经济数学第八章二重积分

1、经济数学第八章二重积分第1页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 一元函数定积分是求与定义在某一区间上的函数有关的某种总量的数学模型，作为推广，二元函数的二重积分是求与定义在某一平面区域上的函数有关的某种总量的数学模型，这些模型的数学结构相同，都是和式的极限。第2页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 8.1 二重积分的基本概念一、曲顶柱体的体积曲顶柱体是指它的底面是在 平面上的有界闭区域，它的侧面是以的边界为准线，母线平行于轴的柱面，它的顶是连续曲面 o第3页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公

2、式体积底面积高 来计算。而对于曲顶柱体，当点 在区域 上变动时，高度是一个变量，因此它的 体积不能直接用上式来计算。第4页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二3）作和4）取极限则曲顶柱体的体积求解过程1）将区域任意分割成个小区域： 也表示第块小区域的面积。2）任取点o第5页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二二、二重积分的定义及几何意义 设二元函数 在有界闭区域 上有定义，用任意分法将分成个小闭区域其中表示第个小区域（也表示它的面积），表示 的直径中的最大者。在上任取一点，作乘积 ， 并作和当时，如果这个和的极限存在，则称此极限为函数 在区域上的二重积分

3、，记为，即定义第6页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二积分区域积分和被积函数被积表达式面积元素第7页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二注： 1 在二重积分定义中，对区域D的划分是任意的，故如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，则除了包含边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域 的边长为 和 则第8页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二0 xyD直角坐标系下面积元素第9页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二2 存在性：当在闭区域 D上连续时，函数在 D上的二重积分必定存在。以

4、后总假定在 D 上的二重积分是存在的。3 由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数在D上的二重积分第10页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二几何意义1)、若 ， 表示以区域 为底的曲顶柱体的体积。2)、若 ， 表示以区域 为底的曲顶柱体的体积的相反数。3)、若 在区域 上的值有正有负，则曲顶柱体的体积取其二重积分的代数和。（其中xoy面上方柱体的体积取正， xoy面下方柱体的体积取负）。第11页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二三、二重积分的性质性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即：性质2 有限个函数的和（或差）的二重积分等于各个

5、函数的二重积分的和（或差）。第12页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二性质3 (区域可加性) 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在个部分闭区域上的二重积分的和.第13页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二性质4 若在D上，则：特别地，第14页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。性质如果在上恒有 ， 是 的面积， 则 性质设 和 分别是函数 在闭区域 上 的最大值和最小值，是 的面积，则第15页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二性质

6、中值定理如果 在闭区域 上连续， 是的面积，则在 内至少存在一点 ， 使得中值定理的几何意义：在区域 上以曲顶 为顶 的曲顶柱体的体积，等于区域 上以某一点 的函数值 为高的平顶柱体的体积。第16页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二0yx(3,0)(1,0)(0,1).D解：在区域 D内，显然有故在D内例1 比较下列积分的大小：1）与其中D:第17页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 ,其中区域 D为顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。2）解：BC的方程 x+y=2D内所以A(1,0)C(2,0)B(1,1)第18页，共60页

7、，2022年，5月20日，18点26分，星期二例 估计积分值解：在D内的最大值为4，最小值为1区域D的面积为2所以第19页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二二重积分的计算，可以归结为求两次一元定积分， 然后利用一元定积分的计算方法来计算二重积分。 按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限 然而，用定义来计算二重积分，一般情况 下是非常麻烦的.8.2 二重积分的计算第20页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 那么，有没有简便的计算方法呢?这就是 我们今天所要研究的课题。下面介绍:一、直角坐标系下二重积分的计算 二重积分仅与被积函数及积分域有关,为此, 先

8、介绍： 1、积分域 D:第21页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二如果积分区域为：（1）X-型域X型 X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；b、第22页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 2、X-型域下二重积分的计算: 由几何意义，若(x,y)0，则平行截面面积为已知的立体的体积.第23页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二yZ截面为曲边梯形，面积为：第24页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二第25页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 注: 若 (x,

9、y)0 仍然适用。注意:2）积分次序: X-型域 先Y后X;3）积分限确定法: 域中一线插, 内限定上下， 域边两线夹，外限依靠它。为方便，上式也常记为：1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算;第26页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二（2）Y-型域：Y型Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多于两个；b、第27页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二3、Y-型域下二重积分的计算： 1）积分次序: Y-型域 ,先x后Y; 2）积分限确定法: “域中一线插”, 须用平行于X轴的直线 穿插区域 。注意: 第28页，共60页，2

10、022年，5月20日，18点26分，星期二 注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。4、利用直角坐标系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；（2）根据积分域类型, 确定积分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果.第29页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二解：X型第30页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二第31页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二Y型第32页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二例2解：X-型第

11、33页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二例3解： （如图）将D作Y型-12第34页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二例4交换积分次序。解：即第35页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二解：积分区域如图xyo231原式xyoxyo第36页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二例6解：先去掉绝对值符号，如图第37页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二则例7计算，解：画图第38页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二若把区域 看成 型区域则求不出来第39页，共60页，2022年，5

12、月20日，18点26分，星期二例8计算第40页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二例9计算第41页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二选择积分次序的原则： 第一次积分易积； 积分区域要尽量避免分块。第42页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二解：画图例10用二重积分计算由 所围成的 图形的面积。第43页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二例11解表示为X-型域第44页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二改变积分次序第45页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二二 利用极坐标系计

13、算二重积分 当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。第46页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 直角坐标系与极坐标系o第47页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二1 直角坐标系与极坐标系下的二重积分关系（1）面积元素变换为极坐标系下：极坐标系下的面积元素为：第48页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二（2）二重积分转换公式：第49页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下

14、的二重积分需要进行“三换”：o第50页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二2 极坐标系下的二重积分化为二次积分用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系后，极坐标系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。第51页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二（1）区域如图1具体地（如图）图1第52页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二（2）区域如图2图2第53页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二（3）区域如图3图3第54页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二（4）区域如图4图4第55页，共60页，2022年，5月20日，18点26分，星期二当积分区域为圆形、扇形或环形时，利用极坐标计算比较简单。当被