C，D不满足；当时，而，即，选项B不满足，选项A符合要求故选：A【提分秘籍】基本规律作为函数基础之一的“识图”题型，多做此类训练题，有助于学生对函数图像熟练掌握，进而增加对函数图像及其之间的变化有深刻的认识。此类题尽量避开运算量大的求导，如有肯能，也可以避开一些复杂的“代特殊值计算”。可以从下边几个方向来判断。一、.奇偶性判断，要注意积累常见的奇函数、偶函数。二、0的极限处正负判断，一般多从.处判断。【变式演练】1.函数的大致图象是（）ABCD【答案】A【分析】求出函数定义域并判断其奇偶性，利

5、用奇偶性排除两个选项，再利用特殊点处的函数值排除一个即可得解.【详解】由得，即函数的定义域为，又，即为奇函数，排除B，C；因为，D不符合条件，A满足.故选：A2.已知函数则函数的大致图象为（）ABCD【答案】A【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据时，函数值的正负判断.【详解】易知函数为奇函数，也是奇函数，则函数为偶函数，故排除选项B，C；因为，当时，恒成立，所以恒成立，且当时，所以当时，故选项A正确，选项D错误，故选：A3.已知函数的图象大致为（）ABCD【答案】D【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再判断在上值的符号作答.【详解】函数的定义域为R，即函数是R上的奇函数，B不满足；

6、而当时，选项A，C不满足，选项D符合题意.故选：D【题型二】图像基础2：隐藏比较深的奇偶性【典例分析】函数的图象大致是（）ABCD【答案】B【分析】分析函数的奇偶性，结合以及排除法可得出合适的选项.【详解】由题意可知，对任意的，所以，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，排除CD选项，又恒成立，可排除A选项.故选：B.【提分秘籍】基本规律隐藏较深的奇偶函数2.一些变形后的奇（偶）函数如，【变式演练】1.函数图象的大致形状为（）ABCD【答案】A【分析】利用奇偶性定义判断的奇偶性，结合的符号，应用排除法确定答案.【详解】由且定义域为R，所以为偶函数，排除C、D；，且，即，排除B.故选：A2.函

7、数的部分图象大致为（）ABCD【答案】A【分析】先利用奇偶性排除部分选项，再由函数值的符号判断排除可得选项.【详解】解：因为函数的定义域为R，且，所以函数是奇函数，故排除C、D，又，故排除B选项.故选：A.3.函数的图像大致为( )A B C D【答案】A【解析】由得，故函数的定义域为又， 所以函数为奇函数，排除B又当时，；当时，排除C，D选A【题型三】图像基础3：奇偶性与“比值判断法”【典例分析】的图像大致是（ ）ABCD【答案】C【解析】当x值无限大时，函数值应该趋向于0，故排除AD，当x趋向于0且小于0时，函数值趋向于负无穷，故排除B.故答案为C.【提分秘籍】基本规律“比值判断法”，如下

8、图，在，可知图像“大小”【变式演练】1.函数的大致图象是（）ABCD【答案】D【分析】利用排除法判断，先由函数的奇偶性分析，再取特殊值分析【详解】因为所以是偶函数，排除B.因为，排除A，C.故选：D.2.函数的大致图象是（）ABCD【答案】B【分析】根据给定条件利用零点存在性定理、由函数式求出函数的零点，再结合图象判断作答.【详解】依题意，于是得在y轴右侧有零点2，4，排除选项A，C；由于，则由零点存在性定理知，在上有零点，又当时，即，显然选项D不满足，B满足.故选：B3.函数的图像大致为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊的函数值，利用排除法，即可求解，得到答案。【

