解析函数展开成幂级数的方法分析毕业论文

1、文档编码 : CX6U7N6B9Q3 HY4T8K2O9Z1 ZJ9C3H10N5E8- -解析函数开放成幂级数的方法分析姓名：媛媛- 学号：1 word.zl-专业：物理训练指导老师：莉莉- -解析函数开放成幂级数的方法分析某某高校物理与电气信息工程学院摘要： 将解析函数开放成幂级数的方法不一,开成幂级数的几种方法以及分析；且比较复杂； 本论文着重介绍了将解析函数展关键词：解析函数,幂级数,开放,奇点等；一 前 言解析函数的应用及现状： 解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇妙积分方程方面有广泛的应用,它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用；这些方面的理论及其应用,主要是由苏联学者建

2、立和开展起来的；自 20世纪 60岁月以来,中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作；关于解析函数的不同定义在20 世纪初被证明是等价的；基于魏尔斯特拉斯的定义,区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓,关于解析开拓的一般定义是,fz与 gz分别是 D 与 D*上的解析函数,假设 DD* ,且在 D* 上 fz=gz；那么称 fz是 gz由 D* 到 D的解析开拓；解析开拓的概念可以推广到这样的情形：fz与 gz分别是两个圆盘 D1 与 D2 上的幂级数,在 D1D2 上 fz=gz那么也称 f 与 g 互为解析开拓,把可以互为解析开拓的fz, 的解析圆盘 全连起来,作成一

3、个链；它们的并记作 ,得到了 上的一个解析函数,称它为魏尔斯特拉斯 的完全解析函数, 这里可能显现这样的情形, 在连成一个链的圆盘中, 有一些圆 盘重叠在一起, 但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的,它们的 每一个都称为完全解析函数的分支；这样的完全解析函数实际是一个多值函数；- word.zl- -黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“ 叶,不使他们在求并的过程中只留下一个代表, 于是形成了一种称为黎曼面的几何模型；将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数,这样多值解析函数变成了单值解析函数；解析函数的根本性质： 解析函数的导函数仍然是解析函数；单连通域内解析

4、函数的环路积分为 0；复连通域内,解析函数的广义环路积分即包括内外边1 界,内边界取顺时针为正为 0；由于解析函数概念可推广为广义解析函数基于把解析函数的实部、 虚部所中意的柯西黎曼方程组推广为较一般的一阶偏微分方程组,因此解析函数边值问题也可推广为广义解析函数边值问题,的一个方向；这是把函数论与偏微分方程结合起来幂级数是分析学争辩的重点之一,然而在组合数学中, 幂级数也占有一席之地；作为母函数,由幂级数概念开展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源；在电力工程学中,幂级数那么被称为 级数的一种；Z-变换；实数的小数记法也可以被看做幂解析函数的相关问题与幂级数的相关问题已被争辩很久,上述就是争

5、辩成果 的很小很小的一局部,但在这里我们只争辩解析函数开放成幂级数的方法与分 析；二幂级数的解析性na n的和函数 ,fz是收敛圆内的一个解析函数,且定理：幂级数cnzn0c n n1 np1 zanp,其中, p 为自然数,其各阶导数为：fp - pword.zl- -cpf pp .p0,1, 2,；三解析函数的泰勒开放通过对幂级数的学习, 我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数； 现在我们来争辩与此相反的问题,就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义,而且很有有用价值；泰勒 Taylor开放定理：设 fz在区域 D：| z z 0 | R

6、 内解析,那么在 D 内f z 可 展 为 泰 勒 级 数 ：f z a n z z 0 , | nz z 0 | R , 其 中 ,n 0 a n2 i 1C f z 0 d n 1 fn .z 0 n 0,1,2, ；且展式是唯独的；特别地,当 n z 0 0 时,级数 f 0z n 称为麦克劳林级数；n 0 n .泰勒开放定理本身供应了一种开放方法,即求出代入即可, 这种方法称为直接开放法；2当 fz较复杂时,求 f z 0 比较麻烦；依据泰勒展式的唯独性,因此通常用间接开放法, 即利用根本开放公式及幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数开放成幂级数,根本开放公式如下：- z

