经济数学极限的性质与运算法则

1、经济数学极限的性质与运算法则第1页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二一、极限的性质定理1（唯一性）若极限定理2（有界性）若极限 存在，则函数 在 某个空心 邻域内有界。定理3（保号性）若 ， 则在 的 某空心邻域内恒有 。 若 且在 的某空心邻域内恒有 则 一. 极限的性质与四则运算法则 存在，则极限值唯一。第2页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC 一. 极限的性质与四则运算法则 二、设 , , 则 .(1)代数和的极限 存在, 且(2)乘积的极限 存在, 且.特别地, 有(i) 常数因子 可提到极限符号的前面, 即(ii) 若 是正整数, 有

2、.二、极限的四则运算法则第3页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC设 , , 则 (3) 若 ,商的极限 存在, 且. 要注意极限的四则运算 法则使用的前提条件！ 一. 极限的性质与四则运算法则 第4页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC和的极限 =极限的和求例1.解 由极限的四则运算法则 原式 常数因子可提到极限符号之前.由该题计算结果知，对多项式有, 一. 极限的性质与四则运算法则 第5页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC不能直接用极限的四则运算法则解 显然, 分子与分母的极限都是0.原式 求例2应将分子分母分

3、解因式,约去极限为0的公因子商的极限 =极限的商 一. 极限的性质与四则运算法则 第6页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二例3求解：当 时，分子分母都是无穷大，不能直接利用商的极限运算法则，此时可将分子分母同时除以 得到分子分母同时除以分母的最高次项 一. 极限的性质与四则运算法则 第7页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二例4 求解：当 时，分子分母都是无穷大，不能直接利用商的极限运算法则，此时可将分子分母同时除以 得到分子分母同时除以分母的最高次项 一. 极限的性质与四则运算法则 第8页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二一般地

4、，当 时，有理分式（ ） 的极限有以下结果： 练习：求下列极限 一. 极限的性质与四则运算法则 ，第9页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC 一. 极限的性质与四则运算法则 解 原式例6解：原式 例5 求 第10页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC 一. 极限的性质与四则运算法则 例7解： 原式练习：求下列极限第11页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC 一. 极限的性质与四则运算法则 答案：第12页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC 二. 无穷大量与无穷小量 定义1.5若函数在自变量

5、的某个变化过程 中以零为极限，则称在该变化过程中, 为无穷小量简称无穷小例如，当 时，是无穷小量；当时，是无穷小量；当时，是无穷小量第13页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二 ESC我们经常用希腊字母，来表示无穷小量定理4 函数 以 为极限的充分必要条件是：可以表示为与一个无穷小量之和即其中 二. 无穷大量与无穷小量 第14页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC 二. 无穷大量与无穷小量 定义1.6 若在自变量 的某个变化过程程中,函数 是无穷小量,即 ，则称在该变化过程中， 为无穷大量，简称无穷大，记作第15页，共29页，2022年，5月20日

6、，18点25分，星期二ESC 二. 无穷大量与无穷小量 例如，当时，是无穷大量；当时，是无穷大量；当时，是无穷大量当 时，是无穷小量，而是无穷大量；当时，是无穷大量，而是无穷小量这说明无穷小量和无穷大量存在倒数关系第16页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC 二. 无穷大量与无穷小量 例8求解 先求分母的极限,先考虑原来函数倒数的极限.第17页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC 二. 无穷大量与无穷小量 即是时的无穷小由无穷小量与无穷大量的倒数关系，得到第18页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC 三. 无穷小量的

7、性质 性质1.1有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量性质1.2有界变量乘无穷小量仍是无穷小量性质1.3常数乘无穷小量仍是无穷小量性质1.4无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量第19页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC例7求解因为，所以是有界变量；根据性质1.2，乘积是无穷小量即 三. 无穷小量的性质 第20页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC 四. 无穷小量的比较 我们记，它们都是时的无穷小量但，第21页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC，趋于零的情况1 10 100 1 000 10 000 1 0.1 0.01

8、0.001 0.000 1 2 0.2 0.02 0.002 0.000 21 0.01 0.000 1 0.000 001 0.000 000 01 四. 无穷小量的比较 第22页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC定义1.7 设、是同一变化过程中的两个无穷小量，(1)若,则称是比高阶的无穷小量也称是比低阶的无穷小量(2)若(是不等于零的常数)，则称与是同阶无穷小量若，则称与是等价无穷小量记为 。 四. 无穷小量的比较 第23页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC思考：1.当 时 ， 相比哪一个是高阶无穷小？2、当 时，无穷小 是否同阶？是

9、否等价？3.下列变量，在 趋于何值时是无穷小？在 趋于何值时是无穷大？ 四. 无穷小量的比较 第24页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC 内容小结 1. 极限四则运算法则（注意使用条件）2. 求函数极限的方法分式函数极限求法时, 用代入法( 分母不为 0 )时, 对型 , 约去零因子时 , 对 型，分子分母同除以分母的最高次幂第25页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC 内容小结 （3） 无穷小量与无穷大量的关系3. 无穷小量与无穷大量（2） 无穷小量的性质（1） 无穷小量与无穷大量的定义4. 无穷小量的比较第26页，共29页，2022年，5月20日，18点25分，星期二ESC 课堂练习1.求下列函数的极限2.指出下列变量，当 时是无穷小：3.指出下列变量，当 时是无穷大：第27页，共29页，2022