《古算明珠-“方程术”与“正负术”》课件1优质公开课人教B版选修31

1、2.1 古算明珠“方程术”与“正负术”人教B版数学选修3-1数学史选讲2.1 古算明珠“方程术”与“正负术”人教B版数学选修古算明珠“方程术”与“正负术” 虽天圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉刘徽 中国古代最重要的数学经典九章算术(约公元前2世纪)卷8的“方程术”，是解线性方程组的算法。古算明珠“方程术”与“正负术” 虽天圆穹之象犹曰可 以该卷第1题为例，今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？ 该问题相当于解一个三元一次方程组：设上、中、下禾一秉实依次是x、y、z，

2、求解线性方程组 以该卷第1题为例，今有上禾三秉，中禾二秉，下禾 方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗于右方。中、左禾列如右方 按照方程术术文，将此题演算过程表示如下：古代竖为行，横为列，且从左到右，与今天习惯相反。 方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三 以右行上禾遍乘中行，而以直除。 以右行上禾系数3乘整个中行。 然后以右行对减中行，两度减，中行上禾系数变为0。 以右行上禾遍乘中行，而以直除。然后以右行对减中行又乘其次，亦以直除。复去左行首。以右行上禾系数3乘整个左行。以右行对减左行，左行上禾系数变为0。 又乘其次，亦以直除。复去左行首。然以中行中禾不尽者遍乘左行，而

3、以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。然以中行中禾不尽者遍乘左行，而以直除。左方下禾不尽者，上为以中行中禾系数5乘左行整行，以中行对减左行，四度减，则左行中禾系数亦化为0，下禾系数为36，实为99。下禾系数与实有公因子9，以其约简。下禾系数变为4，作为法，实为11，只是下禾的实。以中行中禾系数5乘左行整行，以中行对减左行，四度减，则左求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余，如中禾秉数而一，即中禾之实。为了求中禾，以左行的法乘中行的下实，减去左行下禾的实，在此问中即244111。该运算的余数，除以中行中禾的秉数，就是中行的实，仍以左行之法为法。此问中即（244111）517，以

4、4为法。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余，如中禾秉数而一，求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余，如上禾秉数而一，即为上禾之实。为了求上禾，以左行之法乘右行下实，减去左行下禾实乘右行下禾秉数，再减去中行中禾实乘右行中禾秉数。此问中即394111172。该运算的余数，除以右行上禾秉数，就是上禾之实，仍以左行之法为法。此问中就是（394111172）327，仍以4为法。求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余，如上禾秉实皆如法，各得一斗。实除以法，得到上禾1秉之实为x=9 斗，中禾1秉之实y=4 斗，下禾1秉之实z=2 斗。实皆如法，各得一斗。筹算解线性方程组举例（二）“

5、九章算术及刘徽注”：今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？答曰：牛价一千二百，羊价五百，豕价三百。术曰：如方程。筹算解线性方程组举例（二）解：设牛、羊、猪单价依次是x、y、z，求解线性方程组 得到牛价为x=1200，羊价为y=500，豕价为z=300。 解：设牛、羊、猪单价依次是x、y、z，求解线性方程组 得到牛 著名的数学著作九章算术，大约编于公元四、五十年间的东汉初期。这部书是采用问题集的形式编的，共有二百四十六个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。 著名的数学

6、著作九章算术，大约编于公元四、五十 方田章讲的是各种分数计算和方田、梯形田、斜方形田、圆田、半圆形田、弧田、环形田等的面积计算；粟米章讲的是粮食交易的简单比例计算；衰分章讲的是一些按比例分配的问题；少广章讲的是由已知面积和体积，反求边的长短和面的宽广的问题，其中总结出了开平方和开立方的方法； 方田章讲的是各种分数计算和方田、梯形田、斜方形田、 商功章讲的是计算各种体积的方法，主要解决筑城、建堤、挖沟、修渠等实际工程问题；均输章讲的是粮食运输均匀负担的计算方法；盈不足章讲的是盈亏计算法和它的应用；方程章讲的是正负数算法，还有各种三元一次和四元一次联立方程的解法。勾股章叙述了勾方、股方的和等于弦方

7、的勾股定理，以及相似直角三角形解法的问题。 商功章讲的是计算各种体积的方法，主要解决筑城、建堤、九章算术的内容丰富多彩，包括了许多算术、几何、代数和三角的知识，是一部非常杰出的数学专著，它对我国数学的发展影响深远。九章算术不只在中国数学史上占有十分重要的地位，而且影响远及国外。朝鲜和日本都曾经用它作为教科书。九章算术的内容丰富多彩，包括了许多算术、几何、代数和三角 欧洲在中世纪的一些算法，比如分数和比例就很可能是从中国传入印度、再经阿拉伯传入欧洲的。在阿拉伯和欧洲的早期数学著作中，把“盈不足”称为“中国算法”就是一个证明。现在，九章算术已作为世界科学名著，被译成许多种文字出版。 欧洲在中世纪的

8、一些算法，比如分数和比例就很可能是正负术 正负术是九章算术方程章提出的正负数加减法则。一则方程术中用直除法消元时会出现以小减大的情形，再则通过损益术列方程，这都会产生负数。正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。正负术 正负术是九章算术方程章提出的正负数加减法前四句是减法法则：若二数同号，则；若二数异号，则若没有与之对减的数，则 前四句是减法法则：后四句是加法法则：若二数异号，则；若二数同号，则，若没有与之对加的数，则后四句是加法法则： 在九章算术中，正负术只用于方程术，并且，在实际上不仅使用了正负数的加减法，而且使用了正负数的乘除法

9、。不过，现有资料中，正负数的乘法法则在算学启蒙中才给出。祖冲之很可能研究过负系数开方问题，现存资料中讨论负系数开方问题最先出现在北宋刘益的议古根源中。 在九章算术中，正负术只用于方程术，并且，在实际雀燕集衡这是九章算术方程章的一个题目：今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，横适平。并雀、燕重一斤。问雀、燕一枚各重几何？设 x , y 分别为雀、燕一枚重，九章算术的解法是通过损益术列出方程： 雀燕集衡这是九章算术方程章的一个题目：设 x , y 分用直除法消元后求出雀一枚 两，燕一枚 两。 刘徽提出了新的解法：两行直接相减得因此， 。任取一行，比如右行，用今有术将雀化为燕，便有 ， 于是 。用直除法消元后求出雀一枚 两，这正是方程新术的基本思想。方程新术是在方程章麻麦问中详细阐述的，是刘徽的一项创造。这正是方程新术的基本思想。方程新术是在方程章麻麦问中详细阐述五家共井这也是九章算术方程章的一个题目：今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，以丙一绠；丙四绠不足，以丁一绠；丁五绠不足，以戊一绠；戊六绠不足，以甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？设 x , y , z , u , v , w 分别为甲、乙、丙、丁、戊绠长及井深，6个未知数，