7、 e0zn1z12 z11 n .n z,z,zword.zl-n .2.nn 112 znn 11z2n12 z14 zcoszn02 .2.4.2 .sinzn0n 1z2n1z13 z15 zzn 12 zn1,z2n1.3.5.2n1.1z2zn1zn z,11zn0- -例：将函数f z zz1,在 |z1|2内开放成幂级数；解：f z zz1111zz1n1z12111n0 1n1111212z221n0n 1znn 1, z1221仍有在直接利用根本开放公式时,仍可以利用替换法求得,例如：将函数f z z31,以 z=-1 为中心开放为幂级数；, 利 用1z mk0m ka z得

8、 到 ,z解 ： 令z1, 即z11233 z13k0a k3k,所以f z z312；za k3k四k0零点的孤立性及唯独性定理定义：假如 fz在 a 点及其邻域内解析, fa=0,那么称 z=a 为 fz的零点；设fz在 z=a 点及其邻域内解析,那么当z-a充分小时, fz=anzan,故假设 z=a 为零点,那么必有a 0a 1a m10,a m0；此时,n01a0,fma0称 z=a点为 fz的 m 阶零点,相应地f afafmfzzamz ,其z 中在 a的邻域内解析且不等于零；解析函数零点的一个重要性质是它的孤立性；- word.zl- -解析函数的零点孤立性定理：假设fz不恒等

9、于零,且在|zz 0|R 内解析,z=a 为零点,那么必能找到 点；3五 解析函数的洛朗开放z=a 的一个邻域,使 fz在此邻域内无其他零一个函数除了可在解析点作泰勒开放外,有时仍需要将它在奇点邻近开放成幂级数,这时就得用洛朗开放；洛朗定理：设 fz在以 b 为圆心的环形区域 R 1 | z b | R 上单值解析,n那么对于环域内的任何 z 点,fz可以用幂级数开放为 f z a n z b,nR 1 | z b | R ,其中,a n2 1i C fb n 1 d,C 是环域内绕内圆一周的任意一条闭合曲线；六洛朗的开放条件也可以放宽为fz在区域R 1|zb|R 内单值解析；4解析函数在孤立

10、奇点邻域内的洛朗开放fz的解析点,那么奇点： fz在0z 不解析,但在0z 的任一邻域内总有0z 称为 fz的奇点；孤立奇点：假如 fz在点 a 的某一去心邻域 Ka ：0 z-a R 内解5析,点 a为 fz的奇点,那么称 a 为 fz的一个孤立奇点；定理：假如 a 为 fz的一个孤立奇点,那么必存在正数 R,使得 fz在a的去心邻域 K a ：0 z-a R 内可展成洛朗级数；例：函数 sin z,奇点 z=1,在其去心邻域 0 z 1 内进展洛朗开放；z 1解：sin zsin1 1z 1 z 1- word.zl- -七sin1 cosz11cos1 sinz112nn 112 n 1

11、n2ncos12 1n1sin1n0n 12 1ncos1n02 .z1.z2 1n1sin1cos1sin12cos1n 1sin1z12.z13.z3 12 .z1.z化成微分方程法用下面的例子说明这种方法；例：将函数f z z1为中心开放成幂级数z；0e 1z以z 00解：fzf2,于是,1z2fzf1z对上逐次求导有,1z2f3zz2zz35ffzz0,z0,1z2f42f八令 z=0 那么,依次可得到：f0e,f03 e,f3013 e,结论解析函数在不同的形式下, 用不同的方法开放成幂级数, 每个方法有每个方法的简便之处； 所以,在以后遇到解析函数开放成幂级数的问题,第一想想条件,例如,想想泰勒开放定理或洛朗定理的使用条件,最简洁的方法解决,而不是盲目地试用各种方法；参考文献：在分析适用于哪方法, 最终以1 彭芳麟 .数学物理方程的MATLAB 解法与可视化 M.：清华高校出版社,2022. 2 王海英 . 解析函数中的罗必达法那么J.