新教材人教B版选择性必修第三册-5.3.2-等比数列的前n项和-学案

1、 PAGE PAGE 95.3.2等比数列的前n项和最新课程标准 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点) 2能用分组转化方法求数列的和(重点、易错点)3会用错位相减法求数列的和(难点)教材要点知识点等比数列的前n项和公式eq x(状元随笔)等比数列求和应注意什么？提示公比q是否等于1.基础自测1在公比为整数的等比数列an中，a1a23，a34，则an的前5项和为()A10 B.eq f(21,2)C11 D122已知等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则eq f(S3,a2)()A3 B4C.eq f(7,2) D.eq f(13,2)3在等比数列an中，a12，S326，则公比q

2、_.4等比数列an中，公比q2，S544，则a1_.题型一等比数列前n项和公式基本量的运算例1在等比数列an中(1)若q2，S41，求S8；(2)若a1a310，a4a6eq f(5,4)，求a4和S5.方法归纳1解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用a1，an，q，n，Sn这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a1与q列方程组求解2运用等比数列的前n项和公式要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元跟踪训练1在等比数列an中，其前n项和为Sn.(1)S230，S3155，求Sn；(2)已知S41，S817，求an.题

3、型二等差、等比数列前n项和的综合应用(分组求和法)例2已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cn an bn，求数列cn的前n项和eq x(状元随笔)(1)求出等比数列bn的公比，再求出a1，a14的值，根据等差数列的通项公式求解；(2)根据等差数列和等比数列的前n项和公式求数列cn的前n项和方法归纳分组转化法求和的常见类型1若an bncn，且bn，cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求an的前n项和2通项公式为aneq blcrc (avs4alco1(bn，n为奇数,cn，n为偶数)的数列，其中数列bn，cn是等比

4、数列或等差数列，可采用分组求和法求和跟综训练2已知数列an满足an1an2，数列bn是各项均为正数的等比数列， 且a1b12，b3和b5的等差中项是20，nN*.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若cna2n1b2n1，求数列cn的前n项和Sn.题型三错位相减法求和eq x(状元随笔)1由项数相等的等差数列n与等比数列2n相应项的积构成新的数列n2n是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？提示由等差数列及等比数列的定义可知数列n2n既不是等差数列，也不是等比数列该数列的前n项和Sn的表达式为Sn121222323n2n.2在等式 Sn121222323n2n两边同

5、乘以数列2n的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？提示在等式Sn121222323n2n，两边同乘以2n的公比可变形为2Sn122223324(n1)2nn2n1，得：Sn1212223242nn2n1(2122232n)n2n1.此时可把求Sn的问题转化为求等比数列2n的前n项和问题我们把这种求由一个等差数列an和一个等比数列bn相应项的积构成的数列anbn前n项和的方法叫错位相减法例3设数列an的前n项和为Snn2n，数列bn的通项公式为bnxn1(x0)(1)求数列an的通项公式；(2)设cnanbn，数列cn的前n项

6、和为Tn，求Tn.eq x(状元随笔)由aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2)完成第(1)问；由题设知an为等差数列，bn为等比数列，因此可用错位相减法求Tn.方法归纳错位相减法的适用范围及注意事项1适用范围：它主要适用于an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和2注意事项：(1)利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1q)Sn的表达式(2)利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况跟踪训练3eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(3,8)eq f(n,2n)_.教材反思1本节课的

7、重点是等比数列前n项和公式的基本运算2在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”3前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况.eq x(温馨提示：请完成课时分层作业八)53.2等比数列的前n项和新知初探自主学习知识点na1eq f(a11qn,1q)na1eq f(a1anq,1q)基础自测1解析：设公比为q(qZ)，则a1a2a1a1q3，a3a1q24，求解可得q2，a11，则an的前5项和为eq f(125,12)11.答案：C2解析：易知等比数列a

8、n的首项为a1，则eq f(S3,a2)eq f(f(a1123,12),a12)eq f(7,2).答案：C3解析：S3eq f(a11q3,1q)eq f(21q3,1q)26，q2q120，q3或4.答案：3或44解析：由S5eq f(a1125,12)44，得a14.答案：4课堂探究素养提升例1解析：(1)法一：设首项为a1，q2，S41，eq f(a1124,12)1，即a1eq f(1,15)，S8eq f(a11q8,1q)eq f(f(1,15)128,12)17.法二：S4eq f(a11q4,1q)1，且q2，S8eq f(a11q8,1q)eq f(a11q4,1q)(1

9、q4)S4(1q4)1(124)17.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得eq blcrc (avs4alco1(a1a1q210，,a1q3a1q5f(5,4).)即eq blcrc (avs4alco1(a11q210，,a1q31q2f(5,4)，)a10,1q20，得，q3eq f(1,8)，即qeq f(1,2)，a18.a4a1q38eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)31，S5eq f(a11q5,1q)eq f(8blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)5),1f(1,2)eq f(31,2).跟踪训练1解析：(1

10、)由题意知eq blcrc (avs4alco1(a11q30，,a11qq2155，)解得eq blcrc (avs4alco1(a15，,q5)或eq blcrc (avs4alco1(a1180，,qf(5,6)，)从而Sneq f(1,4)5n1eq f(5,4)或Sneq f(1 080blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)n),11).(2)设an的公比为q，由S41，S817知q1，所以eq blcrc (avs4alco1(f(a11q4,1q)1，,f(a11q8,1q)17，)得eq f(1,1q4)eq f(1,17)，解得q2

11、，所以eq blcrc (avs4alco1(a1f(1,15)，,q2)或eq blcrc (avs4alco1(a1f(1,5)，,q2).所以aneq f(2n1,15)或aneq f(1n2n1,5).例2解析：(1)等比数列bn的公式qeq f(b3,b2)eq f(9,3)3，所以b1eq f(b2,q)1，b4b3q27.设等差数列an的公差为d.因为a1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(n1,2,3，)(2)由(1)知，an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1.从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1eq f(n12n1,2

12、)eq f(13n,13)n2eq f(3n1,2).跟踪训练2解析：(1)因为an1an2(nN*)，即an1an2(nN*)，又因为a12，所以an2n(nN*)由题意可知等比数列bn公比q0.又由b3和b5的等差中项是20，可知b3b540所以2q22q440，即q2q420.解得q2.又b12，故bn2n(nN*)(2)由(1)知，a2n12(2n1)4n2，b2n122n124n1cna2n1b2n124n14n2.Sn(22)(246)(24210)(24n14n2)(22424224n1)2610(4n2)eq f(214n,14)eq f(24n2n,2)eq f(2,3)4n

13、2n2eq f(2,3)所以Sneq f(2,3)4n2n2eq f(2,3)(nN*)例3解析：(1)aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2，)即aneq blcrc (avs4alco1(2，n1，,2n，n2.)当n1时，an2n也成立，an2n，即数列an的通项公式为an2n.(2)由an2n，bnxn1且cnanbn可得cn2nxn1，Tn24x6x28x32nxn1，则xTn2x4x26x38x42nxn.，得(1x)Tn22x2x22xn12nxn.当x1时，(1x)Tn2eq f(1xn,1x)2nxn，Tneq f(22n1xn2nxn1,1x2).当x1时，Tn24682nn2n.跟踪训练3解析：令Sneq f(1,2)eq f(2,4)eq f(3,8)eq f(n,2n)，则eq f(1,2)Sneq f(1,4)eq f(2,8)eq f(3,16)eq f