因子分析例题

1、优选文档优选文档PAGEPAGE5优选文档PAGE共享知识分享快乐因子解析因子解析（FactorAnalysis）是主成分解析的推行，它也是从研究相关矩阵内部的依赖关系出发，把一些拥有千头万绪关系的变量概括为少许几个综合变量的一种多变量统计解析方法。第一节因子解析的基本思想第一我们看下面两个实质例子：1例1某企业招聘人才，对每位应聘者进行容颜、申请书的形式、专业能力、讨人喜欢的能力、自信心、洞察力、诚实、销售本领、经验、积极性、理想、理解能力、潜藏能力、实质能力、适应性等15个方面的核查。这15个方面可概括为应聘者的外露能力、讨人喜欢的能力、经验、专业能力4个方面，每一方面称之为一个公共因子。

2、企业可依照这4个公共因子的情况来衡量应聘者的综合水平。例2例2在企业经济效益的议论中，有经济效益的指标系统。平时这个指标系统有八项指标：固定财富利税率、资本利税率、销售收入利税率、资本利税率、固定财富产值率、流动资本周转天数、万元产值能耗、全员劳动生产率等。这八项指标可概括为盈利能力、资本和人力利用、产值能耗三个方面。这三个方面在企业的生产经营活动中为主要因子，起着支配作用，企业要提高经济效益就要在这三个公共因子方面下功夫。因子解析的基本思想：是经过变量（或样品）的相关系数矩阵（对样品是相似系数矩阵）内部结构的研究，找出能控制全部变量（或样品）的少许几个随机变量去描述多个变量（或样品）之间的相

3、关（相似）关系，但在这里，这少许几个随机变量是不能观察的，平时称为因子。因子解析分为两类，即R型因子解析（对变量作因子解析），Q型因子解析（对样品作因子解析）。第二节第二节因子解析的数学模型11模型（R型）设X(x1,x2,xp)为观察到的随机向量，F(F1,F2,Fm)是不能观察的向量。有x1a11F1a1mFm1x2a21F1a2mFm2xpap1F1apmFmp即XAF其中(1,p)称作误差或特别因子。满足假设：1）mp2）cov(F,)0，3）var(F)Im，var()diag(12,p2)。称Fi为第i个公共因子，aij为因子载荷。因子解析与主成分的关系：联系：两者都能够看作逼近协

4、方差矩阵。差别：主成分解析的数学模型是一种变换，因子解析模型是描述X的协方差的结构的一种模型。其次，主成分中aij唯一确定，但因子解析中，每个因子的系数不是唯一的。与多变量回归解析不同样，此处的“自变量”F是不能观察的。2.公共因子：因子载荷和变量共同度的统计意义。假设因子模型中，全部变量和因子都已标准化。卑微如蝼蚁、刚毅似大象共享知识分享快乐（1）（1）因子载荷的统计意义设xiai1F1ainFmii1,pmmE(xiFj)aikE(FkFj)aikr(FkFj)aijFkFjr(FjF1)1aijrxi,Fj则K1K1由于，不相关，且即因子载荷aij是第i个变量与第j个公共因子的相关系数。

5、2m2hiaij（i1,p）称作变量xi的共同度：(2)变量共同度的统计意义：j1m22m2222var(xi)var(aijFj)var(i)aijvar(Fj)iaijihiij1j1即122xi的方差，其共同度越大，说明公共因子包含的xi的信息就hii即共同度是公共因子所占的越多。3）公共因子Fj的方差贡献的统计意义因子载荷矩阵中列的平方和。psjaijj1,pi1称sj为公共因子Fj对xi的贡献，是衡量公共因子相对重要性的指标。第三节第三节因子载荷的估计方法这是常用的主成分法，设随机向量X(x1,xp)的协方差为，的特色值为12p0其相应的特色向量为e1,e2,ep,（标准正交基）则：

6、Udiag1,pUpieiei(1e1,pep)(1e1,pep)i1当公共因子Fi有P个时，特别因子为0，因此，XAFA为因子载荷阵。因此，D(X)var(AF)Avar(F)AAA因此，AA，因此,A为（1e1,pep），因此，A(1e1,pep)因此第j列因子载荷为第j个主成分ej与j的乘积。因此称为主成分法。当最后pm个特色根很小时，去掉m1em1,pep此时，A(1e1,mem)，方差AA=(1e1,mem)(1e1,mem)+diag(12,p2)别的，当未知时，用样本协方差s代替，或样真相关阵R代替。一般设?1p为样真相关阵R的特色根，相应的标准正交化特色向量为e?,e?p，则因