9、详解】由题意，因为，不是偶函数，从而排除，.又由（或方程无解），从而排除，故选.【题型四】图像基础4：给解析式求图像【典例分析】已知某个函数的图像如图所示，则下列解析式中与此图像最为符合的是（）ABCD【答案】A【分析】利用排除法求解，对于B选项，函数有意义，则且且，排除；对于C选项，函数有意义，则，排除；对于D选项，根据时函数值得符号判断即可.【详解】解： 对于B选项，函数有意义，则，解得且且，故不满足，错误；对于C选项，函数有意义，则，解得，故不满足，错误；对于D选项，当时，故图像不满足，错误.故根据排除法得与此图像最为符合.故选：A【提分秘籍】基本规律此类题型虽然较难，但可以从代特殊值入

10、手。【变式演练】1.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A（）B（）C（）D（）【答案】B【分析】根据函数的单调性和奇偶性由排除法即可得正确选项.【详解】对于A：当时，单调递减，可得单调递增，而由所给的图象可知单调递减，故选项A不正确；对于B和C：当或时，定义域为，且为偶函数，因为在上单调递减，所以在上单调递增而所给的图象不关于轴对称，且在上单调递减，故选项B和C都不正确，由排除法可知选项B正确；故选：B.2.已知函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的解析式可能是（）ABCD【答案】C【分析】， f(1)0，A不正确；是奇函数，不满足题意，B不正确；，当x(0，1)时，不满足题意

11、，D不正确.【详解】由函数f(x)的图像知函数f(x)是偶函数，且当x=1时，f(1)=0.是偶函数，但是f(1)0，A不正确；是奇函数，不满足题意，B不正确；是偶函数，f(1)=0，但当x(0，1)时，不满足题意，D不正确.故选：C.3.已知函数的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（）ABCD【答案】B【分析】观察图象确定函数的性质，结合函数的性质和特殊点的取值判断各选项.【详解】观察函数图象可得该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，由图象可得，对于函数，因为，所以函数为偶函数，A错，对于函数，所以函数为奇函数，又，与图象不符，故C错误，对于函数，所以函数为奇函数，又，与图象不符，

12、故D错误，对于函数，因为，所以函数为奇函数，且，与图象基本相符，B正确，故选：B.【题型五】利用函数图像性质解不等式【典例分析】若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】参变分离得到，根据指数函数的性质求出的取值范围，即可得解；【详解】解：由题知，而，所以，又，所以因为关于的不等式有实数解，即有实数解，所以，即故选：A【提分秘籍】基本规律1.幂指对等函数图像之间的位置关系。2.幂指对等函数的性质及其应用【变式演练】1.设函数则满足的的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】结合函数性质分析可得或，求解即可【详解】由题意，在单调递增，且故或解得：故选：D2.若，

13、其中且，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】把不等式两边化为同底数的对数，讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果【详解】且当时，函数是一个增函数，不等式恒成立，当时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有，即综上可知的取值是故选：B3.已知是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且函数.若实数满足，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】首先求出的值，然后把转化为，再根据是偶函数和在区间上的单调性脱去“”号，从而求出实数的取值范围.【详解】因为，所以，所以，又因为是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，所以，即

14、，所以，即.故选：C.【题型六】利用函数图像恒成立（存在）求参数【典例分析】已知，在上恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】不等式等价于，分类讨论，和，分别求出实数的取值范围，最后取交集即可.【详解】易知，不等式，即.当时，则，又，所以；当时，对任意的实数，不等式恒成立；当时，则，又，所以；综上，实数的取值范围为.故选：D【提分秘籍】基本规律不等式恒成立（存在）问题常见方法：分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；数形结合( 图像在 上方即可)；讨论最值或恒成立.【变式演练】1.已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【详解】试题分析

15、：由已知，得或当时，当时，又在单调递增，在上的值域为，在上的值域为，即故选D.2.已知，若函数有最小值，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】对a进行分类讨论，结合对称轴，单调性，最值，列出不等关系，求出实数的取值范围.【详解】当时，二次函数的对称轴为直线，此时函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，欲使函数有最小值，需，解得：与矛盾.当时，函数的对称轴为直线，所以在上单调递减，在上单调递增，此时函数在区间上的最小值为，函数在区间上单调递减，此时，欲使函数有最小值，需，解得与矛盾；当时，二次函数的对称轴为直线，在区间上的最小值为，在区间上单调递增，欲使函数有最小值，需，即，.综上

