概率论与数理统计公式小抄必备

1、.专业.专注.x aY F(x,y) F (x)F (y) ， 1, a x bXY x af (x) ba( ) F xa x b, ：p p： ( , ) ( ) ( )f x y f x f ypb a .jijiXY一、随机事件与概率0,其他X U(a,b)x b：P(Z z )P(X x ,Y y )kij，A B A B A B A B x y zijk ( , )： ( ) ( , )f zZf x z x f z y y mne x,0 ,00e xx 1 x( )P A( )f(x) F x X e()x 0四、随机变量的数字特征x(A) ， （、体 ( )P(A)）P A1

2、1( x )2(t)222 x edtf(x) eF(x) 222 N( , ) (X ) Exf (x)dxX( ) E Xx pk( ) 1 ( )P A x kk121x( )x e21 2标准正态分布2( ) x 2t( ) ,： E C Cxe dt性 质 ( ) ( )E E X E X，( )E CX( )CE X，当0X N(0,1) x E(XY)E(X)EY)，P(AB)时B AE(aX b) aE(X)b当Y： ( ( ) ( )E XY E X E Y)P(B)P AB)P()P(B A P B P A B)() ( ) (，P()( )P Y y, 1,2,p iij

3、P(ABC) P()P(B A)P(C AB)：g x()yjiD(X) E(X E(X E(X )E (X)222性质：DC)0，()2 ( )D b a D X nf(y) f (h(y h(y) (x h(y)P(A) P(B )P(A B )YX( Y D X D Y Cov(X,Y)D X)( )( ) 2iii1三、多维随机变量及其分布当Y： ( ( )D X Y D X D Y)( )P(B )P(A B )P B A() ii 协 方 差 ： ( , ) ( ) ( ) ( ) ， 当 X 、 Y 相 互 独 立 时 ：Cov X Y E XY E X E Yin逆概率公式）P

4、 B P A B( ) ( ) ：F(X ,Y ) P(X x ,Y y ) p ,i, j piii1ijx x y y( , ) 0Cov X YP(AB) P()P(B)；ii() ( )P B A P B：p P(X x ) pijp PY y ) p：Cov(X,Y) ，当 Y ：0ii jjijXY P B A P B A( ) ( )；XYji( )D X D Y( )p，条件分布律：( P X x Y y )i, 1,2,ij二、随机变量及其分布)pij j：Cov(X,X) D X( )，Cov(X,Y) CovY,X)pijpiPY y X x ), j 1,2,ji(,

5、)Cov X X Y Cov X Y Cov X Y( , )( , ) ，( , )( , )Cov aX c bY d abCov X Y( )P X x1212kF(x) P(X x) , P(a X b) F(b)F(a)xkxx( )f t b p ：F (x, y) xyf (u,v) )b(n, p)pp(1-p) F(x, y)1X b(1,p)npnp(1-p)：F(, ) f (x, y), Px, y) G) f (x, y)xyP()P(X k) pk p)1 ,k Gkba)212ab 均匀分布U(a,b)x：F (x) f (u,v)dvduf (u,v)dudv：

6、 f (x) f (x,v)dvf (u, y)du2P(X k) Ck pk p)n, k ,n 0,1,2,kXX X b(n, p)n 22(, )NyF (y) f (y) YY11 ( )e kP(X k) e,k2P()k!Xf(x,y)f(x,y)，(x y) , x f(y x), y f五、大数定律与中心极限定理(x)f (y)YY XfX YX. word 可编辑 .专业.专注., ,L设 X X ( ,)性质 ( ) , ( ) 2 设 ( ), ( ) ，则X ，设 X f x2222XEnn DnnXm Yn12nD(X)E X D X 2P X E X ( ) XY

7、 2(mn)：2： 若，X Xt ( ( )1n且 X 与 Y ：n2n 或( ,)(离散型)P xX NYn： ( )( ,f x)L)L11nnE(X ) , ( ) 且 ：D X2iC( ( )E XiiiXPniiininii1i1X 的 ( )T ntT t ni1i1n设Y n是nApAnn： ( ) ( ,) 或 )p x ( ,)Lf xL niiilim1x2： 1i1i1则 0Pp nA ( ) 0( 1), ( ) n( 2)lim f (x) (x) eE TnD T n2n2 (x ,x , ,x )nnnLL1112, ,Xn 辛 钦 大 数 定 律 ： 若X独 立

8、 同 分 布且则，E X( ) ，0,L ,0，：i ：1n ：FX2m Y ( ( ) ，且 与 ，2 nXY11knX P ( , , , )x xxninnX mY nkk12m，n的 F ，F(,n)i1 ( , ,L , )） 。若 x xx列维：( ) ( , )F F m n1设X i，均F F m n ( , 设则F n m ( , )12nFi估计量的评价标准= 为 。值 为 ， 方 差 为 0 ， 当 n 充 分 大 时 有 ：2 七、参数估计nY ( X n)nN (x ,x ,L ,x ) (x ,x ,L ,x )设和nk112212n12nk1 ( , )X B n

9、 px： ) ) 比 有， D 。若D12122X np1lim e2dt (x)。x：用( , ,L , )( , ,L , ) X XX ，称 X XX 为 的np(1 p)n12n12n是， 有设的 一 串 估 计 量 ， 如 0b na nnn： ()()()P a X b (x ,x , ,x )相应的 。 )0 P 为 k12nk1nnn：六、数理统计的基本概念 置信水平为1 nX F x( ) ( ,)( )F xF x xxn 12k , , ,XXk k1x z, ZTN(0,1)x z12k /nnn22211n1nn：( 2)X ：( ) SSX XS222iX XX (

10、 t nx t n( 1) ,x t n( 1)n1n1iinS n/nni1i1i12221n， 样 本 k 阶 原 点 距 ： 2样 本 标 准 差 ：( )Xnn )(n)2( )2(SX XnXX2 E(X )(i 1,2, ,k) , , ,2矩，in1i( )iii n 22,i1i1i112iki1(n)2211ni , , , )( 1,2, , )x x x X的n, ,L ,22 gkA k, Xk ki即nii12k12n( 1) n2(nSi1(n 1)S(n 1)S22 22,12值， ， k 2k：n (1) (n1) B k(X X k ) ,k1,2,32n21

11、in22ii1 , , , , , ,。12k12kX Ni(0,1) ( , )i n ， ：2。八、假设检验量 的 ( )n n2 2 2 XXX2n22212. word 可编辑 .专业.专注. 。 或。H ( ,L , )z z| g XX ；对于HH: 021n00000000(g(X ,L ,X )W) X 使P； : Nz z1nZT20 ( , , ) /ng xx ；n1H : z z 。HW0当 H H00这t t n( 1)HHH: 000002 H H X 00: : t t n ( 1)0( t n2 记 为S n/0H t n( 1) ；t0。这当 H 为真时， H ( 1)22n10H: 2222 H