固体物理第三次辅导四

1、第四章能带理论第四章重点(1) 布洛赫定理(2) 布里渊区的概念(3) 近自由电子近似方法、能隙的计算(4) 紧束缚近似、能带的计算(5) 态密度、能态密度，费米能级的计算布洛赫定理推论布洛赫定理在周期性势场中运动的电子，描述电子状态的布洛赫波是调幅的平面波，且调幅函数具有与晶格相同的周期性。布洛赫定理为整数为倒格基矢为三个基矢方向的原胞个数其中：电子的波矢密度为： 布洛赫定理波矢密度的计算：一个波矢代表点对应的体积为：问题：何为布洛赫电子？答：在周期性势场中运动的电子就是布洛赫电子布洛赫定理一维周期场中电子的波函数 满足Bloch定理，若晶格常数为a的电子波函数为：(a)(b)(c)试求电子

2、在这些态的波失。解：根据Bloch定理可得：(a)所以电子的波失为若只取第一布里渊区则例题 定义： 在倒格空间中以任意一个倒格点为原点，做原点和其他所有倒格点连线的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(或中垂线)将倒格空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区。布里渊区布里渊区作图法 晶体结构倒格点排列中垂面(中垂线)区分布里渊区下图是一个二维晶体结构图，画出它的第一、第二、第三布里渊区例题第一布里渊区第三布里渊区第二布里渊区 模型：假定周期场起伏较小，作为零级近似，用势能的平均值V0代替V(x)，把周期性起伏V(x)-V0作为微扰来处理。近自由电子近似(1)(2)一维情况下：得到的能带表达式：当=0

3、时：禁带宽度：近自由电子近似两式相减势能函数的傅里叶系数：结论：(1)在k=n/a处(布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，禁带宽度为 ；(2)在k=n/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线；(3)在k远离n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。近自由电子近似三维情况下： 三维与一维的重要区别是不同的能带在能量上不一定隔开，而可以发生能带之间的交叠。ABCEC为第一布里渊区(C点)的最高能量，EB为第二布里渊区(B点)的最低能量，出现禁带(能隙)Eg；出现能带重叠。近自由电子近似且 是常数用近自由电子近似求势能的平均值，并求第一第二禁带的宽度电子

4、在周期场中的势能ob-a2a例题-b解a势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均即可，于是得第二禁带宽度为;所以第一禁带宽度为： 晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场的作用，其他原子的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子态作为零级近似。紧束缚近似模型：能带的宽度：得到的结果：用紧束缚方法导出面心立方体s态电子能带解：对面心立方晶格，取参考点的坐标为 则12个最近邻的格点的坐标为 例题将上述12组坐标代入能带的表示式得：=当只计及最近邻格点的相互作用时，其能带的表示为能态密度 若在能量 E E +E 范围内存在 Z 个电子态，则能态密度N(E)为：能态密度的一般表达式:不同维度下自由电子

5、气的能态密度：能态密度（定义式） 若固体中有N个电子，将电子视为自由电子，N个电子在k空间填充半径为kf的球，这个球为费米球，kf为费米半径，球的表面为费米面 当T=0K时费米面的特点：费米面是电子占有态和未占有态的分界面。费米球、费米半径、费米面有一一维单原子链，间距为a，总长度为Na。求（1）用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3）如果每个原子s态只有一个电子，求等于T=0K的费米能级处的能态密度。例题解第五章晶体中电子在电场、磁场中的运动第五章重点（1）恒定电场作用下电子的运动规律（2）有效质量的含义（3）用能带论解释金属、半导体和绝缘

6、体（4）空穴的概念（5）回旋共振、德哈斯-范阿尔芬效应几个重要公式1.电子运动速度3.电子有效质量2.电子的准动量注意：有效质量是张量 特点：（1）m*不是电子的惯性质量，而是能量周期场中电子受外力作用时，在外力与加速度的关系上相当于牛顿力学中的惯性质量； （2）m*不是一个常数，而是 的函数。一般情况下，它是一个张量，只有特殊情况下，它才可化为一标量的形式；（3）m*可以是正值，也可以是负值，特别有意义的是：在能带底附近，m*总是正值，表示电子从外场得到的动量多于电子交给晶格的动量，而在能带顶附近，m*总是负的，表示电子从外场得到的动量少于电子交给晶格的动量。有效质量导带有导带导体半导体禁带窄禁带半导体空带禁带绝缘体空带绝缘体禁带宽导体、半导体和绝缘体的能带论解释 定义：满带中少数电子受激发而跃迁到空带中去，使原来的满带变成近满带，近满带中这些空的状态，称为空穴。空穴空穴的特点：(2)(1)(3)(4)(5)德哈斯-范阿尔芬效应： 低温下强磁场中金属的磁化率随磁场倒数周期性振荡的现象称为德哈斯-范阿尔芬效应。它是研究金属费米面的一种实验方法。其振荡