16、所述，实数的取值范围是.故选：D.3.已知函数，当时，不等恒成立，则实数m的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】先判断分段函数的单调性，得到是减函数，把转化成，求在上恒成立即可.【详解】由题意，当时，是减函数；当时，是减函数，且，所以函数在上单调递减.因为，所以，即在上恒成立，所以，得.故选：B.【题型七】零点1：数形结合（直接法）【典例分析】已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，设函数，则的零点的个数为（）A6B7C8D9【答案】C【分析】由题设知的零点可转化为与的交点问题，而且周期为2，关于y轴对称的函数；且关于y轴对称，当时有，画出的草图即可确定交点个数，利用对称性确定总交点数.【详

17、解】由题意知：关于对称，而的零点即为的根，又在上的偶函数，知：且周期为2，关于y轴对称的函数，而时且关于y轴对称与在的图象如下，【提分秘籍】基本规律1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围2.数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.【变式演练】1.已知函数，则方程的实根个数为（）个A1B2C3D4【答案】D【分析】解,即解，数形结合即可得解.【详解】解：，,，在同一直角坐标系中作出函数，的图象，如图，由图象可得，函数与的图象共有四个交点，所以方程的实根个数为4个.故选：D.2.已知定义在上的函数，当

18、时，不等式恒成立，则实数的取值范围是ABCD【答案】D【详解】由题意得 对恒成立,即对恒成立,因此,选D.3.定义在R上的偶函数满足对任意，有，且当时，若函数在上至少有3个零点，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】根据偶函数满足，推知是最小正周期为2的偶函数，由时，得到其图象，然后将在上至少有三个零点，转化为的图象和的图象至少有3个交点，利用数形结合求解.【详解】，且是定义域为的偶函数，令可得，又，则有，是最小正周期为2的偶函数.当时，开口向下，顶点为的抛物线.函数在上至少有三个零点，令，则的图象和的图象至少有3个交点.，当时，的图象和的图象只有1个交点，故，要使函数在上至少有三个

19、零点，如图：则有，可得，即，又，.故选：C【题型八】零点2：分离常数型（水平线法）【典例分析】已知函数f(x)=|log2x|,0 x213x【答案】0，1【解析】画出函数y=f(x)，与y=m的图象，函数y=f(x)，与y=m的图象的交点个数就是函数函数g(x)=f(x)m的零点个数，因为函数g(x)=f(x)m存在四个不同的零点，所以函数y=f(x)，与y=m的图象由四个交点，由图可知，要使函数y=f(x)，与y=m的图象由四个交点，【提分秘籍】基本规律分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；【变式演练】1.已知函数，若有三个不同的实数，使得，则的取值范围为（）ABCD【

20、答案】B【分析】由解析式可确定的单调性，结合，可确定，由此可得的取值范围.【详解】由题意得：；当时，单调递增；当时，单调递减；且时，关于对称；当时，单调递增；又，设，由知：，.故选：B.2.已知函数，且，则的最小值是（）ABCD【答案】D【分析】设，判断出是偶函数，结合图象平移规律得出的图象，结合图象和对数函数的性质求出最小值即可.【详解】解：设，因为，所以是偶函数，（当且仅当时等号成立），故是偶函数，且最小值为，函数可以由函数的图象向右平移个单位长度得到，函数的图象如图所示：则，且，因为，所以，所以，即，因为，即，所以所以，又因为，任取，且，则因为，所以，即.所以在上单调递减，所以，所以的最

21、小值是故选：D.3.定义在上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为（）ABCD【答案】B【分析】根据分段函数各区间的函数性质画出的图象，将问题转化为与直线的交点问题，结合已知条件判断交点横坐标间的对称关系，进而求零点的和.【详解】由题设，画出上的大致图象，又为奇函数，可得的图象如下：的零点，即为方程的根，即图像与直线的交点.由图象知：与有5个交点：若从左到右交点横坐标分别为，1、关于对称，；2、且满足方程即，解得：；3、关于轴对称，则；故选：B【题型九】零点3：切线型【典例分析】若函数，函数有两个零点，则的值是A0或BC0D【答案】A【详解】函数有两个零点，即函数和函数有两个不同的交点，