7、子载荷阵的估计为?)1p。设mA(aij即A(?1e1,mem)第四节第四节因子旋转建立因子解析数学模型的目的不但是为了找出公共因子，更重要的是要知道每个公共因子的意义，以便对实责问题进行解析。若是每个公共因子的涵义不清，不便于对实质背景进行讲解，这时依照因子载荷卑微如蝼蚁、刚毅似大象共享知识分享快乐阵的不唯一性，可对因子载荷阵推行旋转，即用一个正交阵右乘使旋转后的因子载荷阵结构简化，便于对公共因子进行讲解。所谓结构简化就是使每个变量仅在一个公共因子上有较大的载荷，而在其余公共因子上的载荷比较小。这种变换因子载荷的方法称为因子旋转。因子旋转有方差最大正交旋转和斜交旋转，此处只介绍方差最大正交旋

8、转。先考虑两个因子的平面正交旋转，设因子载荷矩阵为：a11a12a21a22Acossinap1ap2，sincos为正交矩阵。记BAa11cosa12sina11sina12cosap1cosap2sinap1sinap2cosb11b12bp1bp2（*）这样做目的是希望所得结果能使载荷矩阵的每一列元素按其平方值说也许尽可能大也许尽可能小，即向1和0两极分化，也许说因子的贡献越分别越好。这实际上是希望将变量x1,x2,xp分成两部分，一部分主要与第一因子相关，另一部分主要与第二因子相关，这也就是要求(b112,bp21),(b122,bp22)这两组数据的方差要尽可能地大，考虑各列的相对方

9、差V1pp(bi2(12)2i1hipp2(pp2p2bi)21(bi)2(bi)2)i1hi2p2i1hi2i1hi21,222这里取bi是为了除掉符号不同样的影响，除以hi是为了除掉各个变量对公共因子依赖程度不同样的影响。现在要求总的方差达到最大，即要求使GV1V2达到最大值，于是考虑G对的导数，求出最大值。若是公共因子多于2个，我们能够逐次对每2个进行上述的旋转，当公共因子数m2时，可以每次取2个，全部配对旋转，旋转时总是对A阵中第列、列两列进行，此时公式（*）中只需将aj1aj，aj2aj就行了。因此共需进行次旋转，但是旋转达成后，其实不能够认为就已2经达到目的，还可以够重新开始，进行

10、第二轮cm次配对旋转。依次进行，能够是总的方差越来越大，直到收敛到某一极限。例：观察我国各省市社会发展综合情况一、一、运用方法：多元统计因子解析因子解析的基本思想：经过变量的相关系数矩阵内部结构的研究，找出能够控制全部变量的少许几个随机变量的少许几个随机变量去描述多个变量之间的相关关系，但在这里，这少许.几个随机变量是不能观察的，平时称为因子。尔后依照相关性的大小把变量分组，只得同组内的变量之间相关性较高，但不同样组的变量相关性较低。二、二、因子解析方法的计算步骤：卑微如蝼蚁、刚毅似大象共享知识分享快乐第一步：将原始数据标准化。第二步：建立变量的相关系数R。第三步：求R的特色根极其相应的单位特

11、色向量。第四步：对因子载荷阵推行最大正交旋转。第五步：计算因子得分。以下是我国各省市综合发展情况做因子解析。数据表中采用了六个指标分别是：人均GDP（元）X1，新增固定财富（亿元）X2，城镇居民人均年可支配收入（元）X3，农村居民机家庭纯收入（元）X4，高等学校数量（所）X5，卫活力构数量（所）X6。原始数据见下表：地区人均gdp新增财富城镇人均农村人均高校数量卫活力构北京1026530.8162353223654955天津816449.1349292406213182河北337677.76392116684710266山西281933.9733051206265922内蒙古301354.51

12、28631208194915辽宁6103124.0237061756616719吉林370328.6531741609433891黑龙江442748.5133751766387637上海15204128.9371914245455286江苏5785101.09463424566712039浙江614941.8862212966378721安徽252155.7437951302356593福建538618.3545062048304537江西237626.2833761537315423山东4473102.54426417154810463河南247571.3632991231507661湖北3

13、34137.7542081511569744湖南270143.0146991425479137广东638051.8274382699428848广西277232.5247911446275571海南48025.354770151951653四川251680.97400211586418885贵州155322.0739311086223934云南249048.4840851010266395陕西234426.313309962466215甘肃192514.843152880174131青海29104.163319102971176宁夏26857.94338299871028新疆393526.6541631136213932数据本源中国统计年鉴1、将原始数据标准化2、建立六个指标的相关系数阵R3、共因子方差4、总方差解建立因子载荷阵：5、建立因子载荷阵：卑微如蝼蚁、刚毅似大象共享知识分享快乐由于前三个特色值的累计贡献率已达93.505%，因此取前三个特色值建立因子载荷阵以下：6、对因子载荷阵推行方差最大旋转，旋转后得正交因子表矩阵以下：由此有：X2=0.940F1+0.105F2+0.261F3X3=0.893F1-0.0747F2+0.404F3X4=0.0364F1+0