22、作出两函数的图象（如图所示），显然当时，符合题意；当时，由图象得两函数在区间上有一个交点，则另一交点应是函数与函数的切点，设切点坐标为，则，解得，即；综上所述，的值是0或；故选A.【提分秘籍】基本规律先对解析式变形，进而构造两个函数（其中一个是直线），然后在同一平面直角坐标系中画出函数与直线的图象，根据函数与直线的位置关系，借助于直线临界值处（切线）.来研究。【变式演练】1.已知且，函数在上是单调函数，若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】根据题意分析，且可得只能是减函数，再结合分段函数的单调性可得，再画图分析与的图象恰有2个交点时满足的不等式求解即可【

23、详解】先分析函数，且易得，因为，可得图象：因为函数在上是单调函数，故只能是减函数，且，即.故当时，结合可得.故，又关于的方程恰有2个互异的实数解，即与的图象恰有2个交点，画出图象：可得，解得.综上有故选：A2.已知定义在R上的奇函数满足，已知当时，若恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】根据已知求出，再分析出函数的周期性和对称性，作出函数的图象分析即得解.【详解】解：因为是定义在R上的奇函数，所以.所以当时，.因为，则关于对称，因为关于对称，有6个不相同的根，在有三个不同的根，表示过定点的直线系，.作出在上的图象,如图所示，时，又,则；时，;时，显然不满足题意

24、.m的取值范围.故选：D3.函数（），若的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围为ABCD【答案】A【详解】由得 ,因为,作函数 图像如图由图得，选A. 【题型十】零点4：对数绝对值函数【典例分析】已知函数，其中，若的四个零点从小到大依次为，则的值是（）A13B12C10D6【答案】A画出函数的图像,并分析其与交点个数为4的时候的情况,再根据函数性质求解即可.【详解】画出函数的图像有：由图像可知, ,所以,.故.故选：A【提分秘籍】基本规律对于，若有两个零点，则满足1.2.3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”【变式演练】1.已知函数，若存在实数，当时，满足，则的取值范围是（）AB

25、CD【答案】D画出函数的图像, 令，作出直线，分析所在的区间，结合对数函数，余弦函数的性质，可得的取值范围.【详解】解：画出函数的图像如图，令，作出直线，当时，当时，由图像可知，当时，直线与有4个交点，且，则：，可得，由的图像关于直线对称，可得，可得=，设，由对勾函数性质可得其在区间上单调递增，当时，当时，故可得的取值范围是，故选：D.2.已知函数，函数有四个不同的零点，且满足：，则的取值范围是（）ABCD【答案】B【详解】分析：函数有四个不同的零点，等价于的图象与的图象有四个不同的交点，画出的图象与的图象，结合函数图像，可得 ，= ，利用单调性求解即可.详解：,由二次函数的对称性可得 由 可

26、得，函数有四个不同的零点，等价于的图象与的图象有四个不同的交点，画出的图象与的图象，由图可得，= 令 ， ，故选B.3.已知函数，若存在实数，满足 ，且，则的取值范围是ABCD【答案】A【详解】画出函数的图象， ， ， ， ， ，由于，则 ，为上单调增函数，因为 ，则 ，有 ，所以由此可得：的取值范围是，选A. 1.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是ABCD【答案】C【详解】试题分析：如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点，不等式的解集为，故选C2设函数，则f(x)（）A是偶函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在单调递减【答案】D【分析】根据

27、奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.3已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是ABCD【答案】B【详解】试题分析：由题可得存在满足,令,因为函数和在定义域内都是单调递增的,所以函数在定义域内是单调递增的,又因为趋近于时,函数且在上有解(即函数有零点)

28、,所以,故选B.4下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）ABCD【答案】A【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称5已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（）ABCD【答案】A【详解】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小由图易得，；取特殊点，选A6已知两条直线：y=m和： y=(m0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为

29、a ,b ,当m 变化时，的最小值为ABCD【答案】B【详解】【分析】在同一坐标系中作出y=m，y=(m0)， 图像如下图， 由= m，得， = ，得 .依照题意得.， .7青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A1.5B1.2C0.8D0.6【答案】C【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.【详解】由，当时，则.故选：C.8设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是A当时，B

30、当时，C当时，D当时，【答案】B【详解】令,可得设根据题意与直线只有两个交点，不妨设，结合图形可知，当时如右图， 与左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得，即，此时，同理可得，当时如左图，故选：B1.函数的部分图像大致为（）ABCD【答案】C【分析】先利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，排除不符合题意的选项，然后观察剩余选项的不同点，利用函数值的符号排除不符合题意的选项，从而得出答案.【详解】由题意可知，函数的定义域为，所以为奇函数，排除选项A，B；当时，所以，所以，排除D故选：C.2.函数的大致图像为（ ）ABCD【答案】D【分析】先判断函数为偶函数，再求出当0 x1时，f

31、（x）1，故排除A，B，C.【详解】f（-x）=f（x）， 函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，C， 当0 x1时，log2x80，x2-40，f（x）1，故排除A， 故选D3.函数的图像大致为( )ABCD【答案】D【解析】由题，函数为奇函数，图像关于原点对称，故错，当时，则，故错，当时，方程有无数多个解，也就是函数图像与轴会有无数多个交点，故错故本题答案选4.函数的图像如图所示, 则其解析式可能是（）ABCD【答案】A【分析】根据给定图像，分析函数定义域排除两个选项，再由时的函数值情况判断作答.【详解】由给定图像知，函数的定义域为且，对于B，且，B不是；对于C，C不是；由图像知，当

32、时，恒成立，对于D，当时，D不是，A满足条件.故选：A5.已知，是方程的两个解，则ABCD【答案】B【详解】设y=ex+2，y=|lnx|，分别作出两个函数的图象如图：不妨设x1x2，则由图象知0 x11，x21，则+2=|lnx1|=lnx1，+2=|lnx2|=lnx2，两式相减得=lnx2+lnx1=ln（x1x2）y=ex为减函数，即=ln（x1x2）0，则0 x1x21，2lnx2lnx13，3lnx12，可得x1，e2x2e3，则e2x1x2e3，即x1x2e，0 x1x21，综上x1x21；故选B6.已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】D【

33、分析】题目考察分段函数单调递减的问题，要保证每一段都是单调递减的，且在衔接处也单调递减即可【详解】由可得：函数在定义域内为减函数，当时，为减函数，则；当时，根据指数函数的性质可知，为减函数，若在R上为减函数，还需要，解得：，综上可得，的取值范围为故选：D7.已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围为_.【答案】【分析】由题意可得在的范围包含在的范围内，先运用基本不等式求得在的范围，再讨论，结合函数的单调性可得的范围，解的不等式可得所求范围.【详解】当时，当时，若时，在上是单调递增函数，所以，满足则，所以，又，所以.若时，则，在上是单调递增函数，此时，在上是单调递减函数，此时满足 则 又，所以，综上，故答案为.8.已知函数至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（）A0B1C2De【答案】C【分析】先将零点问题转化为两函数交点问题，构造函数，研究其单调性，极值，画出函数图象，从而得到或，再次构造关于的函数，研究其单调性，解出不等式，求出数a的最大值.【详解】令，得到，函数至多有2个不同的零点，等价于至多有两个不同的根，即函数与至多有2个不同的交点令，则，当时，单调递增，当或时，单调递减，所以与为函数的极值点，且，且在R上恒成立，画出的图象如下：有图可知：或时，符合题意，其中，解得：设，则，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，由可得：，所以，